數(shù)形結(jié)合思想在反比例函數(shù)解題中的應(yīng)用

摘要：數(shù)形結(jié)合是非常重要的數(shù)學(xué)思想之一，描述了“數(shù)”與“形”兩個(gè)重要對象的密切聯(lián)系.初中階段，用數(shù)形結(jié)合思想解答的習(xí)題情境也是常考常新.反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)非常重要的函數(shù)類型，相關(guān)題型靈活多變.數(shù)形結(jié)合思想可給反比例函數(shù)習(xí)題的解答帶來良好指引，從而提高解題效率.為深化學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的進(jìn)一步認(rèn)識，幫助學(xué)生積累相關(guān)的運(yùn)用技巧，提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意識與能力，本文中展示了數(shù)形結(jié)合思想在不同反比例函數(shù)習(xí)題中的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；反比例函數(shù)；解題；應(yīng)用

實(shí)踐表明，利用數(shù)形結(jié)合思想解答反比例函數(shù)習(xí)題可使學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，避免在解題中走彎路.因此，在反比例函數(shù)解題教學(xué)中，應(yīng)將數(shù)學(xué)思想尤其數(shù)形結(jié)合思想納入教學(xué)的重點(diǎn)，并有效穿插至數(shù)學(xué)知識的傳授中.同時(shí)，明確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答反比例函數(shù)習(xí)題的相關(guān)細(xì)節(jié)，尤其需要注意的是，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵在于合理構(gòu)造圖形，靈活應(yīng)用所構(gòu)造圖形、反比例函數(shù)圖象的相關(guān)性質(zhì)，厘清坐標(biāo)與線段、線段與角度之間的邏輯關(guān)系，通過謹(jǐn)慎的計(jì)算得出結(jié)果.

1 解答反比例函數(shù)與直線問題

例1" 已知一次函數(shù)圖象y=x+5和反比例函數(shù)y=kx其中一個(gè)分支的圖象，如圖1所示，若點(diǎn)A（a，1），B（-2，b）均在函數(shù)y=x+5圖象上，則k的可能值為（" ）.

A.-6

B.-5

C.5

D.6

解：由A（a，1），B（-2，b）均在函數(shù)y=x+5的圖象上，得a+5=1，-2+5=b，解得a=-4，b=3，則A（-4，1），B（-2，3）.

觀察圖1，可知點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象的下方，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象的上方.通過分析A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)圖象的數(shù)、形關(guān)系，可構(gòu)造出不等式組k-4gt;1，k-2lt;3，解得-6lt;klt;-4.

故選答案：B.

點(diǎn)評：該題能很好地考查學(xué)生的抽象能力，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識.解題時(shí)需根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的已知點(diǎn)求出A，B兩點(diǎn)的具體坐標(biāo).通過觀察函數(shù)圖象，合理抽象出“數(shù)”與“形”的關(guān)系，構(gòu)造出對應(yīng)不等式，計(jì)算得出結(jié)果［1］.

2 解答反比例函數(shù)與三角形問題

例2" 如圖2，點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=k1x（xgt;0），y=k2x（xlt;0）圖象上，∠AOB=90°，sin∠BAO=33，則k2k1的值為.

解：由∠AOB=90°，sin∠BAO=33.得OBAB=33.

設(shè)OB=3a，則AB=3a.由勾股定理，可得OA=AB2-OB2=6a，則OBOA=3a6a=22.

過點(diǎn)A，B分別向x軸作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖3.

于是∠BFO=∠AEO=∠AOB=90°，

∠FBO+∠BOF=90°，

∠AOE+∠BOF=90°.

所以∠FBO=∠AOE.

因此，△BFO∽△OEA，則有

S△BFOS△OEA=（OB）2（OA）2=12.

觀察圖3，積極聯(lián)系反比例函數(shù)中的k值和對應(yīng)三角形之間的關(guān)系，不難得出S△BFO=-12k2，S△OEA=12k1，則-k2k1=12，即k2k1=-12.

故填答案：-12.

點(diǎn)評：該題考查的知識點(diǎn)較多，難度中等.破題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，借助數(shù)形結(jié)合思想，明確對應(yīng)角度的相等關(guān)系，以證明三角形相似.利用三角形相似時(shí)面積與線段的關(guān)系，構(gòu)建已知與未知參數(shù)之間的關(guān)系.同時(shí)，從圖形視角分析反比例函數(shù)中的k值和對應(yīng)三角形面積的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，便可達(dá)到順利解題的目的［2］.

3 解答反比例函數(shù)與圓相關(guān)的問題

例3" 如圖4所示，反比例函數(shù)y=kx（xgt;0）的圖象和直線AB交于A，B（3，1）兩點(diǎn)，直線OC⊥AB，且AC=BC.過點(diǎn)C作x軸的垂線于點(diǎn)D.若在直線OC上有一點(diǎn)P（m，n），滿足∠APB=∠ADB，則m+n的值為.

解：如圖5，作△ABD的外接圓J，和OC交于點(diǎn)P，連接AP，PB.由圓的性質(zhì)，可得∠APB=∠ADB.

由反比例函數(shù)y=kx（xgt;0）圖象過點(diǎn)B（3，1），解得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=3x（xgt;0）.

由OC⊥AB，且AC=BC，可得直線OC垂直平分線段AB.

由反比例函數(shù)圖象的對稱性可知，直線OC的表達(dá)式為y=x，易得A（1，3），C（2，2）.

由CD垂直于x軸，可知D（2，0）.

又AD2=（1-2）2+（3-0）2=10，AB2=（3-1）2+（1-3）2=8，BD2=（3-2）2+（1-0）2=2，所以AB2+BD2=AD2.

所以△ABD為直角三角形，且∠ABD=90°.

因此，J為AD的中點(diǎn)，則有J32，32，PJ=12AD=102.

又可得OJ=32-02+32-02=322，所以O(shè)P=OJ-PJ=32-102.

所以m=n=22OP=3-52.

所以m+n=3-5，此時(shí)P3-52，3-52.

由圖形的對稱性可知，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)P′5+52，5+52，此時(shí)m+n=5+5.

綜上，m+n的值為3-5或5+5.

點(diǎn)評：該題綜合性較強(qiáng)，難度較大，考查的知識有反比例函數(shù)、等腰三角形、圓、勾股定理的逆定理以及分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.解答該題不僅需熟練應(yīng)用所學(xué)知識，更要在數(shù)形結(jié)合思想的指引下，結(jié)合對題干條件的深入分析構(gòu)造正確的圖形，畫出輔助線.其中，充分挖掘隱含條件畫出對應(yīng)的“圓”，更好地揭示圖形中角度、參數(shù)關(guān)系是有效破題的關(guān)鍵.需要注意的是，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，考慮應(yīng)全面，避免遺漏滿足題設(shè)條件的情境［3］.

4 總結(jié)

以數(shù)形結(jié)合思想為指引解答反比例函數(shù)習(xí)題可達(dá)到事半功倍的效果.為提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答反比例函數(shù)的意識與能力，教學(xué)時(shí)應(yīng)展示數(shù)形結(jié)合在解題中的常見形式，包括根據(jù)題干中給出的“數(shù)”“角度”等畫出對應(yīng)圖形、圖象，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化.將給出的圖象、圖形放置在坐標(biāo)系中，借助坐標(biāo)將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”.與此同時(shí)，結(jié)合重點(diǎn)習(xí)題講解、專題訓(xùn)練等多種授課活動，使學(xué)生親身感受數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用過程，體會數(shù)形結(jié)合思想的重要價(jià)值，積累更多的應(yīng)用技巧，使學(xué)生解答反比例函數(shù)習(xí)題的能力和水平均能得到很好的提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］車思楊.數(shù)形結(jié)合解決一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2020（4）：43.46.

［2］吳先名.把握問題本質(zhì) 數(shù)形結(jié)合化解——以解一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題為例［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2018（8）：32.33.

［3］劉志峰.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用分析——以反比例函數(shù)為例［J］.課程教育研究，2017（46）：150.