初中數學實驗類型及其教學范式

樊春健

［摘? 要］ 初中數學實驗是學生數學學習的重要方式. 初中數學實驗能充分發揮數學學科的育人功能，彰顯數學學科的育人價值. 初中數學實驗教學范式主要有切片式、并列式、階梯式和混合式四種類型. 在初中數學實驗教學中，教師可以采用一種“教結構—學結構—用結構”的范式，充分發揮學生數學實驗的主體性作用，讓學生的數學實驗從他組織走向自組織，從單一走向立體、多維.

［關鍵詞］ 初中數學；數學實驗；實驗類型；教學范式

實驗是學生數學學習的重要方式. 數學實驗能充分發揮數學學科的育人功能，彰顯數學學科的育人價值. 在初中數學教學中，教師要激發學生的實驗興趣，調動學生的數學實驗積極性，發掘學生的數學實驗創造性，引導學生借助實驗去探索、建構、創造數學知識. 數學實驗是學生知識建構、技能和智慧形成的根源，是學生數學經驗建構的重要方式，也是數學思想的源泉［1］. 教師必須深入研究數學實驗的類型及其教學范式，并不斷探尋數學實驗類型及其相對應的實驗范式，才能讓學生的數學實驗更科學、更高效，才能提升學生的數學學習效能.

切片式實驗活動設計

初中生的數學實驗活動，從組織范式上來看，主要可以分為兩大類：一類是通過一個實驗活動解決問題的切片式實驗；另一類是通過多個實驗活動解決問題的復合式實驗. 切片式實驗，往往是針對學生數學學習中的某個學習重點、難點、疑點和盲點內容而開展的單一性實驗；而復合式實驗（復雜式實驗）往往是針對復雜的內容或內容群等而開展的多重性實驗. 切片式實驗的基本范式就是“實驗→結論”. 在初中數學課堂教學中，切片式實驗往往更契合現實，更有助于數學實驗的常態化開展.

由于切片式實驗是一種單一性的實驗，因此它往往是嵌入課堂教學之中的，或者是課堂教學的一個環節. 根據實驗目標、實驗對象、實驗內容等的不同，切片式實驗可以分為概念型切片實驗、方法型切片實驗等. 比如教學“勾股定理”這一部分內容時，為了讓學生能在數學活動中感受“數形結合”，筆者設計了這樣一個“切片式實驗”：在數軸上表示無理數. 在活動中，學生從問題出發，開展自主研究、合作交流. 在實驗過程中，學生充分地觀察、思考，將勾股定理的學習與已有知識經驗結合起來，擴大了數學視野，增強了數學學習的主動性、積極性.

切片式實驗是教師在數學課堂上經常開展的數學活動. 教師要根據學生自身特質及具體學情，引導學生開展動態性、生成性的實驗活動. 動態性、生成性的數學實驗不僅能激發學生的數學學習興趣，還有助于促進學生的數學認知、理解，更有助于化數學知識的抽象為形象，從而讓學生的數學思考、數學探究深入淺出.

并列式實驗活動設計

與切片式實驗活動不同，并列式實驗活動往往是教師引導學生針對同一個數學問題開展不同視角的數學探究. 并列式數學實驗活動，有助于學生充分發揮自身的主體性作用. 教師要鼓勵學生在數學學習過程中開展多樣化探索，尤其要鼓勵學生開展個性化探索. 并列式實驗活動的范式是“數學實驗1（數學實驗2……）→結論”. 換言之，在同一個時空下，學生針對同一個數學學習目標、內容等開展不同的數學實驗，但殊途同歸都能得出相同的數學結論. 對于學生的并列式實驗，教師要引導學生互動、交流，從而讓學生的實驗設計策略、方法、路徑得到分享、共享［2］.

比如教學“多邊形的內角和”這一部分內容時，教師基于學生的已有知識經驗（主要是三角形的內角和），引導學生開展自主性、自能性的數學實驗. 學生基本上采用一種“將多邊形分割成三角形”求內角和. 為了探索的方便，學生大都采用的“以小見大找規律”的方法，也就是學生從探索四邊形內角和、五邊形內角和、六邊形內角和等入手，歸納、概括、總結出多邊形的內角和. 在具體的實驗過程中，有些學生從多邊形的內部取一點，然后依次連接這個點和多邊形的頂點；有些學生從多邊形的邊上取一點，然后連接這個點和多邊形的頂點；還有些學生從多邊形的一個頂點出發，依次連接這個頂點和其他的頂點，等等. 不同的學生，在各自的小組開展了不同的實驗活動. 在分組實驗之后，教師引導學生進行實驗互動、交流，從而引導學生進行實驗后的對比分析，讓學生總結各自實驗活動的相同點和不同點. 通過去除實驗過程中的非本質屬性內容，讓學生經歷去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的過程，進而引導學生得出相同的數學結論. 并列式實驗活動可以在同時空下開展，它們之間沒有優劣之分，而僅僅是視角不同、方法不同等. 并列式實驗活動設計中，教師基于同一個問題，采用不同的實驗路徑、策略、方式和方法，但最終都能讓學生發現、建構數學新知.

并列式實驗活動沒有主次、輕重之分. 實驗與實驗的關系是并列的. 教師要善于賦權、放權，要善于讓學生擁有自主實驗的時空，讓學生在自主實驗過程中習得數學知識，提升數學活動能力. 如在上述“多邊形的內角和”的探索過程中，學生通過比較并列式實驗，能有效歸納、總結出多邊形的內角和公式. 在并列式實驗過程中，教師不宜給予學生過多的條條框框，而應當引導學生開展個體性的實驗. 個體性的實驗充分彰顯了學生在數學學習中的主體性、獨特性，是學生數學素養的確證與表征.

階梯式實驗活動設計

學生的數學實驗過程需要經過“猜想—驗證—實驗—結論”的過程，但這個過程往往不是一帆風順的，也不是一蹴而就的，而是需要一個循序漸進、螺旋式上升的過程. 換言之，學生的數學實驗是一種“實驗—再實驗—又實驗—……”的過程. 這些實驗不是重復性的，而是呈階梯式的. 階梯是一個形象的比喻，是指學生的數學實驗活動處于一個不斷進階的過程. 前一個實驗是后一個實驗的基礎，后一個實驗是前一個實驗的延伸、拓展、提升. 通過階梯式的實驗，學生往往從“初步發現”到“逐步完善”再到“得出結論”的全過程. 階梯式實驗活動，針對的是學生通過一個數學實驗活動不能有效解決問題，而只有依托多個數學實驗活動才能有效解決問題的現象.

比如教學“三角形的內角和”這一部分內容時，教師首先引導學生開展操作性的探索，主要是讓學生借助剪角、撕角、折角、拼角等相關的活動，讓學生增強對“三角形的內角和”的感性認知. 但這種感性認知不能滿足學生的理性訴求，學生認為這樣的實驗方式是一種外在的甚至是非數學的證明方式，因而就會產生一種嚴格證明、嚴密推理的實驗訴求. 為此，在學生操作性的實驗活動的基礎上，教師要引導學生開展思維性的數學實驗. 思維性的實驗主要是頭腦實驗，也就是要求學生借助輔助線，利用“兩直線平行、內錯角相等”“兩直線平行、同位角相等”以及“等量代換”等相關的數學知識、方法和思想進行思維性的推理、推導. 相較于第一層次的外顯的操作性實驗活動，這一層次的思維推理性的實驗活動就是一種學習進階，能助推學生的數學認知從低階走向高階. 如學生對“三角形的內角和”的認知不再模糊，不再停留在大約是180°的層面上，而是證明了“三角形的內角和就是180°”. 通過這一層次的思維性實驗，學生的數學思維更加嚴謹、嚴密. 有了這種階梯式實驗活動，學生就會對“三角形的內角和”形成本質性的認知. 這種階梯式實驗活動范式，層次清晰、結構清晰、脈絡清晰，具有可操作性，是學生數學學習的重要范式.

階梯式實驗活動設計，要求教師謀劃好學生數學學習的步驟，引導學生循序漸進地開展數學實驗，促進學生在數學實驗過程中展開深度思考、深度探究，促進學生數學學習的轉型升級. 在階梯式實驗活動過程中，學生能不斷突破自我的認知局限，對數學知識的認知能走向本質.

混合式實驗活動設計

所謂混合式實驗活動，也就是指“教師在引導學生數學實驗的過程中融合了并列式、階梯式實驗活動，是一種各式實驗活動融合、交織在一起的實驗方式”. 在混合式實驗活動過程中，教師可以引導學生應用多種實驗方法，比如模擬法、模型法、對比法等. 通過混合式實驗活動，引導學生建構數學知識、建構數學模型. 混合式實驗活動，在初中生數學學習活動中有著廣泛的應用，能有效提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養.

比如教學“特殊的平行四邊形”這一部分內容時，教師引導學生通過剪、疊、折等方法去制作平行四邊形紙片、菱形紙片、正方形紙片等. 教師首先引導學生制作平行四邊形紙片，這一數學實驗活動相對比較簡單. 在此基礎上，教師引導學生借助長方形制作菱形紙片. 教師首先引導學生觀看微視頻，讓學生認識到長方形的對角線相等，得出連接長方形四條邊的中點所構成的圖形就是菱形；接著引導學生動手操作，讓學生依據觀看微視頻得到的原理折疊制作出一個菱形. 這一過程激發了學生的學習興趣，讓學生產生了“制作菱形”的愿望. 為此，學生積極地運用折、剪、疊、拼等多種方式，創造出多樣化的制作菱形的方法，這是并列式實驗活動. 通過豐富多彩的并列式實驗活動，學生不僅學會了折、疊、剪的方法，還學會了拼的方法. 在此基礎上，教師引導學生進一步開展數學實驗，讓學生制作正方形. 有學生根據矩形的特質，對菱形予以加工；有學生直接將四邊形加工成正方形，培養了創新意識. 如有一些學生認為，任意的一張紙（無論是什么四邊形），最多只要操作三次就可以形成一個正方形，第一次可以通過任何四邊形創造出平行四邊形，第二次可以借助平行四邊形創造出菱形或矩形，第三次就可以借助菱形或矩形創造出正方形. 這樣的一種實驗過程，不能不說是學生的發現. 在這個過程中，學生的數學實驗活動既有并列式的，又有階梯式的，因而它是混合式的. 如果說，并列式實驗活動是從不同切口開展的，那么，階梯式實驗活動就是切口的一種承接，下一個數學實驗活動的切口就是上一個數學實驗活動的結論. 混合式實驗活動既讓學生的數學實驗多樣化，又讓學生的數學學習具有一種連續性、發展性、進階性.

在“制作圖形”的過程中，學生不僅掌握了平行四邊形、矩形、菱形、正方形等圖形的特征，而且掌握了它們之間的關系. 借助“制作圖形”活動，學生還能積累數學基本活動經驗，感悟相關的數學思想方法. 教師要積極地謀劃學生的數學學習步驟，引導學生循序漸進地開展數學實驗，促進學生的數學思考、探究不斷升級.

學生的數學實驗是一個多層次、結構化、系統化的活動過程. 對學生數學實驗范式的實踐研究不僅能提升教師的教學力，還能增進學生數學實驗活動的理性自覺. 在初中數學實驗教學中，教師可以采用一種“教結構—學結構—用結構”的范式，充分發揮學生在數學實驗中的主體性作用，讓學生的數學實驗從他組織走向自組織，從單一走向立體、多維，讓學生的數學實驗煥發出生命的活力.

參考文獻：

［1］翟斌. 數學實驗，讓數學課堂更精彩［J］. 初中生世界，2018（48）：42-44

［2］孫朝仁，朱桂鳳. 基于學習觀支持的數學實驗教學實踐理路［J］. 教學與管理，2021（28）：43-46.