高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧解析

摘 要：基于新課程改革要求重視學(xué)生思維能力培養(yǎng)的大背景，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視數(shù)列試題的教學(xué)。文章從講述數(shù)列章節(jié)的重要性出發(fā)，針對學(xué)生的學(xué)習(xí)特征，詳盡分析了高中階段數(shù)學(xué)各類數(shù)列試題的具體解題方法與技巧，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列試題；解題方法；解題技巧

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2024）06-0071-03

數(shù)列指依據(jù)一定順序進(jìn)行排列的一列數(shù)。數(shù)列中的數(shù)被稱為這個數(shù)列的項(xiàng)，排首位的為首項(xiàng)，排第二位的為第二項(xiàng)……以此類推，排在第n位的數(shù)，就被稱為第n項(xiàng)，一般會用“an”表示。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，

數(shù)列是學(xué)生習(xí)得知識、鍛煉思維能力的重點(diǎn)內(nèi)容。又因?yàn)閿?shù)列與函數(shù)和不等式間的緊密關(guān)聯(lián)，數(shù)列這一章節(jié)的試題題型相對復(fù)雜。學(xué)生在解此類試題時也會產(chǎn)生無法解答或是不能輕易解答的困擾。結(jié)合新課程改革背景下高中數(shù)學(xué)課堂需轉(zhuǎn)變學(xué)生解題思維、增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)意識、推進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的要求，高中數(shù)學(xué)教師不僅要重視數(shù)列這一章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，還要格外關(guān)注數(shù)列試題解題方法與技巧的教學(xué)。只有這樣，學(xué)生才能在解題的過程中掌握與數(shù)列相關(guān)的解題方法與技巧，精確且迅速地解答數(shù)列問題。

一、數(shù)列章節(jié)的基礎(chǔ)內(nèi)容及重視試題方法與技巧研討的重要性

（一）數(shù)列章節(jié)的基礎(chǔ)知識與內(nèi)容

通過對新高考題型的分析與解答，可以明確數(shù)列這一數(shù)學(xué)內(nèi)容在其中的重要地位。又因?yàn)閿?shù)列內(nèi)容的復(fù)雜性，高考時的數(shù)列試題難度都會比較大。所以，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教師公認(rèn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)[1]。

以蘇教版數(shù)學(xué)必修5第12章“數(shù)列”為例。本章主要講述了“數(shù)列的概念”“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”

以及兩者的整合運(yùn)用。雖然本章的教學(xué)內(nèi)容并不繁雜，但數(shù)列內(nèi)容中有著極為豐富的數(shù)學(xué)思想和方法。特別是數(shù)列求通項(xiàng)與和，解題方法不僅多，且需要解題者擁有靈活的思維。對于教師來說，不僅要通過對數(shù)列各類解題方法的細(xì)致歸類，拓展學(xué)生的解題思路，還要依靠對典型例題的選取，使學(xué)生逐步形成數(shù)列試題解題意識。

（二）掌握高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題解題技巧與方法的必要性

基于新課程改革的教學(xué)要求，數(shù)列層面的教學(xué)不應(yīng)只停留在概念講述和理論闡釋方面，還應(yīng)讓學(xué)生依賴一定的方法和技巧，對數(shù)列試題進(jìn)行深層次的探討和研究，以使學(xué)生在理解能力逐步提升的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化自身綜合應(yīng)用能力與解題能力[2]。

新課程改革對高中數(shù)學(xué)試題解題技巧與方法教學(xué)也提出了相應(yīng)的要求，新高考制度下的試題也展現(xiàn)出了符合課程改革要求的內(nèi)容，如數(shù)列與函數(shù)的融合、數(shù)列與方程的融合、數(shù)列與圓的融合等一系列問題。這些問題的變換不是為了增添難度，而是為了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想上的融合。當(dāng)學(xué)生學(xué)會了針對這類問題的解題方法，其整體知識框架也會得到完善。

（三）在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中重視數(shù)列試題解題技巧與方法教學(xué)的價值彰顯

1.有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升

無論是概念上的數(shù)列試題考查，還是數(shù)列通項(xiàng)公式的試題考查，學(xué)生在解題時，都會用到各式各樣的解題方法，如累乘法、累加法、倒序相加法等。這些解題方法都在某種程度上展現(xiàn)了有魅力的數(shù)學(xué)思想。而包裹在這些方法中的思想核心，除連接了與函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，還與導(dǎo)數(shù)存在著密切的關(guān)聯(lián)[3]。由此，

教師在結(jié)合數(shù)列試題講解解題技巧時，就會借助數(shù)列與其他數(shù)學(xué)知識間的連接，發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。學(xué)生也會在思維的發(fā)散之下，提高自身數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

2.有助于拓寬學(xué)生的知識面，便于學(xué)生構(gòu)建完善的思維體系

在解數(shù)列試題的過程中，高中生一般只會單一地應(yīng)用數(shù)列公式或是概念性質(zhì)，進(jìn)行針對數(shù)列問題的求解。而分析近幾年的高考試題可知，數(shù)列試題的呈現(xiàn)并不單一。為此，學(xué)生若能夠通過知識的連接進(jìn)行解答，部分?jǐn)?shù)列題目也會變得相對簡單。而這個過程要求學(xué)生擁有聯(lián)系各方數(shù)學(xué)知識的能力。

由此可見，教師重視數(shù)列試題解題技巧與方法的教學(xué)，明顯有助于拓寬學(xué)生的知識面，幫助學(xué)生形成綜合化的數(shù)學(xué)思維體系[4]。

3.有助于學(xué)生解題思維及意識的形成

高中的數(shù)學(xué)教育離不開思想、方法及應(yīng)用實(shí)踐的教育。高中數(shù)學(xué)教師不能再沿用以往傳統(tǒng)的教學(xué)方式進(jìn)行知識講解及解題教學(xué)。數(shù)列作為高三的教學(xué)內(nèi)容，本身就具備一定的復(fù)雜性，加之與其他知識的關(guān)聯(lián)，更讓一些數(shù)列問題難度加大。假設(shè)學(xué)生連基礎(chǔ)的知識內(nèi)容都沒有牢固掌握，他們在學(xué)習(xí)或是解題的過程中，就會出現(xiàn)不想學(xué)、不想解的想法。為讓學(xué)生形成熟練性的解題思維和意識，高中數(shù)學(xué)教師要重視數(shù)列試題解題方法與技巧的教學(xué)，繼而通過問題中的知識引導(dǎo)和探究，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

二、數(shù)列試題的解題方法及技巧研討

（一）結(jié)合數(shù)列的基礎(chǔ)概念，解答簡易化數(shù)列問題

基礎(chǔ)概念雖然核心在基礎(chǔ)，但也是學(xué)生解答相關(guān)問題的關(guān)鍵，會對學(xué)生的解答思維產(chǎn)生一定的影響。初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)通常不會關(guān)聯(lián)至數(shù)列內(nèi)容，因此，學(xué)生都是在進(jìn)入高中階段以后，才開始對數(shù)列問題有一定的認(rèn)知的。這時，為發(fā)展學(xué)生思維能力、提高學(xué)生解題能力，教師就要重視夯實(shí)學(xué)生知識基礎(chǔ)，豐富學(xué)生知識儲備[5]。

例題1：當(dāng)前有一等差數(shù)列{bn}，已知b4＝4，S10＝55，試求出S4為多少。

分析：依據(jù)題意可知，此題考查的是學(xué)生對等差數(shù)列概念的掌握。所以，在解答此題的過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生融合等差數(shù)列的概念進(jìn)行解題，使學(xué)生通過對通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用求出答案。

解：已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1＋（n－1）d，

Sn＝na1＋d，將b4＝4，S10＝55，代入bn＝b1＋（n－1）d、Sn＝nb1＋d的通項(xiàng)公式中，可得b1＝1，d=1，S4＝10.

（二）基于繪圖方法的應(yīng)用，解答填空式數(shù)列問題

在解答數(shù)列問題的過程中，繪圖方法也是學(xué)生需要掌握的一種解題技巧，而繪制的前提在于，解題者要懂得融合題干中的已知數(shù)量及關(guān)系，展開圖形繪制，然后再依照直觀性的圖像來探究題干問題中所含的數(shù)量關(guān)系和核心規(guī)律。這樣，復(fù)雜的數(shù)列問題才會變得相對簡單。

例題2：已知公差不為零的等差數(shù)列{bn}中bm＝n，bn＝m，且m與n不等，試著求出bm＋n為多少。

分析：因?yàn)閎n是等差數(shù)列，且公差不為零，那就可判斷為bn是關(guān)于n的一次函數(shù)，由于bm＝n，bn＝m，那說明對應(yīng)的坐標(biāo)三個點(diǎn)應(yīng)該位于一條直線上，根據(jù)斜率定律就可算出bm＋n的值。

解：已知bm＝n，bn＝m，那（m＋n，bm＋n）（m，n）（n，m）就處在同一直線，因?yàn)橥恢本€斜率相等，所以bm＋n的值就為0.

（三）立足數(shù)列試題的性質(zhì)，解答非常規(guī)數(shù)列問題

數(shù)學(xué)性質(zhì)作為數(shù)列部分知識學(xué)習(xí)進(jìn)程中的重要內(nèi)容，能夠有效協(xié)助學(xué)生提高數(shù)列解題效率。為此，高中數(shù)學(xué)教師在結(jié)合例題講述解答方法時，就要重視數(shù)列性質(zhì)層面的知識傳授，且要教授學(xué)生怎樣結(jié)合數(shù)列性質(zhì)來解答一些非常規(guī)的數(shù)列問題。這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解答數(shù)列問題的能力才可以得到提升。

例題3：已知{bn}為等比數(shù)列，其中n是正整數(shù)，

且b1b7=36，試求出b3b5＋b6b2為多少。

分析：在解答這一等比數(shù)列問題時，假設(shè)解題者應(yīng)用比較符合常用規(guī)則的解題策略，即依照等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行問題解答，在解答b3b5＋b6b2為多少時，就容易出現(xiàn)不正確的答案。但如果借由等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行問題解答，就能夠快速得到此題的答案。

解：假設(shè)e＋f＝o＋p保持成立，那么bebf＝bobp，

由此可得b3b5＝b6b2＝b1b7＝36，那b3b5＋b6b2就等于72.

（四）重視數(shù)列公式的實(shí)踐，解答針對性數(shù)列問題

公式貫穿學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的始終，是學(xué)生需要精準(zhǔn)掌握的知識內(nèi)容，是在解答“通項(xiàng)公式”“前n項(xiàng)和”等問題時的主要解題方法。一旦學(xué)生掌握了公式的有效應(yīng)用，其解題能力就會得到極大的提升。

例題4：（1）在等差數(shù)列{an}中，已知d＝2，n＝15，an＝-10，求a1及Sn.

（2）在等比數(shù)列{an}中，已知a2＋a3＝6，a2＋a4＝12，求q及S10.

分析：這兩道題分別從等差數(shù)列和等比數(shù)列的角度，向?qū)W生提出問題。學(xué)生在解答此類通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和時，就要重視對公式的掌握，比如對等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的掌握，都可讓學(xué)生在解答通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和時，迅速通過公式給出相應(yīng)的答案。

（五）關(guān)聯(lián)函數(shù)層面的思想，解答復(fù)雜化數(shù)列問題

在數(shù)學(xué)思想中，函數(shù)思想有其獨(dú)特的思想價值，不僅能夠?qū)⒎彪s的問題簡易化，還能夠有效完善學(xué)生的解題思維。教師在講述關(guān)于數(shù)列問題的解題方法時，就可關(guān)聯(lián)函數(shù)層面的思想，解答一些復(fù)雜化的數(shù)列問題，并以此為核心，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的

提升。

例題5：已知函數(shù)y＝f （x）為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a3>0，則f （a1）＋f （a3）＋f （a5）的值為（ ）。

A.恒為正數(shù) B.恒為負(fù)數(shù)

C.恒為0 D.可正可負(fù)

分析：函數(shù)y＝f （x）為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，由a3>0，可知f （a3）>0且a1＋a5＝2a3>0，所以a1>-a5，f （a1）>

f （-a5）＝-f （a5），f （a1）＋f （a5）>0，所以f （a1）＋f （a3）＋

f （a5）＞0，所以選擇A，即恒為正數(shù)。

（六）重視方程思想的結(jié)合，解答目的性數(shù)列問題

在高中時期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，方程思想和函數(shù)思想十分相似，都是學(xué)生應(yīng)該掌握且應(yīng)用在解題時的核心數(shù)學(xué)思想。在解答部分?jǐn)?shù)列問題時，假設(shè)能夠相對靈活地對方程思想進(jìn)行運(yùn)用，那繁復(fù)的數(shù)列問題也會被簡化。關(guān)于方程思想在數(shù)列問題中的定義，實(shí)則就是在求解的過程中，依據(jù)系列化數(shù)列公式來搭建對應(yīng)的方程組，之后借助方程組的解答形式，獲取正確答案。

例題6：{an}為等比數(shù)列，已知a1＝3，a9＝768，求a6。

解：設(shè)公比為q，那768=a1q8，q8=256，所以q=

±2，所以a6=±96。

（七）融合數(shù)列問題舉一反三，解答聯(lián)合性數(shù)列問題

為提高學(xué)生對一類數(shù)列問題的解答熟練度，教師可融合數(shù)列問題，列出舉一反三的問題，以此提高學(xué)生解答聯(lián)合性數(shù)列問題的能力。

例題7：已知一列數(shù)2，8，26，80，…，按此規(guī)

律，則第n個數(shù)是多少？（用含n的代數(shù)式表示）

解：已知一列數(shù)2，8，26，80，…，按此規(guī)律，則第n個數(shù)是3n－1。

舉一反三：如圖1，∠AOB＝60°，O1，O2，

O3，…是∠AOB平分線上的點(diǎn)，其中OO1＝2，若分別以O(shè)1，O2，O3…為圓心作圓，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3，…均與∠AOB的兩邊相切，且相鄰兩圓相外切，則⊙O2014的面積是多少？（結(jié)果保留π）

三、結(jié)束語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)列是十分重要的一類題型。由于數(shù)列試題對應(yīng)解答方法所呈現(xiàn)出的內(nèi)涵較為豐富，學(xué)生不僅可以在解題的過程中掌握一定的函數(shù)思想和方程思想，還能夠通過解題鞏固自身對數(shù)列公式、概念及性質(zhì)的應(yīng)用。但在實(shí)際了解、觀察或是閱讀解答數(shù)列問題時，學(xué)生一定要認(rèn)真解讀數(shù)列問題上的題干內(nèi)容，這樣才能夠基于題干內(nèi)容選取適當(dāng)?shù)那蠼夥椒ǎM(jìn)而提升求解數(shù)列問題的能力。

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作者簡介：金原瑾（1986.5-），女，江蘇如東人，

任教于江蘇省白蒲高級中學(xué)，一級教師，本科學(xué)歷，榮獲市解題基本功大賽一等獎。