一道高中力學題的十種解法

李紅偉 姜付錦

摘 要：本文通過對高中力學一道題展開分析與研究，發現了十種不同的解法，從而拓展了學生的思維，將數學與物理知識融會貫通，提升了學生的關鍵能力.

關鍵詞：勻速運動；拉力最小值；數形結合

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0121-03

高中物理力學中有一類問題很有趣——極值問題[1-2]，這類問題與高中數學聯系非常緊密.解決這類問題通常是兩類方法，一類是解析法，所用的思想是三角函數、不等式、判別式等思想；另一類是圖解法，所用的思想基本上是點到直線垂線的距離最短[3-4].這些思想與方法若用熟練后，還可以融會貫通到其他章節中使用，這也印證了物理學一種說法：千題萬題源自母題，千變萬變方法不變.

1 題目

如圖1所示，物體與水平面之間的摩擦因數為μ，物體的質量為m，為了使物體在水平面上做勻速直線運動，則拉力的最小值是多少？

2 解析

2.1 方法一： 積化和差，方顯物理的數學本質

設拉力為F，拉力與水平面的夾角為θ，對物體進行受力分析后，得

上式中的分子為一個定值，只要能求出分母的極值就可以得到拉力的最小值.

2.2 方法二：矢量三角形，盡顯平面幾何的魅力

如圖2所示，可以將地面的支持力與摩擦力合成為一個力，它與豎直方向的夾角為α，則tanα=μ.三物體受到的三個力的矢量可以組成一個閉合的矢量三角形，再根據點到直線垂線段最短，可以得

2.3 方法三：判別式法，體現代數的無窮能力

設cosθ+μsinθ=a，則化簡消去cosθ得

（1+μ2）sin2θ-2aμsinθ+a2-1=0

因為sinθ有解，所以上面的等式中的Δ≥0，可以求得（2aμ）2-4（1+μ2）（a2-1）≥0，

整理后得

2.4 方法四：柯西不等式，具有深入淺出的能力

2.5 方法五：向量點乘，也可以化腐朽為神奇

上式中的α為兩個向量的夾角，當且僅當它們夾角為零時，向量積有最大值，即

2.6 方法六：函數求導，讓復雜的問題簡單化

將cosθ+μsinθ對角度求導并使其為零，則

2.7 方法七：勾股定理，也可以另辟蹊徑

如圖4所示，構造下面的直角梯形ABED，取∠ACD=θ，AC=1，BC=μ，則AG=cosθ+μsinθ

2.8 方法八：構造對偶式，柳暗花明又一村

令a=cosθ+μsinθ，其對偶式為b=sinθ-μcosθ

將這兩個式子的平方相加得：

a2+b2=1+μ2

2.9 方法九：線性規劃，也可以妙筆生花

如圖5所示，令圓和直線分析為，x2+y2=1，z=x+μy=cosθ+μsinθ，則

當直線z=x+μy平移到與圓相切時最大，根據點到直線距離求出

所以拉力的最小值為

2.10 方法十：極坐標方程，完美再現解析幾何的威力

當ρ2有最大值時，ρcosθ+μρsinθ最大， 即cosθ+μsinθ=ρ有最大值.

ρ2=x2+y2即圓上點到原點的距離.

3 兩道例題

下面通過兩道例題來展示這道母題的特點與規律.

例1 如圖7所示，質量m＝5.2 kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做勻速直線運動．已知金屬塊與地面間的動摩擦因數μ＝0.2，g＝10 m/s2.求所需拉力F的最小值．

例2 如圖8（a）所示，木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變，當θ＝30°時，可視為質點的一小物塊恰好能沿著木板勻速下滑．如圖8（b），若讓該小物塊從木板的底端每次均以大小相等的初速度v0＝10 m/s沿木板向上運動，隨著θ的改變，小物塊沿木板向上滑行的距離x將發生變化，重力加速度g取10 m/s2.

（1）求小物塊與木板間的動摩擦因數；

（2）當θ角滿足什么條件時，小物塊沿木板向上滑行的距離最小，并求出此最小值.

4? 結束語

通過以上十種方法的分析不難發現，在物理題目中處理極值問題時，方法基本都是數學中的常見的知識，平面幾何、解析幾何、向量法、判別式法、不等式法都是用武之地，就是線性規劃也能有精彩的分析.這樣的分析方法不僅體現了物理學科數學本質，也充分證明了數學思想的多樣性和靈活性.

參考文獻：

［1］王志良.芻議物理極值問題中常用的數學方法[J].中學物理，2022，40（09）：43-47.

[2] 汪俊，葉玉琴.例析數學知識在中學物理極值問題中的應用[J].湖南中學物理，2019，34（08）：88-90.

[3] 魏謙.高中物理中的極值問題[J].中學生數理化，2018（11）：47-48.

[4] 竺斌.高中物理極值問題的物理求解方法[J].物理教師，2018，39（10）：68-70.