數學邏輯思維的作用與培養措施的研究

［摘" 要］ 邏輯思維是當代社會人才不可或缺的一種思維能力，它的應用涉及人類生產、生活與學習的方方面面. 數學是邏輯思維能力的源泉，推動著人類思想的邏輯化，數學邏輯思維屬于一種理性精神. 文章從概念教學、思維方向引導與適當啟發三個角度具體談一談培養學生邏輯思維能力的措施，以饗讀者.

［關鍵詞］ 邏輯思維；培養措施；概念教學；思維方向；適當啟發

隨著時代的發展，人們逐漸意識到邏輯思維的重要性. 高中生作為未來社會的建設者，其學科核心素養的培養需要落到實處，從真正意義上推動社會的進步與發展. 林崇德教授從思維層面提出概括、運算、邏輯思維、空間想象等屬于數學能力，這些能力各自具有批判性、靈活性、深刻性等特征，它們交叉在一起促進學生數學學科核心素養的形成與發展.

數學邏輯思維在人類發展進程中的作用

1. 數學是邏輯思維能力的源泉

思維是人腦對客觀現實世界的間接反映，展現了事物間的規律性與本質間的聯系. 大部分情況下，我們所說的思維為邏輯思維或抽象思維，是指根據人為制定的思維形式與規則實施思維活動的過程［1］. 正因為人類具備了良好的邏輯思維能力，我們的認識才能超越感覺體系，將日常的感性經驗轉化為理性理解. 人類不僅擁有豐富的物質生活，還擁有多彩的精神生活，其主要原因就在于人類擁有獨特的邏輯思維能力.

人類邏輯思維能力的發展與數學學科密不可分，因為邏輯思維過程從本質上來看，就是演繹推理過程，這就需要人基于自身意識形態抽象出數學概念. 人作為認知主體，無法直接反映出現實世界，而是借助感觀系統將所察覺到的事物用語言表述出來，形成一般性的概念. 因此，人類對世界的認識伴隨著具體事物的影像.

如對“數”的認識，起初源于現實世界，而后在邏輯思維的作用下，通過高度抽象與概括形成了相應的概念. 當人類在大腦中形成類似于1，2，3的概念時，就體現了一種高度抽象化的過程，這些數字不僅能夠用來表示1只羊、2頭牛，還能用來表示其他具體物體的量. 由此可見，邏輯思維源于數學，數學是邏輯思維能力的源泉.

2. 數學推動人類思想的邏輯化

邏輯思維源于數學，最具典型的是歐幾里得的幾何學，如《幾何原本》中就記載了人們用數學邏輯思維思考社會生活的相關內容，具有促進人類思想邏輯化的作用. 古代思想家們開始用邏輯思維思考社會生活，最初將經驗訴諸其他人，讓人們對事物的認識從感性逐漸上升到理性，而數學則是推動這一變化的主動力.

縱觀數學發展史，在東西方的思想文化上，都能看到數學思想的邏輯化進程. 在西方的思想文化上，拿歐幾里得的《幾何原本》來說，它應用點、線、面、圓、平面等概念建構了一套命題與公理，這標志著數學學科實現了自身的邏輯化進程［2］. 在東方的思想文化上，我國魏晉時期到唐宋時期逐漸發展而來的“宋明理學”就是數學思想邏輯化進程的標志，其中魏晉時期劉徽的《九章算術注》、南北朝時期祖沖之的圓周率、北宋時期楊輝的“剁積術”等，都具有典型性和代表性. 中國的數學思想文化和古希臘的數學思想文化具有一定的代表性，從某種程度而言，還得益于較高的數學發展水平.

3. 數學邏輯思維屬于理性精神

探究公理是數學的基本精神，如《幾何原本》中收錄了大量的定義、公理、公設，并推導出了48個較高深的定理. 基于數學文化的視角來分析，《幾何原本》解決了多少定理問題并不是重點，重點是它通過邏輯方法探求出公理，讓人們明確公理是人類智慧的結晶，探尋公理是最基本的數學精神.

數學邏輯思維作為喚醒人們理性精神的基本動力，是人類超越可感知事物，形成理性認識的基礎. 如從幾何的角度來談論圓，初始源于人們生活中可感知的圓形物品并不一定是嚴格意義上的圓，即使我們用圓規畫出來的圓，也難免存在微小的誤差. 因此，從某種意義上來說，圓僅僅是人類借助理性思維建立起來的一種數學對象. 由此也能看出，思想是對可感知物品的超越，數學邏輯思維屬于一種理性精神.

培養措施

1. 概念是發展邏輯思維能力的基礎

概念是數學思維的起點，是知識與技能的基礎與核心，它對學生“四基”與“四能”的發展具有重要意義. 在教學中，教師應從新課標的要求出發，帶領學生親歷概念形成與發展的過程，以揭露概念的內涵與外延.

合理的情境創設，能激發學生的學習興趣，讓學生積極地參與到概念的理解與應用中來，深化學生對概念的掌握程度. 創設情境時，可將數學文化有機地融合在情境中，巧妙的處理方式既可以達到教書的目的，還能起到育人的重要作用. 如“方程曲線”的教學，就可以將費馬與笛卡爾的故事融入課堂；“數列”的教學，可將高斯求和的故事引進情境；“二項式定理”的教學，則可引入數學家楊輝的故事，等等.

引入這些具有時代意義的數學家的故事，不僅能增強學生的學習興趣，還能讓學生形成勇于探索的精神. 在概念教學中，促進學生數學邏輯思維發展的措施，可從以下幾方面著手.

（1）注重關鍵詞.

在教科書上的每一個精準、簡潔的概念都是經過歲月的洗禮，多次抽象而來的. 在概念教學中，教師可引導學生圈出概念中的關鍵詞，如“函數”概念中的“任何”“唯一”兩個詞就是關鍵詞，需要引起重視. 同時還可以通過反例的應用，讓學生切身體會關鍵詞的重要性，從而深化學生對概念的理解程度.

（2）關注數學語言.

數學語言包含文字語言、符號語言與圖形語言. 其中，符號語言具有高概括性特征，它能凸顯概念的本質. 比如我們所熟悉的“等差數列”的概念，就可以用符號語言a-a=d（n∈N*，d為常數）來表達. 圖形語言能夠形象地將概念展示出來，比如“交集”的概念，則可以用Venn圖來表達.

（3）加強類比分析.

在教學中，應用類比法常能凸顯概念間的差別與聯系，幫助學生更好地區分相似的概念. 如“分步計數原理”和“分類計數原理”，利用實例進行類比分析，可以深化學生的理解，提高學生的邏輯思維能力.

2. 思維方向是發展邏輯思維能力的前提

邏輯思維具有多向性特征，把握好思維方向是發展邏輯思維的前提. 如正向思維、逆向思維以及橫向思維，都是從不同方向喚醒學生原有的知識結構，開拓學生的思維，從而使學生從不同角度理解不同類型的問題. 當然，邏輯思維能力的發展，除了有正確的思維方向外，還要有正確的學習方法，兩者缺一不可.

為了讓學生探尋出正確的思維方向，在教學設計與實施時需要注意以下幾點：

（1）設計感觀材料.

邏輯思維能力的培養離不開豐富的感觀材料的支撐，這就要求教師進行篩選、設計，將學生感興趣的一些感觀材料巧妙地融入教學內容中，讓學生通過直觀想象發展理性思維，順利實現從直觀向抽象的轉化.

（2）新舊知識類比.

從認知心理學來看，學生原有的認知結構是新知建構的思維基礎. 因此，通過新舊知識的聯系與類比，可以讓學生探尋到正確的思維方向. 如常用的聯想、類比，就是通過對比分析相似或相近的內容，探尋出其聯系與區別的過程.

（3）重復訓練思維.

思維的形成需要經歷一個漫長的過程，想要發展學生思維的多向化，僅靠一兩次練習難以達到效果，只有經過多次重復訓練，才能有所突破. 鑒于學生習慣用單一的思維分析問題，導致思維定式的發生，教師應注意帶領學生從不同的角度去分析問題，訓練思維的發散性與靈活性.

3. 適當啟發是發展邏輯思維能力的關鍵

一些教師習慣利用直接講授法授課，他們認為高中數學課程內容多、時間緊、任務重，直接授課法能確保完成教學任務. 但直接授課法往往達不到理想的教學效果，真實情況是“教師講得起勁，學生卻聽得稀里糊涂”.

現代教育理論下的高中數學課堂，并不是教師講得越多越好，學習成效取決于學生的接受能力，而不是教師的傳授數量. 因此，教師應摒棄傳統的“輸入式”教學方式，而應利用“啟發式”教學方式喚醒學生的思維，引發學生主動思考，為學生創造意識的形成奠定基礎.

作為教師，應信任學生，相信每一個學生都有獨立思考的能力，課堂中盡可能地為學生搭建展示自我的平臺，讓學生體驗到獨立思考與自主解決問題所帶來的成就感，建立學習信心［3］. 想要達到這一目的，最好的辦法就是將問題拋給學生，鼓勵學生自主思考、合作交流，必要時給予點撥與啟發，共同探索出解決問題的辦法.

例如，已知S是等差數列｛a｝中的前n項和，若agt;0，S=S，當S取最大值時，n等于（" ）

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

筆者借助多媒體展示例題后并沒有立即講解，而是要求學生從自身已有的認知經驗出發，獨立思考本題，嘗試自主完成，鼓勵先完成的學生將自己的解題方法分享給大家. 片刻后，有幾位學生就呈現出了以下解題過程.

生1：若d為等差數列｛a｝的公差，根據S=S可知9a+d=17a+d，可得d=-a，代入S=na+d中，化簡得S=-a（n2-26n）=-a［（n-13）2-169］. 因為 -alt;0，所以當n=13時S取最大值. 所以，本題的正確選項為C.

師：非常好！生1從已知條件出發，應用等差數列的前n項和公式以及二次函數的性質解題，條理清晰！但這種解題方法的運算量比較大，還有其他運算量小一點的解法嗎？

生2：與生1一樣，獲得d=-alt;0，將其代入a=a+（n-1）d中，化簡得a=（27-2n）a. 由于agt;0，因此等差數列｛a｝的前13項都是正數，往后的項都是負數，這就可以確定前13項的和是最大的.

師：不錯，從已知條件出發獲得等差數列｛a｝的通項公式，再由此判斷該數列的哪些項為正數，哪些項為負數. 這種方法的運算量確實小了一些.

生3：我還有更簡單的方法，根據agt;0，S=S能夠推斷出等差數列｛a｝的公差dlt;0. 根據S=S可知a+a+…+a=0，a+a=a+a=0.因為dlt;0，所以agt;a，因此agt;0，alt;0. 通過以上步驟同樣可得等差數列｛a｝的前13項是正數，往后的項是負數. 所以，本題選C.

師：很好，等差數列的性質被你掌握得很到位，這種方法顯然比前兩種方法簡潔多了. 還有其他意見嗎？

生4：根據agt;0，S=S能夠推斷出等差數列｛a｝的公差dlt;0，同時將S視為關于n的二次函數，由dlt;0可知該函數圖象開口向下，再根據S=S可知該函數圖象具有對稱性，對稱軸為n=13. 綜上可知，當n=13時S取最大值.

在師生的互動與啟發下，學生的思維越來越清晰，解題方法也越來越精練. 尤其是生4的解法，形象、直觀、簡潔、精準，凸顯學生邏輯思維發展的歷程. 這種開放式授課模式，不僅活躍課堂氣氛，還有效發展學生的數學邏輯思維，收效頗豐.

總之，數學邏輯思維對人類發展進程具有重要推動作用. 在高中數學教學中，教師應有計劃、有目的啟發學生的思維，讓學生在獨立思考、主動探索與合作交流中開闊視野、激活思維，提升邏輯思維能力，為形成終身可持續發展的能力奠定基礎.

參考文獻：

［1］ 郝樂，馬乾凱，郝一凡，等. 數學教育與邏輯思維能力的培養［J］. 數學教育學報，2013，22（06）：9-11.

［2］ 梁宇. 數學教育中邏輯思維能力的培養策略［J］.教學與管理，2017（15）：86-88.

［3］ G.波利亞. 怎樣解題：數學思維的新方法［M］. 涂私，馮承天，譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

作者簡介：楊帆（1985—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.