數形結合思想在初中數學解題中的應用

王磊

【摘 要】? 數形結合思想是數學領域非常重要的解題思想之一，在初中數學解題中，數形結合思想的應用，能夠讓一些原本復雜、較難解答的習題得以輕松解答，同時也能夠培養學生的思維靈活性.因此，探索數形結合思想在初中數學解題中的應用，有著非常積極的研究價值.全文主要圍繞“以數解形”“以形助數”兩個方面分析數形結合思想的具體應用，拋磚引玉，希望能有一定參考價值.

【關鍵詞】? 初中數學；數形結合思想；解題教學

1? 數形結合內涵與價值

在數學領域中，“數”與“形”是兩個重要的因素，兩者相互呼應，彼此轉化，“數”即數字與數理關系，“形”即形狀與圖形變化，“數”具有規則性，“形”具有直觀性，將數與形象結合，通過“數”與“形”之間的互通、轉化，來剖析某一個數學問題[1].

在初中數學解題中，數形結合思想的應用主要有兩種模式，一種是“以數解形”，一種是“以形助數”.“以數解形”指的是面對抽象的、復雜的圖形，運用數字去定義圖形，用數理關系去映射圖形的特點，在運用數學方法去進行數算，解開數字及數理關系，也就解答了圖形的特點.“以形助數”，則是面臨繁雜的數字或數理關系，用直觀的圖像將其呈現出來，很多時候“一圖勝千字”，可直觀觀察出圖像的特點，進而對數理關系進行解答[2].

在初中數學教學中教導學生數形結合思想，能夠提升學生的解題能力，使得學生面臨繁雜的習題時，能夠運用簡便的方法去進行解答[3].同時，教師教導學生數形結合思想，還能夠鍛煉學生思維靈活性，引導學生從數與形兩個方面，運用多種方法去解答習題[4].

2? 數形結合思想的應用策略

2.1? 以數解形

對于一些復雜的圖形，用肉眼難以去觀察到圖形的規律，那么這個時候用數字去定義圖形，再去解答代數，找到數理關系的規律，也就找到了圖形的規律[5].

例1? 如圖1所示，在正方形ABCD中，AB=4，E為BC的中點，F為BD上的一個動點，求△CFE的周長的最小值.

解題思路? 在正方形ABCD中，AB等于4，E為BC的中點，則BE和EC均為2，要求得△CFE的周長的最小值，則只需要求得EF+FC的最小值即可.而為了求得EF+FC的最小值，敏銳觀察到這是初中數學典型的“將軍飲馬”“取中修路”模型的變形，特點是“兩定一動”，BD就是“路”，E與C為“路”一側的定點，F為動點.因此，順勢做AF連接線，如下圖2所示，AF與FC沿著BD軸對稱，其長度相同，EF+FC的最小值，即為EF+AF的最小值，很方便地觀察到在F點（AE與BD的交點）時，得到EF+AF的最小值.解題思路清晰之后，再逐步去計算即可.

解題? 由題意可知AB=4，BE=EC=2，△CFE的周長為EF+FC+EC

連接AF，AF與FC沿著BD軸對稱，則EF+FC=EF+AF

∵F為BD上動點，EF+AF≥AE，

A、F、E三點共線的時候，EF+AF值最小

∴在F＇點（AE與BD的交點）時，得到EF+AF的最小值，

此時EF+AF=AE=

∴△CFE的周長的最小值為EC+AE=2+2√5

2.2? 以形助數

面對一些較為復雜的數理關系，則利用畫圖的方式，用直觀的圖像將其呈現出來，去直觀觀察或分析圖像的特點，進而對數理關系進行解答，得出答案.

例4? 若a2+b2=5，求2a+3b的最大值？

解題思路? 單純進行計算并不容易，可通過數形結合的方式進行解答.第一步，觀察到a2+b2=5，敏銳得知這是一個圓形，在橫軸為a，縱軸為b的坐標系中以O為圓心做圓，則可得圓的半徑為.第二步，觀察2a+3b的最大值，則主要研究方向為將其轉化為幾何表達，設2a+3b=m，則可得b=-a+m，為b與a關聯的一次函數，且該一次函數在圓的范圍（與圓相交），那么就可以從圖形中觀察到，要求得m的最大值，就是一次函數b=-a+m與縱軸交點的縱坐標的最大值，而一次函數b=-a+m與圓a2+b2=5相切的時候，得到最大值，如圖6所示.第三步，在圖形上標記出數值，按照這一解題思路順序，依次進行解答即可，解題過程則如下圖7所示.

解答 如圖6所示，圓形a2+b2=5，其半徑為

設2a+3b=m，則可得b=-a+m

b=-a+m與圓a2+b2=5相交，在相切時可得m最大值

再如圖7所示，b=-a+m與圓相切時，

與縱軸的交點為A（0，m），與橫軸的交點為B（m，0）

在△AOB中，由勾股定理得AB=m

S△AOB=m·=m·m

∴m=

4 結語

綜上所述，在初中數學解題中，數形結合是一個非常優秀的解題方法，將數與形這兩個數學領域至關重要的因素結合起來，通過數與形之間的互通、轉化，來解答數學習題，將繁復的數學習題用簡單的方法解答出來.

參考文獻：

[1]香欽源.數形結合思想在初中數學解題中的應用[J].數理天地（初中版），2023（17）：20-21.

[2]林越.數形相依 珠聯璧合——數形結合思想在初中數學解題中的策略探究[J].數理化解題研究，2023（14）：17-19.

[3]楊遠鴻.數形結合思想在初中數學解題中的應用——以初中函數問題為例[J].數理天地（初中版），2023（01）：52-53.

[4]王瑩.試析數形結合思想在初中數學解題中的應用[J].科學咨詢（教育科研），2022（07）：185-187.

[5]岳自利.數形結合思想在初中數學解題中的應用研究[J].數學大世界（下旬），2022（05）：71-73.