從一題多解到一題多變,提升學生的關鍵能力
——以求三角形面積或周長的范圍為例

鄧成兵

(四川省成都市航天中學校)

《普通高中數學課程標準(2017版2020年修訂)》中提出,高中數學教學應該以發展學生數學核心素養為導向,通過數學解題教學去落實“四基”“四能”,引導學生把握數學內容的本質,達到學生用科學方法分析問題、解決問題,才有利于引導學生將其轉化為自己的思維方式,實現這一目標,需要提升學生的關鍵能力,借此筆者就以一題多解到一題多變為例,提升學生的關鍵能力與大家交流.

一、概念界定

數學關鍵能力:指在數學情境中發生在較高認知水平層次上的,為達到某種特定目標或完成某項任務而付諸努力的一種綜合性能力,包括問題分析解決能力、數學知識應用能力、創造力和批判性思維能力等.

一題多解指運用不同的思維方式,從不同角度來解答同一道題的思考方法.經常進行一題多解的訓練,能從多種解法的對比中優選最佳解法,總結解題規律,尋找創造性的解題方法,有益于學生解題技巧的形成和能力的提高,從而提升學生批判思維、創造性思維和自主學習能力等.

一題多變是指變換題目的條件或結論,變換題目的形式,或者將某項條件與結論交換等,而題目所考查的實質不變,變化的目的是從不同角度、不同方向揭示題目的本質.通過一題多變,讓學生在變化中總結解題方法,從變化中發現規律,從變中發現“不變”,從而解決一類問題,遏制“題海戰術”,從而提升學生創新能力、邏輯思維能力和舉一反三能力等.

二、案例分析

一題多解,培養學生求異創新的發散思維.通過一題多解的訓練,學生可以從多角度、多途徑解決問題的方法,拓展解題思路.

學生在學習數學和運用數學解決問題時,不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概況、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程.一題多解,可以幫助學生學會多角度分析和解決問題,提高學生的數學能力和非認知能力.下面以2023·四川石室中學高考適用性考試(一)第14題為例,通過“一題多解”探究如何提升學生的關鍵能力.

【題目呈現】(2023·四川石室中學高考適用性考試(一)·14)在△ABC中內角A,B,C對邊分別為a,b,c,若b+2cosB+bcosA=6,a=2,求S△ABC最大值.

【分析】本題屬于傳統題,利用余弦射影定理把acosB+bcosA轉化為c,得到兩邊的和與第三邊,利用余弦定理+基本不等式或轉化為橢圓的第一定義求解.

2.1 題之一問,問之一解

解：把a=2代入b+2cosB+bcosA=6,由余弦射影定理可得:b+c=6.

解法一:余弦定理+基本不等式

解法二:海倫公式+基本不等式

解法三:類比化歸思想

【評析】解法一利用余弦定理構造方程,用∠A表示bc,代入三角形面積第二公式,S△ABC轉化關于∠A的三角函數,最后利用三角函數的有界性進行求解;解法二利用海倫公式+基本不等式進行求解;解法三利用類比化歸思想,發現b+c=AC+AB=6>BC=2恰好滿足橢圓的第一定義(數形結合),再結合橢圓的焦點三角形求面積的最大值,動點A運動到短軸的端點處時有最值.從三種解法發現:解法二利用海倫公式求三角形的面積,在高中階段沒作要求;解法三利用橢圓的第一定義求解,但絕大部分同學難以想到;解法一利用余弦定理、三角函數進行求解,雖然運算量大,但解法一是求有關三角形問題的常規解法;所以,求三角形有關面積或周長的范圍或值,有兩種途徑:

(1)利用正、余弦定理把邊轉化為角,利用三角函數進行求解;(2)數形結合求解.

著名數學家波利亞說過這樣一句話:“掌握數學也就意味著要善于解題.”如何挖掘題目的內涵和價值呢?筆者認為可以借助思維導圖來完成.這對進一步提高學生的解題能力,完善學生的認知結構有著重要作用.如本題可以畫出它的思維導圖,如圖所示:

通過一題多解,讓學生從不同的角度思考問題,得到多種解題思路,更好地理解數學知識,增強解題能力,還能培養學生的創造思維能力.為了更好地培養學生的發散思維能力,增強學生數學應用能力和提高數學解題能力,需要積極開展“型異質同”或“型近質同”題目的訓練——一題多變.例如把上題中的條件改為已知一邊與一角或兩邊,如何求三角形面積或周長的范圍呢?

2.2 解之一變,變之一通

解法一：余弦定理+基本不等式

解法二：正弦定理+三角恒等變換

【點評】解法一主要利用余弦定理+基本不等式求三角形的面積和周長的范圍,求解過程比較容易,易錯點為漏掉三角形兩邊之和大于第三邊這一隱含條件,從而得到錯誤答案(2,6];解法二主要利用正弦定理+三角恒等變換,這種方法是求三角形面積和周長的通解通法,思路比較清晰,但解題過程比較煩瑣.如果把△ABC改為銳角三角形,其他條件不變,求三角形的面積和周長的范圍時,上面兩種方法都能用嗎?為什么呢?

【分析】如果△ABC為銳角三角形,利用余弦定理+基本不等式求解,整個求解過程中,無法體現此三角形是銳角三角形,所以只能利用正弦定理+三角恒等變換求解.

解法一：正弦定理+三角恒等變換

解法二：數形結合

解法一：正弦定理+三角恒等變換

解法二：數形結合

【變式4】在銳角△ABC的內角A、B、C對邊分別為a、b、c,若b=2,a=3,求△ABC面積與周長的取值范圍.

解法一：余弦定理+極限思想

解法二：數形結合

通過上面一題多變發現,如果知道銳角三角形的一邊一角或兩邊,可以求出此三角形的面積與周長的范圍,有兩種思路:思路一:利用正、余弦定理把邊轉化為角,利用三角函數進行求解,此方法是通解通法,求解時一定要注意所求解角的取值范圍;思路二:數形結合,此方法高效,省時省力對學生的關鍵能力要比較高;當然,若是鈍角三角形,已知一邊與一角、兩邊求其面積或周長的取值范圍,其解法與銳角三角形對應的解法相似.

三、教學反思

“一題多解與一題多變”的教學方法,有助于調動學生思維和行動的積極性,主動參與知識方法和系統的構建,啟發學生自主分析、思考,逐步引導學生從簡單到復雜的途徑來拓展知識視野,增強獲取知識的能力,激發創新思維.教師在教學中不僅要善于引導學生發現問題,而且要善于幫助學生學會及時歸納、總結、提煉,解決問題的過程實際上就是尋求認識問題的正確途徑,使學生分析、綜合、評價能力得以逐步提高,實現由“解題”向“解決問題”的轉變;幫助學生提升數學關鍵能力.