一道市質(zhì)檢題的解法探究

黃清波

(福建省南安市國(guó)光中學(xué))

三角形問(wèn)題在各類(lèi)考試中備受青睞,命題方式靈活多樣,試題內(nèi)容活潑、新穎,是一個(gè)穩(wěn)定的高頻考點(diǎn).解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法:三角法、向量法、坐標(biāo)法和平幾法.本文以泉州市2024屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)第19題為例展開(kāi)探究,談?wù)剬?duì)各種方法的幾點(diǎn)理解,希望對(duì)師生今后學(xué)習(xí)能夠產(chǎn)生一定啟示.

一、題目展示

△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足ccosB+(b+2a)cosC=0.

(1)求C;

【分析】本題主要考查解三角形、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí);考查推理論證、運(yùn)算求解等能力,考查化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想,體現(xiàn)綜合性與應(yīng)用性,導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.第1問(wèn)5分,市平均分3.21分,第2問(wèn)7分,市平均分1.21分,學(xué)生得分率較低.本題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,耐人尋味.

二、解法探究

(一)三角法

【小結(jié)】“三角法”是利用正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式,適時(shí)、適度運(yùn)用“角化邊”或“邊化角”,同時(shí)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值．此法是解決三角形問(wèn)題的常用解法.

(二)向量法

【小結(jié)】“向量法”是指非坐標(biāo)向量法,與坐標(biāo)法相比,它無(wú)需要建立坐標(biāo)系,且運(yùn)算簡(jiǎn)捷、可操作性強(qiáng),更能體現(xiàn)向量的魅力等優(yōu)點(diǎn).新教材把向量和解三角形結(jié)合起來(lái),突出了它在解三角形中的重要作用.

(三)坐標(biāo)法

如圖,以C為原點(diǎn),CB所在直線為x軸建系.

【小結(jié)】“坐標(biāo)法”根據(jù)三角形的結(jié)構(gòu)特征,合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,找出三角形相應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo),便能快捷解得三角形的各個(gè)要素.解題思路明確、清晰,解題過(guò)程簡(jiǎn)潔.此法將數(shù)與形完美地結(jié)合起來(lái),降低了思維難度,解題有一定的規(guī)律性,便于學(xué)生掌握.

(四)平面幾何法

【思路四】過(guò)D點(diǎn)作DE∥AC交CB于點(diǎn)E.易得△CDE為等邊三角形,另由三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例,求出a,b,進(jìn)而求出面積.

解法4：過(guò)D點(diǎn)作DE∥AC交CB于點(diǎn)E.

【小結(jié)】“平幾法”是以邏輯推理作為工具解決問(wèn)題,解題過(guò)程中經(jīng)常要引入輔助線和回憶大量的幾何定理公理,對(duì)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力要求較高,運(yùn)用得好,往往可以巧妙地避開(kāi)復(fù)雜的運(yùn)算,簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

三、試題鏈接

(1)求bc;

(2)若b2+c2=8,求b,c.

過(guò)A作AE⊥BC,垂足為E,如圖所示:

以上幾個(gè)題未給出多種解法,留給讀者聯(lián)想借鑒完成.

總之,解三角形的“多法”的準(zhǔn)確定位是并舉!即不宜人為地、憑主觀劃分它們的優(yōu)劣,而應(yīng)具體問(wèn)題具體分析.哪怕受教學(xué)時(shí)間的限制,在課堂上盡可“擇其善者而從之”,但對(duì)另外的方法應(yīng)稍作提示引導(dǎo),讓學(xué)生在課下嘗試、討論,并對(duì)“多法”進(jìn)行比較.這對(duì)學(xué)生能力的提高大有裨益.