利用三角函數與相似性解決三角形問題的方法研究

譚康

【摘? 要】? 本文旨在揭示相似三角形、三角函數和解三角形之間的緊密關系.在解決與角、邊長有關的問題時，我們可以通過找出兩個或多個三角形的相似關系，三角函數的邊角關系，將問題簡化，從而求解未知數.通過對具體題目實例的分析，展示了如何運用這些基本定義和性質來解決實際問題，為學生提供有效的解題思路和技巧.

【關鍵詞】? 相似三角形；三角函數；邊角關系

1? 引言

相似三角形和三角函數是高中數學中的重要內容，也是各類考試中常見的考點.通過對近兩年來相似三角形和三角函數綜合應用題的考查情況的研究，可以看出這類題目在各類考試中的重要性和難度逐漸增加.這類題目通常涉及幾何圖形的變換、比例關系以及三角函數的性質等知識點的綜合運用.因此，對于學生來說，掌握好相似三角形和三角函數的基本概念和性質，并能夠靈活運用于解決實際問題，對于提高數學素養和應對考試具有重要意義.

2? 利用三角函數與相似性解決三角形問題

例1? 在中，，若的三邊都擴大倍，則的值（）.

（A）放大倍 （B）縮小倍 （C）不變 （D）無法確定

解析? 在中，的三邊都擴大倍，變化后的三角形與原三角形相似.因為相似三角形的對應角相等，所以的大小沒有發生變化，所以的值不變．故選：C．

例2? 如圖1，是平行四邊形的對角線，，，點是的中點，點、分別是線段、上的動點，若，且是等腰三角形，則的長為（? ? ）

圖1

（A）或? （B）或 （C）或 （D）或

解析? 為平行四邊形，，是的中點，.

，是直角三角形，，所以，故，.

當時，如圖2，過點作于點.

圖2? ? ? ? ? ? ? 圖3

則．因為，所以，，，，又因為，所以，；

當時，如圖3.

則，；

當時，點與點重合，不存在．

綜上所述，的長為或．故選：A．

例3? 在四邊形中，，，，，，于點．在中，，，．將按如圖放置，頂點在上，且，然后將沿平移，如圖，至點與點重合，再改變的位置，如圖6，將頂點沿移動至點，并使點始終在上．

圖4? ? ? ?圖5? ? ? ?圖6

（1）①當點在上運動時，如圖4，連接，當時，求的長；

②如圖5，設與的交點為，當頂點落在上時，求的長；

（2）如圖6，點在上運動時，交于點，設，請用表示的長，并求出長度的最小值．

解析? （1）①因為，，，所以，，.

因為，所以.

又因為，即，所以；

②當點落在上時，因為，，所以.

因為，所以，所以，.

因為，所以四邊形為矩形，，

.

因為，，所以，.

（2）因為，，所以.

又因為，所以，，.

如圖7，作于.

圖7

因為，，所以，，，所以.

，，.

當時，的值最小，最小值為：．

3? 結語

相似三角形為三角函數提供了理論基礎.通過研究相似三角形，我們可以更好地理解和掌握三角函數的性質.同時，三角函數也在解決相似三角形問題中發揮了重要作用，可以方便地求解相似三角形中的未知邊長或角度.為了有效地解決這類題目，學生需要具備扎實的數學基礎知識，包括相似三角形和三角函數的定義、性質和運算法則等.同時，學生還需要培養靈活運用知識的能力，能夠將所學的知識與實際問題相結合，進行圖形理解和計算.通過研究利用三角函數與相似性解決三角形問題的方法，可以為學生提供一些解題思路和技巧，幫助他們更好地應對考試挑戰.

參考文獻：

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[3]羅培洲.高中數學中三角函數的解題技巧——以三角函數的圖形與性質為例[J].數理化解題研究，2023（30）：50-52.