第三屆跨區(qū)域命題征集活動(dòng)成果展示(三)

本刊編輯部

【深度改編題】

【原題】如圖,已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1),求p的值.

【改編分析】在往年的高考題中有許多題改編于書本,本次改編的試題來源于2019年人教A版教材選擇性必修1第146頁第10題,在改編過程中涉及的定點(diǎn)定值問題用到了極點(diǎn)極線思想,雖然極點(diǎn)極線的知識(shí)我們課本上沒有學(xué)習(xí),但如果掌握了就可以用它來分析題干,指引我們思考的方向,有了方向再一步步地書寫步驟就會(huì)較為容易.改編框圖如下:

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】OA⊥OB這個(gè)條件,本質(zhì)上就是斜率之積為定值時(shí)直線AB恒過定點(diǎn),又由OD⊥AB,創(chuàng)造了一個(gè)新的圓,進(jìn)而考慮到圓上點(diǎn)到圓心距離為定值,從而改編出存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值的題目.

(1)證明:P點(diǎn)在一條定直線上;

(2)求△PAB的重心G的軌跡方程.

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】對(duì)于拋物線方程x2=2py,若P點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),△PAB的重心G的軌跡方程為:4x2-6py-x1x2=0.

在求解過程中,我們涉及消參數(shù)法求軌跡問題,可以作為一個(gè)新點(diǎn)來做簡(jiǎn)單練習(xí).

在上述改編題中若把定點(diǎn)D改為焦點(diǎn),則可以繼續(xù)研究拋物線中的阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì).感興趣的同學(xué)可以自己做一下嘗試.

【改編3】已知拋物線x2=4y,D(1,2),圓O:x2+y2=r2(r>0)過定點(diǎn)D,圓O與拋物線交于C,M兩點(diǎn),E為劣弧CM上一點(diǎn),過點(diǎn)E的切線交拋物線于F,G兩點(diǎn),過此兩點(diǎn)作拋物線的切線交于點(diǎn)H,求點(diǎn)H到直線FG距離的最大值.

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】把圓錐曲線與圓相結(jié)合來命題,相對(duì)來說較為新穎,當(dāng)然以前的高考題中已經(jīng)出現(xiàn)過,只是運(yùn)算量較大,對(duì)于學(xué)生運(yùn)算能力、邏輯思維能力要求較高,本題把E點(diǎn)放在劣弧,限制了E的運(yùn)轉(zhuǎn)范圍,從而為求最值帶來了可能.

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)已進(jìn)入第二階段,這是一個(gè)將知識(shí)連點(diǎn)成線、成網(wǎng)的過程,無論對(duì)于學(xué)生的知識(shí)遷移應(yīng)用能力,還是對(duì)于老師的總結(jié)歸納、方法提煉以及合作能力都是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn),其中課本題的歸納、總結(jié)、提煉更是不可或缺的一項(xiàng).

(改編命題人:黃先鋒 安徽省合肥市長(zhǎng)豐縣第一中學(xué))

【試題評(píng)語】這是一道解析幾何題,主要考查了邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.以課本例題為本進(jìn)行改編,深挖教材,一題多變,層層遞進(jìn),從拋物線與直線的關(guān)系開始,到定點(diǎn)定值問題,再到拋物線與圓的關(guān)系,層層遞進(jìn),設(shè)置難度恰當(dāng),適合考查學(xué)生能力.

(評(píng)語老師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學(xué)研究院)

【原創(chuàng)題】

(1)求:軌跡G的方程;

(2)問:直線CD是否恒過定點(diǎn),若過定點(diǎn),求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.

由題意可知:||MG|-|NG||=||QA|-|QB||=|AB|,∴||MG|-|NG||=4<|MN|.

【思維導(dǎo)圖】

思路2：設(shè)斜率分別表示出直線AP與直線BP的方程,分別和雙曲線方程聯(lián)立消元,得出關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系,求出C,D的坐標(biāo),根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知定點(diǎn)在x軸上.先利用橫坐標(biāo)相等,特殊化處理,求出點(diǎn)H的坐標(biāo)(4,0),最后檢驗(yàn)kCH=kDH,從而證明直線CD過定點(diǎn).

【思維導(dǎo)圖】

思路3：設(shè)出點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2)的坐標(biāo),以及直線CD的方程x=ty+m.先根據(jù)直線AC與BD交點(diǎn)在x=1上,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),建立兩根的“非對(duì)稱”的關(guān)系,再把直線CD方程和雙曲線方程聯(lián)立消元,得出關(guān)于x的一元二次方程,得出兩根的和與積的關(guān)系,再代入到非對(duì)稱關(guān)系中化簡(jiǎn),求出m的值,從而證明直線CD過定點(diǎn).

【思維導(dǎo)圖】

思路4：設(shè)出點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2)的坐標(biāo),以及直線CD的方程x=ty+m.先根據(jù)直線AC與BD交點(diǎn)在x=1上,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),建立兩根的“非對(duì)稱”的關(guān)系,根據(jù)點(diǎn)C在雙曲線上,把非對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱處理.再把直線CD方程和雙曲線方程聯(lián)立消元,得出關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理直接帶入“對(duì)稱”關(guān)系,求出m的值,從而證明直線CD過定點(diǎn).

【思維導(dǎo)圖】

思路5：設(shè)出點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2)的坐標(biāo),以及直線CD的方程x=ty+m.先根據(jù)直線AC與BD交點(diǎn)在x=1上,得出3kAC=-kBD,再利用雙曲線的第三定義(二級(jí)結(jié)論)將斜率關(guān)系轉(zhuǎn)化為kBD·kBC=-3,得出兩根的“對(duì)稱”關(guān)系,再把直線CD方程和雙曲線方程聯(lián)立消元,得出關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理直接代入“對(duì)稱”關(guān)系,求出m的值,從而證明直線CD過定點(diǎn).

【思維導(dǎo)圖】

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】

1.題干背景選取:題干背景來自課本的探究,知識(shí)來源課本,又高于課本.

2.試題考查角度:第(1)小題,是以兩圓的位置關(guān)系為載體,考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,側(cè)重基本概念的理解,難度不大,面向全體學(xué)生;第(2)小題,以直線與直線、直線與雙曲線為載體,考查直線是否恒過定點(diǎn)問題,側(cè)重綜合知識(shí)以及能力的考查,有較好的區(qū)分度.

3.試題題型選擇:第(1)小題體現(xiàn)知識(shí)的融合.第(2)小題選擇定點(diǎn)問題考查,有區(qū)分度,有難度,有利于選拔人才.

4.試題考查維度:多角度考查基本知識(shí),基本技能,基本思想,關(guān)鍵能力.一是基本概念的考查;二是直線方程的設(shè)立;三是直線過定點(diǎn)的知識(shí);四是曲線與曲線的位置關(guān)系;五是兩根的“非對(duì)稱”的處理;六是考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的基本思想;七是考查運(yùn)算求解、邏輯推理的關(guān)鍵能力.

5.試題設(shè)問形式:由易到難,層層遞進(jìn),入口寬,有深度,讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展;另外試題具體有開放性,有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究精神.

【學(xué)法指導(dǎo)】涉及直線與(雙)曲線問題.

(1)設(shè)直線方程通常有兩種方法表示:一是設(shè)點(diǎn)(坐標(biāo))表示,二是設(shè)斜率表示.

(2)直線過定點(diǎn)問題通常有兩種表示:一是點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn),二是利用三點(diǎn)共線.

(3)解決定點(diǎn)問題通常有兩種方法:一是先研究特殊后一般,二是直接研究一般情況.

(4)解決定點(diǎn)問題,有時(shí)可以先利用(雙)曲線的對(duì)稱性,分析出定點(diǎn)的大致位置,然后設(shè)合適的參數(shù),建立直線系或者曲線系方程,如果是兩參數(shù),要注意這兩個(gè)參數(shù)之間的相互關(guān)系.

(5)涉及直線與(雙)曲線相交問題,通常要聯(lián)立方程組,消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程,得出根與系數(shù)的關(guān)系,然后將目標(biāo)問題代數(shù)化,轉(zhuǎn)化為兩根的有關(guān)形式,最后代入求解.

(6)對(duì)圓錐曲線非對(duì)稱問題,通常有四種方法化解:一是利用兩根關(guān)系轉(zhuǎn)化;二是求根公式代入;三是利用曲線方程轉(zhuǎn)化;四是利用二級(jí)結(jié)論轉(zhuǎn)化.

(7)掌握必要的方法和技巧,如,常用的順口溜“聯(lián)立方程解交點(diǎn),設(shè)而不求巧判別,選參建模求軌跡,曲線對(duì)稱找定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)相關(guān)歸定義,動(dòng)中求靜助解析,非對(duì)稱曲根轉(zhuǎn)化”等.

【知識(shí)延伸】

【易錯(cuò)警示】解析幾何中的直線(曲線)與(雙)曲線(相交)問題,有時(shí)思路清晰,方法自然,但是結(jié)果運(yùn)算不出來.這一方面是運(yùn)算能力不過關(guān),另一方面是由于方法的選擇不適當(dāng)導(dǎo)致.因此解析幾何的問題,首先要用幾何眼光觀察,即先利用幾何的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化,再用代數(shù)知識(shí)表示幾何問題,然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.

【高考風(fēng)向】解析幾何是每年高考的必考內(nèi)容與重點(diǎn)內(nèi)容,是考查學(xué)生關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的重要載體.高考對(duì)解析幾何的考查一般以課程學(xué)習(xí)情境與探索創(chuàng)新情境為主,注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性以及創(chuàng)新性與選拔性的考查,具體呈現(xiàn)以下規(guī)律.

(1)基礎(chǔ)性:高考通過對(duì)直線、圓與圓錐曲線的基本概念、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)以及位置關(guān)系的考查,考查考生邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力等,從而促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)的提升,提高考生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力.

(2)綜合性與應(yīng)用性:解析幾何涉及知識(shí)點(diǎn)眾多,高考通過綜合設(shè)計(jì)試題,將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)銜接起來.如,與平面向量、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行考查.這就要求考生從整體上把握各種現(xiàn)象的本質(zhì)和規(guī)律,能綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)、原理和方法來分析和解決問題.

(3)創(chuàng)新性與選拔性:理性思維的高層次表現(xiàn)就是創(chuàng)新意識(shí)的呈現(xiàn).在高考數(shù)學(xué)中,對(duì)解析幾何的考查充分考慮學(xué)科特點(diǎn),通過提出有跨度和有挑戰(zhàn)的問題,創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境,創(chuàng)新試題呈現(xiàn)方式,增強(qiáng)試題的開放性和探究性等途徑,引導(dǎo)考生深度思考和自主探究,展現(xiàn)考生分析問題和解決問題的思維過程,考查考生獨(dú)立思考、創(chuàng)新能力、批判性思維能力,以及考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)與探索數(shù)學(xué)的素養(yǎng),體現(xiàn)選拔功能.

(原創(chuàng)命題人:吳文明 安徽省合肥北城中學(xué))

【試題評(píng)語】本題是數(shù)學(xué)探究情境,考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索,利用圓與圓的位置關(guān)系,考查雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系、直線過定點(diǎn)問題,考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,難度較大.

(評(píng)語老師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學(xué)研究院)