結(jié)構(gòu)化教學(xué)構(gòu)建高效高中數(shù)學(xué)課堂

梁春波

摘要：結(jié)構(gòu)化教學(xué)是構(gòu)建高效高中數(shù)學(xué)課堂的關(guān)鍵，可以引導(dǎo)高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中進(jìn)行高效學(xué)習(xí).本文中以“平面解析幾何”為例，探討了在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂的具體方法，主要是通過(guò)滲透結(jié)構(gòu)化的思想和方法，使數(shù)學(xué)理解變得結(jié)構(gòu)化，讓高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變得輕松、高效.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化教學(xué)；高中數(shù)學(xué)課堂；高效

1 結(jié)構(gòu)化教學(xué)

結(jié)構(gòu)化教學(xué)是由有規(guī)律的或相關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容組合而成的一個(gè)有序的系統(tǒng).高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，初中數(shù)學(xué)教材所呈現(xiàn)的內(nèi)容多以“點(diǎn)”的形式出現(xiàn)，隨著高中教材中內(nèi)容和知識(shí)難度的增加，這些以“點(diǎn)”存在的知識(shí)就需要進(jìn)一步衍生為“線”，再由“線”衍生成為“面”，最終形成“體”，這個(gè)過(guò)程就是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的核心.結(jié)構(gòu)化課堂的構(gòu)建還需要遵循完整性、多維性、開(kāi)放性和發(fā)展性幾個(gè)特點(diǎn)，其中完整性是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的基礎(chǔ)，多維性是橫向、縱向繁雜知識(shí)的有效規(guī)劃，開(kāi)放性和發(fā)展性是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的延伸.

2 結(jié)構(gòu)化教學(xué)案例分析

人教版高中數(shù)學(xué)教材中“平面解析幾何”的主要內(nèi)容為直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、坐標(biāo)系與參數(shù)方程等知識(shí).根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，在必修2解析幾何初級(jí)課程中，要求學(xué)生學(xué)習(xí)直線與方程、圓與方程的最基本內(nèi)容，并初步建立空間坐標(biāo)系的概念.由于這些內(nèi)容是必修，因此是為所有學(xué)生設(shè)計(jì)的.而在選修的課程中我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)了圓錐曲線與方程、空間坐標(biāo)系以及參數(shù)方程等.綜上，課程標(biāo)準(zhǔn)要求掌握解析幾何的最基本方法——用代數(shù)的思維研究基本曲線的幾何性質(zhì)，并能將最基本的學(xué)習(xí)方法遷移到圓錐曲線的學(xué)習(xí)中.通過(guò)代數(shù)思想，一方面降低了平面解析幾何的難度，提高了學(xué)生對(duì)平面解析幾何的理解程度；另一方面，這些代數(shù)思維為選修內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

在“平面解析幾何”的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷以下過(guò)程：（1）將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)語(yǔ)言描述幾何元素及其關(guān)系；（2）將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，直接解決代數(shù)問(wèn)題；（3）分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義，再回到幾何問(wèn)題上，最終實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題的解決.這是解決平面解析幾何問(wèn)題的基本思路和方法，學(xué)生需要熟練掌握這種“數(shù)形結(jié)合”的相互轉(zhuǎn)化方法.

2.1 數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉將知識(shí)結(jié)構(gòu)化

高中數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性是大家所熟知的，由于太抽象，因此學(xué)生不容易理解，更別說(shuō)在解題中靈活應(yīng)用了.學(xué)生需要不斷地把教師教授的知識(shí)轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識(shí)，由于高中生思維水平有限，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)顯然是有難度的，因此，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師需要適當(dāng)利用結(jié)構(gòu)化教學(xué)方式和方法，引導(dǎo)學(xué)生找到眾多知識(shí)中的重點(diǎn)知識(shí)，從而完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉，幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，實(shí)現(xiàn)高效的高中數(shù)學(xué)課堂的構(gòu)建.

例如，在研究“直線和圓的方程”時(shí)，可以進(jìn)行如下知識(shí)提煉：

例1 求圓心在直線y=2x-3上，且過(guò)A（5，2），B（3，-2）兩點(diǎn)的圓O的方程.

教學(xué)指導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生閱讀題干信息，通過(guò)相互交流或討論，找到這道題目的基本解決方法.因?yàn)轭}目中的條件與圓心有關(guān)，所以可以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓心在直線y=2x-3上這一關(guān)鍵信息來(lái)解.當(dāng)然，解決問(wèn)題的方法不唯一，還可以從圓心O在線段AB的中垂線上實(shí)現(xiàn)突破，從而求出方程.此外，本題的重中之重是引導(dǎo)學(xué)生提煉、總結(jié)解決此類問(wèn)題的方法和步驟，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

本題介紹了求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法，解法1用待定系數(shù)法求圓的方程，只要確定三個(gè)參數(shù)便可求出圓的方程，一般計(jì)算量相對(duì)大一些.解法2主要利用圓心在弦的中垂線上，可得圓心滿足的直線方程，再結(jié)合題目中其他已知條件可確定出圓心，進(jìn)而由兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，從而可以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.基于此，提煉出求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法——待定系數(shù)法和幾何性質(zhì)法.

2.2 揭示知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系將知識(shí)結(jié)構(gòu)化

由于高中數(shù)學(xué)課程分為必修和選修，因此明明可以設(shè)計(jì)在一起的知識(shí)卻因?yàn)楸匦藓瓦x修的區(qū)分被編排在不同的教材中.學(xué)生由于思維能力受限，不能及時(shí)將相關(guān)聯(lián)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，此時(shí)教師在教學(xué)過(guò)程中就需要采用結(jié)構(gòu)化教學(xué)模式，適當(dāng)揭示各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.比如，在學(xué)習(xí)“平面解析幾何”時(shí)需要向?qū)W生揭示，“平面解析幾何”主要包含直線、曲線、方程三方面的知識(shí).直線與與方程主要包含直線的傾斜角和斜率、直線方程的基本形式、點(diǎn)和直線的位置關(guān)系、兩條直線的位置關(guān)系等.曲線與方程主要包含三個(gè)方面的知識(shí)：（1）圓——圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；（2）橢圓——橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；（3）雙曲線——雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；（4）拋物線——拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì).而橢圓、雙曲線與拋物線又統(tǒng)稱為圓錐曲線.直線、曲線與方程方面知識(shí)的研究都需要借助平面直角坐標(biāo)系來(lái)完成，這就形成了“數(shù)向形，形向數(shù)”的轉(zhuǎn)化.

2.3 循序漸進(jìn)、逐步提高問(wèn)題難度，將知識(shí)結(jié)構(gòu)化

在高中數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)用結(jié)構(gòu)化教學(xué)時(shí)，在提升學(xué)生理解能力的基礎(chǔ)上還應(yīng)不斷發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的能力.具體來(lái)說(shuō)，教師需要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際需求，逐步提高問(wèn)題設(shè)置的難度和深度.基礎(chǔ)難度的題目可以讓所有學(xué)生參與思考和討論，難度較大的題目可以引發(fā)學(xué)生深入思考，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可以感受到分析和解決問(wèn)題是由易到難而產(chǎn)生良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維.

例如，在研究“軌跡方程”時(shí)，可以進(jìn)行如下教學(xué)：

軌跡問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，大多以解答題的形式出現(xiàn)在高考試卷中.首先我們應(yīng)總結(jié)求軌跡方程的幾個(gè)常用方法：

（1）單動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題——直接法十待定系數(shù)法；

（2）雙動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題——代入法；

（3）多動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題——參數(shù)法+交軌法.

例2 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切.

（1）求動(dòng)圓圓心軌跡C的方程.

（2）是否存在直線l，使直線l過(guò)點(diǎn)（0，1），并與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足OP＼5OQ=0？若存在，求出直線l的方程：若不存在，說(shuō)明理由.

高中數(shù)學(xué)中軌跡方程問(wèn)題往往是通過(guò)圓錐曲線的定義來(lái)求解的，本題中的軌跡方程問(wèn)題就是通過(guò)拋物線的定義來(lái)解決的.因此，在遇到此類題目時(shí)，可將軌跡問(wèn)題構(gòu)建為圓錐曲線問(wèn)題來(lái)解決，這就需要學(xué)生充分掌握?qǐng)A錐曲線的定義并且能靈活應(yīng)用.在例2的教學(xué)中，筆者圍繞直線和圓錐曲線精心設(shè)計(jì)了一組難度不同的梯次問(wèn)題，帶領(lǐng)學(xué)生在思考和分析中逐漸了解直線和圓錐曲線的位置關(guān)系及特點(diǎn)，從而引導(dǎo)學(xué)生直觀感知直線與圓錐曲線相交的相關(guān)知識(shí)，形成結(jié)構(gòu)化思維.

2.4 利用知識(shí)遷移將知識(shí)結(jié)構(gòu)化

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了利用結(jié)構(gòu)化教學(xué)構(gòu)建高效課堂，教師應(yīng)將知識(shí)遷移的教學(xué)模式運(yùn)用到教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生利用現(xiàn)有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和方法繼續(xù)探索新的知識(shí)，能通過(guò)舉一反三和觸類旁通的學(xué)習(xí)模式，掌握結(jié)構(gòu)化的具體學(xué)習(xí)方法.

例如，在教學(xué)“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”時(shí)，可以借助例2中“圓與方程”的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決例3中“直線與圓錐曲線”的相關(guān)問(wèn)題：

在例3的教學(xué)過(guò)程中，筆者結(jié)合學(xué)生對(duì)例2的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和方法來(lái)講述，使例2的解題思路有效遷移至例3中，幫助學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)方法，有助于高效數(shù)學(xué)課堂的建構(gòu).

3 小結(jié)

綜上所述，結(jié)構(gòu)化教學(xué)提倡的教學(xué)理念是根據(jù)知識(shí)之間存在的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，將相關(guān)知識(shí)巧妙聯(lián)系起來(lái)，形成相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu).對(duì)于內(nèi)在聯(lián)系不太明確的知識(shí)，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)教師需要投入更多的心思，深度探索和挖掘其相關(guān)性.同時(shí)，在總結(jié)、實(shí)踐、拓展等環(huán)節(jié)，教師也需要將構(gòu)建等思想滲透到教學(xué)活動(dòng)中，幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)方法.結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)方法不僅能促進(jìn)知識(shí)的學(xué)習(xí)，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，可為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

課題信息：2021年廣東省教育研究院“普通高中教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)結(jié)果應(yīng)用”專項(xiàng)課題“新課程背景下普通高中學(xué)生數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)研究”，課題編號(hào)為GDJY-2021-G-a04.