由“函數奇偶性”的概念教學引發的思考

［摘" 要］ 文章從“舊知回顧，知識梳理”“情境創設，激發認知沖突”“深入探究，理解偶函數”“問題啟發，辨析偶函數”“類比分析，探尋奇函數”五方面展開“函數奇偶性”的概念教學，并從以下三方面談一些思考：放低教學起點，創設合理情境，經歷探究過程.

［關鍵詞］ 概念教學；偶函數；奇函數

概念是數學學習的基礎，是知識建構的基石. 但在實際教學中，容易產生“重結果，輕過程”“重抽象，輕表象”“重應用，輕建構”的現象. 殊不知，概念表達、生成、應用與建構是概念學習的重中之重，是實現有效學習的基本保障. “函數奇偶性”的概念教學，引發了筆者的一些思考與體會.

教學簡錄

1. 舊知回顧，知識梳理

課堂開始，以舊知回顧的方式梳理知識，可達到承上啟下的作用. 為喚醒學生的記憶，筆者要求學生思考如下幾個問題：①說說什么是軸對稱圖形和中心對稱圖形，它們分別具備怎樣的性質？②你所認識的函數圖象中，是否存在軸對稱圖形或中心對稱圖形？舉例并明確說出它們的對稱軸或對稱中心. ③為什么這些函數圖象關于中心對稱或軸對稱？你這么確定的理由是什么？

設計意圖 軸對稱與中心對稱是學生初中階段就已經接觸過的內容，這里以幾個簡單問題喚醒學生的記憶，讓學生認識到本節課的教學主題與軸對稱或中心對稱相關.

鑒于已有的知識經驗，問題①和問題②學生回答得比較流暢，并且列舉出函數y=x2，y=. 但對于問題③，不少學生給出的理由是“從圖形觀察而來”. 雖然判斷是正確的，但提供的依據并不充足.

2. 情境創設，激發認知沖突

問題1 請判斷圖1中的函數圖象是否關于y軸對稱.

大部分學生都認為圖1所示的函數圖象關于y軸對稱. 此時筆者借助幾何畫板進行演示：在圖1上作y軸的一條垂線，與拋物線分別交于點A，B，如圖2、圖3所示，讓學生來看點A，B是否關于y軸對稱.

顯然，幾何畫板所呈現的結果出乎學生的意料——點A，B竟然不關于y軸對稱. 此過程成功地激起了學生的認知沖突，不少學生迫不及待地想要探尋其中的奧秘.

設計意圖 筆者所呈現的圖1并不是一個對稱圖形，但兩側的差別比較細微，憑借我們的肉眼根本分辨不出來. 此環節的設計是為了打破學生直觀判斷的思維定式，激發學生的認知沖突，讓學生自主思考“該怎樣準確判斷函數圖象是否關于y軸對稱”，這為明確本節課概念學習將解決什么具體問題奠定了基礎，同時讓學生切實感受到引入數量關系的必要性，弄清奇函數與偶函數概念的形成源頭.

3. 深入探究，理解偶函數

問題2 我們可以從什么角度來判斷某個函數圖象是否關于y軸對稱？

生1：可從點的坐標來判斷.

師：很好！坐標作為一種可以傳遞數量關系的工具，能夠準確判斷圖象的對稱性. 如圖4所示，任取函數y=f（x）圖象上的一點P（x，y），如果函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱，那么點P存在什么性質？

此時，筆者將偶函數的定義板書出來，并借助幾何畫板演示點P在函數圖象上運動，學生通過視覺直觀獲得了兩點啟示：①偶函數定義中的自變量x是任意的；②函數定義域D關于原點對稱，是偶函數的必要非充分條件. 此過程讓學生充分意識到：偶函數從數形結合的角度來看，在“數”上f（-x）=f（x）恒成立，在“形”上具有圖象關于y軸對稱的性質.

接下來，筆者提出兩道簡單的證明題，以強化學生對偶函數定義的理解：①求證函數f（x）=x2（x∈R）為偶函數；②求證函數f（x）=2x4-3x2為偶函數.

設計意圖 在問題1的引導下，學生不僅主動參與到“利用數量關系刻畫函數圖象的對稱性”的研究中來，還在大腦中自主建構偶函數的定義，從真正意義上實現了由形到數的靈活轉化.

4. 問題啟發，辨析偶函數

問題3 對于不是偶函數的函數，該怎樣用數量關系來描述呢？

為弄清楚這個問題，筆者帶領學生從問題1出發，根據圖3說一說怎樣確定該函數圖象并非關于y軸對稱. 顯然，圖3中的點A的對稱點不在該函數圖象上，說明只要函數圖象上有一點不關于y軸對稱，那么該函數圖象就不是軸對稱圖形，該函數就一定不是偶函數.

關于如何準確應用數量關系來表示對稱關系，學生提出：設A（x，y），若f（-x）≠f（x），則函數f（x）不是偶函數.

筆者肯定了學生的想法，并強調：如果函數f（x）的定義域D不關于原點對稱，或函數f（x）的定義域D關于原點對稱但f（-x）≠f（x）（x∈D），那么該函數一定不是偶函數.

設計意圖 問題3的提出，具有進一步辨析偶函數定義中“x具有任意性”的作用，也為接下來探討非奇非偶函數奠定了基礎. 鑒于學生容易出現類似于“f（-x）≠f（x）”的表達，筆者帶領學生回過頭來觀察圖2與圖3，讓學生從根本上理解“任意”和“存在”之間的區別.

5. 類比分析，探尋奇函數

問題4 怎樣判斷某個函數圖象是否關于原點對稱呢？

有了前車之鑒，學生面對這個問題時，沒有再提出通過觀察來獲得結論，而是自發進入了小組合作學習狀態，并通過交流順利獲得了滿足奇函數條件的數量關系. 為了強化學生的直觀認識，筆者在此環節中再次借助幾何畫板演示點P在圖象上運動引導學生一起總結奇函數的定義與判斷注意事項.

與偶函數類似，判斷奇函數存在以下值得注意的地方：①奇函數定義中的自變量x是任意的. ②奇函數的定義域D關于原點對稱，是判斷奇函數的必要非充分條件. 同時，從“數”的特征來講，奇函數必須是f（-x）= -f（x）恒成立；在“形”態上，奇函數必須是圖象關于原點對稱.

基于以上研究，筆者又陸續提出了以下三個問題以拓展學生的思維，完善學生對奇函數定義的認識.

問題5 怎樣應用數量關系對“函數不是奇函數”進行描述？

問題6 對于非奇非偶函數，我們該怎樣用數量關系來描述它？

問題7 是否有函數既屬于奇函數，又屬于偶函數？

當學生順利完成以上三個問題后，筆者再要求學生判斷函數f（x）=（x-1）2-1（x∈R）的奇偶性.

設計意圖 有了問題3的鋪墊，解決問題5就是水到渠成的事情. 如此設計的目的就在于引導學生根據問題3與問題5的探索，自主寫出非奇非偶函數的定義. 問題7的提出在于幫助學生進一步完善概念，將既屬于奇函數又屬于偶函數的定義引入到課堂中，同時引導學生發現“定義域關于原點對稱”的前提. 此處對判斷函數奇偶性例題的應用，是以學生已有的認知結構——二次函數為起點，低起點的例題訓練能夠激起學生的參與意識，筆者趁機向學生強化怎樣用數量關系來表明非奇非偶函數.

幾點思考

1. 放低教學起點

概念教學屬于一個章節或一個單元的基礎. 既然是基礎，那么必然從低起點開始，為學生逐層鋪設臺階，讓學生的思維隨著探索逐漸深入、拾級而上. 函數的奇偶性對于學生而言，不是毫無基礎，初中階段就研究過中心對稱圖形與軸對稱圖形，且能夠用數量關系來刻畫函數圖象關于原點或y軸對稱的情況. 但是，學生之前所接觸的對稱以及函數性質等，均是從“形”的角度來體現的，但如今更趨向于“數”的刻畫.

由“形”到“數”的轉變屬于思維發展的重點與難點，因此本節課教學基于學生原有的認知結構與知識儲備出發，將學生對“形”的理解作為研究起點，雖說降低了教學進度，但成效卓著.

實踐發現，不少初入高中的學生，一般只會通過觀察來判斷兩個數是否相等或互為相反數. 因此，當判斷類似于-與-的關系時有點無所適從，故而認為y=-是非奇非偶函數，顯然這個結論是錯誤的.

事實上，出現這種錯誤的主要原因就在于學生對由數量關系a+b=0判斷a，b互為相反數的缺失. 鑒于此，教師應充分了解學生的實際認知水平，盡可能放低教學起點，借助幾何畫板等先進的軟件進行演示，讓學生充分體驗用數量關系解決實際問題的重要性與必要性.

2. 創設合理情境

降低教學起點后，若直接向學生呈現奇函數、偶函數的定義，顯然是不合理的，而應結合學生的認知發展規律與學習需求，創設恰當的問題情境，讓學生在問題的驅動下理解“用數量關系刻畫函數圖象關于原點或y軸對稱的具體原因”，同時思考“初中階段常用的觀察法，在此為什么就不適用了呢？”學生一旦明確“這么做的原因是什么”，就能從真正意義上知道“怎么做”.

本節課教學，筆者通過問題1的設置，引發學生產生認知沖突，接下來應用幾何畫板的演示，讓學生自主感知“觀察法存在的不足”，為促使學生改進探索思路與研究方法奠定了基礎. 后面的問題情境不僅揭露了函數奇偶性概念形成的前因后果，還讓學生從內心深處真正接納了函數奇偶性的定義，為這部分知識的靈活應用夯牢了根基. 因此，合理的教學情境不僅能夠啟發學生的思維，提高研究效率，還能從很大程度上激發學生對數學學科的研究興趣，產生較大的學習內驅力.

3. 經歷探索過程

實際教學中常存在如下現象：對于一些步驟多、運算量大的問題，不少學生剛開始求解都是比較積極的狀態，但求著求著就喪失了信心，甚至出現了厭煩心理，從而抄答案或人云亦云. 出現這種現象，有些教師認為這是學生懶惰導致的，而學生卻抱怨問題過于煩瑣，解題過程冗長，實在難以提起興趣. 其實，出現這種現象的主要原因是學生沒有經歷完整的概念探索過程. 眾所周知，每一個概念的發生、發展、成形都離不開不斷探索的過程. 若教師為了節約時間而忽略引導學生親歷概念形成與發展的過程，則學生只知其然不知其所以然，在應用時難免出錯，久而久之就會出現學生做事虎頭蛇尾的現象.

在日常教學中，注重帶領學生親歷概念形成與發展的過程，能讓學生從根本上認識到任何成功都不是一蹴而就的，只有腳踏實地地努力與奮斗，才能碩果累累.

總之，作為一線的數學教師應深入了解概念教學的重要性，走出概念教學的誤區. 放低教學起點，通過合理的問題情境引發學生的概念探究興趣，讓學生親歷概念形成與發展的過程，為后續靈活應用概念奠定基礎.

作者簡介：于偉（1980—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.