關于二次函數綜合題的過程突破與解法探究

秦玉

［摘? 要］ 二次函數綜合題常作為中考壓軸題，能夠全面考查學生的知識水平和解題能力. 解題探究中要合理開展過程解析，思路突破. 同時總結解題方法，結合實例強化訓練. 文章對一道二次函數綜合題進行深入探究，探討面積最值、公共點與交點問題的解法.

［關鍵詞］ 二次函數；面積；交點；拋物線；鉛錘法

問題解析，思路突破

1. 問題呈現

（1）求二次函數的表達式；

（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G. 現將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個公共點，請直接寫出圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍.

2. 思路分析

上述為以拋物線為背景的函數與幾何綜合題，題目設定拋物線與坐標軸的三個交點，以及點P的移動范圍，分三小問考查學生的解析能力.

第（1）問求二次函數的解析式，考查待定系數法；第（2）問探究△PAC面積最大值時點P的坐標，考查模型構建與最值分析；第（3）問是關于圖形變換與公共點的問題，考查拋物線中的位置關系及解析方法.

問題解析建議采用數形結合的思想方法，根據條件繪制點、線、圖形，利用直觀的圖形輔助挖掘條件，分析幾何性質，將幾何問題轉化為代數問題，利用代數的相關知識運算推理. 同時解題過程注意提取其中的特殊模型及特殊關系，利用其性質定理來轉化條件、構建思路.

3. 過程突破

對于以拋物線為背景的函數與幾何綜合題，采用過程突破的方法逐一破解. 針對復合問題，分步討論解析，下面具體探究.

（1）待定系數法求解析式.

（2）構建模型分析面積最值.

該問求△PAC面積最大值，以及此時點P的坐標，總體上分兩個階段：階段一，構建面積模型；階段二，解析面積最值，確定最值情形，求點P坐標. 下面分三步構建思路，解析突破.

第一步，求直線解析式

第二步，構建面積模型

第三步，解析面積最值

（3）該問構建圖形運動，設定所得新圖象M與線段PC只有一個公共點，探求新圖象M頂點的橫坐標n的取值范圍，可采用數形結合的方法. 分兩步進行：第一步，關注圖形運動，推導新圖象M的頂點坐標及函數解析式；第二步，數形結合分析，利用函數解析式來控制圖象位置，推導坐標位置.

第一步，圖形運動解析式推導

第二步，數形結合范圍控制

解后評析，方法總結

上述探究了一道以拋物線為背景的函數與幾何綜合題，題設三問. 其中后兩問為核心之問，分別為面積最值和交點范圍問題，解析時采用對應的方法構建模型，推理分析，下面開展解后評析，總結方法.

1. 構建面積模型，函數解析求最值

2. 數形結合分析，方程破公共點

上述第（3）問實則為公共點問題，即題目設定公共點，探究參數范圍. 解析時采用了“數形結合+位置討論”的方法，即數形結合分析直線與曲線的位置關系和公共點情況，分類討論確定范圍. 解題時同樣分兩步進行：第一步，設定動點坐標，數形結合推導點坐標、曲線、直線的解析式；第二步，分類討論公共點情形，確定位置關系，再聯立方程求點坐標，推理坐標參數范圍. 該種方法適用于二次函數中的交點、公共點綜合問題.

方法應用，拓展強化

上述總結了二次函數中的面積最值和交點、公共點問題的破解方法，探究學習中要深刻理解方法，靈活運用，下面結合實例進一步探究，拓展強化解法.

1. 鉛錘建模型，函數破最值

（1）若OC=2OA，求拋物線對應的函數表達式；

（2）在（1）的條件下，點P位于直線BC上方的拋物線上，當△PBC面積最大時，求點P的坐標.

（2）該問解析△PBC面積最大時點P的坐標，可采用鉛錘法來構建面積模型，再利用函數性質分析最值.

評析? 上述第（2）問解析二次函數中的三角形面積最值問題時，采用了鉛錘法，作輔助線，確定模型的鉛垂高和水平寬，直接推導出三角形的面積函數，再利用函數性質確定最值情形，求出點坐標.

2. 數形結合定位，位置分析討論

例2？搖 在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2-2a2x+1（a≠0）與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線與拋物線交于點B，試回答下列問題.

（1）拋物線的對稱軸為直線x=______；（用含字母a的代數式表示）

（2）若AB=2，求二次函數的表達式；

（3）已知點P（a+4，1），Q（0，2），如果拋物線與線段PQ恰有一個公共點，求a的取值范圍.

（2）利用拋物線對稱軸及點A坐標可求得點B坐標.

當a＞0時，a=1，二次函數表達式為y=x2-2x+1；當a<0時，a=-1，二次函數表達式為y=-x2-2x+1.

（3）該問設定拋物線與線段PQ恰有一個公共點，求a的取值范圍，可采用“數形結合+位置分析”的解析方法.

可求得點A坐標為（0，1），a的符號將影響拋物線的開口方向，分情形討論，具體如下.

情形1：當a＞0時，拋物線開口向上，點Q（0，2）在點A（0，1）上方，如圖6所示. 因為點B與點A關于拋物線對稱軸對稱，則點B坐標為（2a，1）. 分析可知，當a+4≥2a，即點P在拋物線上或在拋物線外部時，符合題意，可解得a≤4；

情形2：當a＜0時，點Q在拋物線上方，點B在點A左側，當點P在拋物線內部時，滿足題意，所以2a≤a+4≤0，可解得a≤-4；

綜上所述，a≤-4或0＜a≤4.

評析? 上述第（3）問解析公共點問題時，采用了“數形結合+位置分析”的解析方法，根據題設條件繪制圖象，結合點坐標確定位置關系，進而推導參數a的取值范圍. 同時，結合分類討論的思想方法，分別討論位置情形，分析求解.

寫在最后

上述深入探究了二次函數中的面積最值、公共點與交點問題，開展過程解析，總結破解方法，形成了解題策略. 探究教學中要注意三點：一是引導學生關注問題特征，提煉解題模型；二是進行解法強化，合理變式，提升解題能力；三是教學中滲透數學思想，開展思想方法教學，讓學生體驗感悟，提升數學素養(yǎng).