關于圖形變換中的折疊探究

孫鍇

［摘? 要］ 折疊是圖形變換的一種方式，圖形折疊中涉及了點、線段、圖形的一些特殊性質，是幾何綜合題構建的基礎. 中考綜合題中常見幾何折疊，探究問題特征，總結解題策略就顯得十分有必要. 文章挖掘幾何折疊的本質，歸納解題策略，探究矩形背下的幾何折疊問題.

［關鍵詞］ 圖形；折疊；線段；模型；矩形

問題綜述

折疊是幾何變換的一種方式，以其為背景構建的幾何問題在中考中十分常見，問題設計新穎，變化多樣，能夠全面考查學生的讀圖與分析能力.

幾何中的折疊問題，本質上就是對稱問題，圖形折疊中隱含著全等，對應邊、對應角相等. 實際考查時常從綜合視角切入，涉及三角形全等及相似、四邊形的性質定理、勾股定理等知識，同時隱含了數形結合、分類討論、方程、模型構造等數學思想. 探究解析需要立足折疊特性，把握知識關聯、合理使用幾何的方法技巧來構建思路.

關于幾何折疊問題，解題突破有如下三種策略，可根據題型特點靈活選用.

策略1：根據圖形折疊的知識本質，折疊前后所得的兩個圖形全等，對應點的連線被對稱軸垂直平分，可利用其幾何特性來構建模型；

策略2：提取問題中的特殊模型和特殊關系，如直角三角形、三角形相似等，靈活運用勾股定理、相似三角形的性質來構建線段關系；

策略3：把握知識關聯，結合問題中的相關圖形性質，如圓的性質、四邊形性質等，將問題轉化為特殊的幾何問題.

問題探究

幾何折疊問題的類型較多，圖形結構豐富多變，圖形的構建背景不唯一，常見的有矩形、三角形、一般四邊形等. 設問涉及線段關系、動點軌跡、分類討論模型等多種形式，下面結合實例探究矩形背景中的折疊問題，總結方法.

1. 矩形折疊與線段比值

矩形折疊中的線段比值問題，即以矩形為背景構建幾何折疊，探尋其中的線段比值關系. 探究解析的核心是轉化構建圖形中的線段關系，可提取其中的特殊模型，利用勾股定理、三角形相似的性質來轉化構建.

解析? 由題干條件可知，將矩形ABCD對折，折痕為PQ，所以AP=BP=DQ=CQ，∠ADC=90°. 點F是線段AQ的中點，則DF=AF=QF.

設AP=BP=DQ=CQ=m，則AB=CD=2m. 由題意可知將∠C沿DE折疊，使點C剛好落在線段AQ的中點F處，所以DF=CD=2m，EF=CE，可推得DF=AF=QF=2m，設EF=CE=n.

解后評析? 上述為矩形折疊中的線段比值問題，考查了軸對稱、矩形、勾股定理、直角三角形斜邊中線等相關知識. 解題的關鍵是把握折疊過程，合理構建模型，提取其中的特殊三角形，利用勾股定理來構建線段關系，將線段比值問題轉化為與線段參數相關的代數問題進行分析.

2. 矩形折疊與模型討論

矩形折疊與模型討論問題，即以矩形為背景構建動態問題，解析時需要討論其中的模型，如點位置模型、圖形形狀模型等. 問題解析需要關注其中的動態要素，設定條件，分類構建模型，針對模型開展討論分析.

例2？搖 如圖3，在矩形ABCD中，已知AB=10，AD=6，動點P從點D出發，以每秒2個單位的速度沿線段DC向終點C運動，運動時間為t秒，連接AP，把△ADP沿著AP翻折得到△AEP. 作射線PE與邊AB交于點Q，當QE=QB時，t=______.

解析? 本題目以矩形為背景構建了動點移動以及三角形折疊. 問題分析等線段情形下動點的移動時間，需要討論點E的位置，分別構建幾何模型討論.

情形1：當點E在矩形ABCD的內部時，如圖4所示. 四邊形ABCD為矩形，則AB∥CD，∠APD=∠BAP. 題目中將△ADP沿著AP翻折得到△AEP，其中AD=6，由折疊特性可推得∠APD=∠APE，∠D=∠AEP=90°，AD=AE=6，DP=EP=2t，所以∠BAP=∠APE，∠AEQ=90°，從而有QA=QP=PE+QE=2t+QE.

情形2：當點E在矩形ABCD的外部時，如圖5所示. 可推知∠APQ=∠APD=∠PAQ，所以AQ=PQ. 因為QE=PE－PQ=DP－PQ=2t－PQ=QB，所以BQ=2t－AQ=AB－AQ，則AB=2t=10，可解得t=5秒.

解后評析? 上述探究等線段條件下移動時間t的值時，采用了數形結合、分類討論的方法. 基于動點E的位置來分別構建模型，充分利用圖形折疊的相關知識，把握其等線段、等角條件展開推導. 整個過程全面考查了幾何相關知識，涉及矩形的性質、幾何動點、折疊的性質、勾股定理的應用、等腰三角形的性質等知識.

3. 矩形折疊中的路徑與面積

矩形折疊中的路徑與面積，即以矩形折疊為背景，探究其中動點的運動路徑，以及由此生成的關聯圖形的面積. 問題解析依然需要從圖形折疊出發，分析折疊前后點、線、圖形之間的關聯，再確定其中的動點軌跡，構建最值模型求解.

例3？搖 如圖6所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是AB邊上一點，且AE＝2，點F是邊BC上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為G，連接AG，CG，則三角形AGC的面積的最小值為______.

解析? 本題目中以矩形折疊為背景，探究三角形的面積最小值，屬于幾何動態面積問題. 問題解析需要關注圖形折疊后的位置，分析動點的移動范圍，再構建模型開展面積最值分析.

解后評析? 上述探究幾何折疊背景中的圖形面積最值時，把握圖形折疊過程，確定點的位置關系，進而構建最值模型求解. 問題解析的關鍵有兩點，一是解析折疊，確定點的相關位置關系；二是轉化面積問題，構建△ACG面積最值與點G的位置.

4. 矩形折疊與坐標函數

矩形折疊與坐標函數，即在坐標系中分析矩形折疊，坐標系中的幾何折疊具有了“數”的特性，可結合函數曲線推導點坐標，利用點坐標求解線段長. 對于折疊中的幾何特性，可從幾何、代數兩大視角來進行突破.

解析? 上述問題中將矩形折疊與坐標系相結合，求解反比例函數特征參數的值. 解析時要充分利用折疊特性來推導線段長，充分利用相似特性及勾股定理構建線段關系，解方程求k值.

解后評析? 上述探究坐標系中的矩形折疊，折疊過程中的線段長、點位置具有了“數”的特性，于是問題解析時可利用函數解析式來求點坐標. 對于問題中的線段推導，可以利用相似三角形的性質及勾股定理，另外還可以利用正切值求反比例函數圖象上點的坐標特征.

教學建議

上述探究了矩形背景中的折疊問題，深入挖掘了問題知識背景及破解策略，并結合實例探究了四類常見題型. 下面結合教學實踐，提出幾點建議.

建議1：透視幾何折疊，挖掘折疊本質

圖形折疊是幾何運動的方式之一，開展幾何折疊探究教學，要引導學生透視折疊，深刻理解折疊. 因此，教學中要挖掘其知識本質，可從兩大視角進行：一是全等視角，即折疊前后的圖形為全等關系，如三角形全等；二是對稱視角，即圖形關于折痕對稱，且對應點的連線段被折痕平分. 教學時要引導學生思考，結合圖形進行論證. 可采用如下兩種方式：一是設問引導，結合矩形折疊的常見問題，讓學生口述折疊過程，提起其中的幾何性質；二是拓展引導，引導學生思考折疊中的知識關聯.

建議2：總結歸納問題，形成解題策略

上述探究了矩形折疊常見的四類問題，涉及了線段比值、模型討論、路徑與面積以及坐標函數. 問題形式雖多樣，但其解題方法及構建思路具有一定的關聯性，解題探究時要注意總結歸納，生成相應的解題策略. 如提取問題中的特殊圖形和特殊關系，基于全等、相似來構建線段關系. 處理折疊中的面積問題時，基于割補法將其轉化為特殊圖形的面積. 教學中教師要指導學生強化訓練，積累經驗，生成解題策略.