用好真題 把握本質 做好變式 提高素養
——以解析幾何部分試題為例

高阿龍

(北京市延慶區教育科學研究中心)

北京高考中,解析幾何部分綜合題目的考查,以直線和橢圓位置關系為主,往往思路比較簡單,但重點考查學生數學運算核心素養,學生解題需要較長時間.提高學生數學運算核心素養,可以多找一些題目進行練習,同時教師和學生如果能夠理解題目背后的命題背景和原理,進行適當的變形后再進行訓練,才更能提高學科核心素養.

直線與橢圓位置關系部分,離不開交點、動點等問題.而當我們從高觀點下看待一些題目時,比如利用射影幾何的一些結論來分析問題,更容易發現問題的本質,方便對試題進行變式探究.

射影幾何中有很多重要的結論,也是很多解析幾何試題命制的基本背景和原理,本文從極點和極線以及帕斯卡六邊形的相關結論中,分析2023年北京高考數學和模擬試題中解析幾何解答題的命題背景,幫助教師和學生,了解試題的命制本質.首先,筆者以橢圓為例,介紹幾條關于極點和極線以及帕斯卡六邊形的相關結論.從給出任意一點P,得到其相應極線的方法談起.

結論1點在橢圓外的情況:已知橢圓C所在平面上一點P(P在橢圓外),過P作兩條直線PM和PN,分別與橢圓C相切于M,N,則直線MN就是點P的關于橢圓C的極線.

圖1 結論1

圖2 結論2

結論2點在橢圓上的情況:已知橢圓C所在平面上一點P(P在橢圓上),過P作切線l,則直線l就是點P的關于橢圓C的極線.

結論3點在橢圓內的情況:已知橢圓C所在平面上一點P(P在橢圓內),過P作兩條直線AB和MN分別與橢圓C相交于A,B,M,N,延長AM和NB交于點H,延長AN和MB交于點E,則直線EH就是點P的關于橢圓C的極線,同時,直線PH是點E的關于橢圓C的極線,直線PE是點H的關于橢圓C的極線,△PEH叫做自極三角形.

圖3 結論3

結論5帕斯卡六邊形定理:如果一個二次曲線(高中學習階段包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線)內有一個內接六邊形ABCDEF,則三組對邊的交點共線.

特殊情況:(1)當出現平行的對邊時,則交點在無窮遠處;

(2)當兩點重合時(即六邊形退化),重合點的連線為該點處的切線.

以上結論是射影幾何中比較基礎的結論,本文中就不再給出證明,下面我們用極點和極線以及帕斯卡六邊形的相關結論來分析北京2023年高考試題,教師在設計教學時,可以根據真題給出相似難度的變式,提高學生的解題能力和數學運算核心素養.

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)設P為第一象限內E上的動點,直線PD與直線BC交于點M,直線PA與直線y=-2交于點N.求證:MN∥CD.

圖4

【試題背景分析一】帕斯卡六邊形退化為五邊形的形式

本題中直線y=-2可以看成是在點C處的切線方程,我們可以理解為橢圓內接六邊形是PDCC′BA,其中PD與直線BC交于點M,直線PA與直線y=-2(即CC′)交于點N,剩余的對邊AB與CD平行,可以理解為交點在無窮遠處設為H,根據帕斯卡六邊形定理可知:H在直線MN上,也就是說直線MN和CD在無窮遠處相交,所以MN∥CD.根據這個本質,我們可以從以下幾個角度對試題進行變形.

【變形一】改變橢圓的方程

我們用更一般的形式來表述這個題目如下:

這個變式里,具體的橢圓的方程可以任意給出數值,本變式從圖形結構和解題步驟上來說,和高考真題完全一致,可以在分析高考題后,讓學生進行練習,重點在培養學生的數學運算核心素養,從而突破教學的難點.

【變形二】改變退化點的位置

在真題中,退化點的位置是在C點,我們可以把退化點放在B,A,D處,如放在點A處.

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)設P為第三象限內E上的動點,直線AD與直線BP交于點N,直線PC與直線y=2交于點M.求證:MN∥CD.

圖5

這個變形,我們改變了圖形的結構,但是最終直線MN的斜率還是沒有變化.

【變形三】改變兩條平行線的位置

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)設P為第四象限內E上的動點,直線PC與直線AB交于點N,直線PD與直線x=-3交于點M.求證:MN∥BC.

圖6

在例1中,平行的兩條直線是AB與直線CD,此處換成了AD與直線BC平行.

以上三個試題的變形是在帕斯卡六邊形的背景下,進行的變式,通過變式訓練,學生可以更好地掌握這類單動點導致其他交點位置改變的數學運算的問題.

【試題背景分析二】極點極線的形式

以極點極線作為命題背景,可以分析如下:

圖7

根據上面的分析,本題可以作如下變式訓練:

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)設P為第一象限內E上的動點,直線PD與直線BC交于點M,直線BP與直線CD交于點H,直線PA與直線y=-2交于點N.求證:MH⊥CN.

再分析一道北京的模擬試題,體會利用極點極線的方法分析試題背景,進行變式訓練的方便.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設斜率為k的直線l與x軸交于點P,與橢圓E交于不同的兩點M,N,點M關于y軸的對稱點為M′,直線M′N與y軸交于點Q.若△OPQ的面積為2,求k的值.

通過上面的分析,利用極點極線可以發現本題的本質:極點Q的極線垂直y軸且過點T,而且通過題目中面積的關系可以得到極點Q與點P的關系,通過這個本質,我們可以把題目作如下變式:

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設斜率為k的直線l與x軸交于點P,與橢圓E交于不同的兩點M,N,點M關于y軸的對稱點為M′,直線M′N與y軸交于點Q.求證:|OP||OQ| 是定值.

分析：變式把握了問題的本質,即點Q作為極點,對P的坐標以及直線的斜率k,都有直接的聯系,最終會消掉變量,得到定值.

高考題目中,很多關于直線與圓錐曲線的綜合題目,離不開直線與圓錐曲線相交產生兩個交點以及頂點,這樣試題往往帶有極點和極線以及帕斯卡六邊形的背景,也成為不少試題命制的主要依據,在平時教學和學習中,一些高考題目通過高觀點下分析其本質,在此基礎上,為學生進行變式訓練.通過經典題目及其變式的訓練,為發展數學學科的核心素養提供了很好的學習素材.