代數(shù)式中“整式”與“分式”的化簡(jiǎn)求值方法探究

孫飛

常數(shù)和運(yùn)算符組合而成.而整式和分式則是代數(shù)式的兩種常見形式，整式是只包含有理數(shù)系數(shù)的代數(shù)式，它的各項(xiàng)之間通過加法和減法運(yùn)算符連接；而分式是含有分母的代數(shù)式，它的各項(xiàng)之間通過加法和減法運(yùn)算符連接，但是可以存在除法運(yùn)算.在代數(shù)式中，整式和分式常常需要進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值的操作，整式的化簡(jiǎn)和求值相對(duì)較簡(jiǎn)單，可以進(jìn)行合并同類項(xiàng)、提取公因子等操作；而分式的化簡(jiǎn)和求值則相對(duì)復(fù)雜，需要考慮分子和分母的因式分解、約分等操作.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；代數(shù)式；化簡(jiǎn)求值

1? 整式的化簡(jiǎn)求值方法

1.1? 合并同類項(xiàng)

合并同類項(xiàng)是整式化簡(jiǎn)求值中常用的方法.同類項(xiàng)是具有相同字母的項(xiàng)，它們的系數(shù)可以相加或相減，通過將同類項(xiàng)相加或相減，可以簡(jiǎn)化整式的表達(dá)式.

例1? 先化簡(jiǎn)再求值：，其中，.

分析? 整式求值時(shí)，應(yīng)當(dāng)先合并同類項(xiàng)，然后將題目中所賦予的代數(shù)具體的值帶入到化簡(jiǎn)后的代數(shù)式中即可求出結(jié)果.需要注意的是，在帶入具體數(shù)值時(shí)，要注意數(shù)字的符號(hào)，在代入數(shù)值之后，計(jì)算式應(yīng)遵循有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算法則以及運(yùn)算順序.

解答

將，帶入，

原式

1.2? 提取公因式

提取公因式是另一種常用的整式化簡(jiǎn)求值方法.對(duì)于一個(gè)整式，如果每個(gè)項(xiàng)都可以被一個(gè)公因式整除，那么可以將這個(gè)公因式提取出來.提取公因式可以簡(jiǎn)化整式的表達(dá)式并有助于進(jìn)一步的化簡(jiǎn).

例2? 先化簡(jiǎn)在求值：，其中.

分析? 此題考查的是整式的化簡(jiǎn)求值，其中化簡(jiǎn)主要是利用提取公因式法，將計(jì)算簡(jiǎn)單化，首先將變?yōu)椋缓筇崛」蚴健⒃竭M(jìn)行化簡(jiǎn)，最后將題目中所賦予的代數(shù)具體的值帶入到化簡(jiǎn)后的代數(shù)式中即可求出結(jié)果[1].

解答

將帶入，

原式

2? 分式的化簡(jiǎn)求值方法

2.1? 換元法

換元法在數(shù)學(xué)中是一種重要的解題方法，它通過引入新的變量來簡(jiǎn)化問題，通過換元法，我們可以將原本分散的條件聯(lián)系在一起，將隱含的條件顯露出來，從而將復(fù)雜的計(jì)算和推導(dǎo)簡(jiǎn)化為熟悉的形式.換元法的一般步驟包括設(shè)元或構(gòu)造元、換元、求解、回代和檢驗(yàn)等.在具體解題過程中，根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合適的換元方法，引入新的變量替代原式中的某些量，從而使問題得到簡(jiǎn)化.然后對(duì)新變量進(jìn)行求解，得出結(jié)果.最后，將新變量代回原變量，得到最終的解.通過換元法，可以將原本復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)化的形式，使得求解變得更加容易和直觀[2].

例3? 若（其中，且、、不全相等），求的值.

分析? 本題含有較多字母且根據(jù)已知條件無法直接求出原式中所含字母的具體值，根據(jù)分析所求式子與已知條件可發(fā)現(xiàn)，所求式子中包含的都為、、的代數(shù)式，恰好能將已知條件變形成為、、的代數(shù)式，因此可采用換元法來簡(jiǎn)化解題過程.

解答? 由已知條件可得

令，，，則可得

有已知條件可得，將等式兩邊進(jìn)行平方可得：

又、、不全相等

、、不全為

因此由可得：

即所求分式的值為.

2.2? 整體代入法

整體代入法是分式化簡(jiǎn)求值問題中的常用解題方式，此類題目通過正確地對(duì)已知的式子進(jìn)行變形，并用已知的式子表示未知的式子，再將已知的條件整體代入，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程.[3]在實(shí)際解題過程中，利用分式的性質(zhì)進(jìn)行變形時(shí)，需要注意必須確保所乘或所除的整式不為零.因?yàn)槿绻嘶虺粤悖瑢?dǎo)致分式的結(jié)果無意義或不可計(jì)算.

例4? 已知，求分式的值.

分析：由本題的條件不能只直接求出、的具體值，因此考慮采用整體帶入法進(jìn)行求解，將已知條件變形成為，然后將中用代替進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而求出原始的值.

解答：由已知條件可知，、分別為分母，因此，，

將兩邊同時(shí)乘以，可得

，將其代入原式，

整式和分式是代數(shù)式中的重要概念，其化簡(jiǎn)求值方法對(duì)于解決代數(shù)式問題具有重要意義.通過本文可以掌握整式和分式的化簡(jiǎn)求值方法，從而能夠更好的解決代數(shù)式問題.在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)具體情況選擇合適的化簡(jiǎn)求值方法，以便更高效地解決代數(shù)式問題.

參考文獻(xiàn)

[1]吳丹丹.初中數(shù)學(xué)分式化簡(jiǎn)求值的技巧分析[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2023（12）：41-44.

[2]何加寬.例談?chuàng)Q元法妙解“疑難題”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（16）：71-72.

[3]王小平.整體代入法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2014（09）：3.