研高考真題 思教材習題 提核心素養
——以2023年新課標Ⅱ卷第21題為例

張小美

(山東省威海市文登區南海高級中學)

解析幾何是高中數學的重要內容,而直線與圓錐曲線的位置關系是解析幾何的核心,也是高考大題必考的內容之一.《普通高中數學課程標準(2017年版)》對解析幾何的要求:根據幾何問題和圖形的特點,用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題;根據對幾何問題的分析,探索解決問題的思路;運用代數方法得到結論;給出代數結論合理的幾何解釋,解決幾何問題.代數的方法即方程的思想——聯立、求根的判別式、再利用韋達定理求解,在運用代數方法解決問題的同時,提升學生直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象的核心素養.

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于點P.證明:點P在定直線上.

【方法一】將y1y2轉化成y1+y2

觀察韋達定理,我們不難發現

所以交點P在定直線x=-1上.

【注】該方法的難點在于尋找y1y2與y1+y2的關系.

【方法二】y1,y2只保留一個

【注】該方法分子與分母保留的變量必須一致,否則達不到化簡的目的.

【方法三】試探出定值

【注】利用“對稱型韋達定理”待定出參數λ的值之后,勿忘檢驗.

【方法四】暴力求根

所以x0=-1.

【注】該方法易想,但計算量相對較大.

縱觀“非對稱韋達定理”的四種處理方法:方法一與二是我們最常用的方法;方法三先猜出定值然后再驗證也是不錯的選擇;方法四是初學者遇到這類問題首想的方法,但是缺點顯而易見.不論哪一種方法,其實對學生的數學運算能力都有很高的要求.如何避開這種算法,尋找一種相對簡便的算法?我們先來看一道教材習題.

(人教B版選擇性必修第一冊P149習題2-6C)

1.如果過點(6,0)的直線與過點(-6,0)的直線相交于點M,而且兩直線斜率的乘積為a,其中a≠0.

(1)求點M的軌跡方程;

(2)討論M的軌跡是何種曲線.

(2)當a>0時,軌跡為除去(6,0),(-6,0)兩點的雙曲線;

當a<0且a≠-1時,軌跡為除去(6,0),(-6,0)兩點的橢圓;

當a=-1時,軌跡為除去(6,0),(-6,0)兩點的圓.

將定點(±6,0)一般化,就得到了橢圓、雙曲線的第三定義:如果過點A1(-a,0),a>0的直線與過點A2(a,0)的直線相交于點M,而且兩直線斜率的乘積為n,其中n≠0,則M的軌跡為:

當n>0時,軌跡為除去A1,A2兩點的雙曲線;

當n<0且n≠-1時,軌跡為除去A1,A2兩點的橢圓;

當n=-1時,軌跡為除去A1,A2兩點的圓.

我們不妨大膽設想一下,既然斜率之積為定值的點的軌跡可求,那么斜率之比為定值的點的軌跡又是什么呢?

問題：如果過點A1(-a,0),a>0的直線與過點A2(a,0)的直線相交于點M,而且過A1的直線斜率與過A2的直線斜率之比為n,其中n≠0,求M點軌跡.

因此,我們可以得到一個更為一般的結論.

結論：如果過點A1(-a,0),a>0的直線與過點A2(a,0)的直線相交于點M,而且過A1的直線斜率與過A2的直線斜率之比為n,其中n≠0,則M點軌跡是垂直于x軸的兩條射線.

由上述結論,回歸真題,除了常規解法,還可以另辟蹊徑:因為直線MN過定點,由軸點弦定理知直線A1M與直線A1N的斜率之積為定值.而由雙曲線第三定義知,直線A1N與直線A2N的斜率之積亦為定值,所以直線A1M與直線A2N的斜率之比為定值,所以P點在垂直x軸的直線上.

第一步:齊次化方法證明kA1M·kA1N為定值.

第二步:證明kA1N·kA2N為定值.

整理可得:x=-1.

第二種算法避開了煩瑣的“非對稱韋達定理”,計算相對簡捷.但需要學生先分析題目的幾何特征,搞清多條直線間的斜率關系,才能快速找到本題的入手點.這個過程提升了學生的數學抽象、邏輯推理以及數學運算等核心素養.

絕大多數學生、家長包括老師對數學核心素養之一的數學運算的理解僅限于算.其實,數學運算包含很多方面:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結果等.對同一個運算對象,如何快速地選擇較為便捷的算法,教師在平時的復習備考中可以從以下兩點入手.

1.教師示范算.尤其是高三一輪復習時,教師一定要重視板書.講解運算時,一定先引導著學生觀察運算對象的結構特點來理解運算.比如教材在推導橢圓的標準方程時,學生想到的方法就是移項平方,計算量不小.我們可以引導學生思考:遇到兩個根號相加的結構,可以聯想到哪種方法來處理?學生很容易就想到了有理化的方法,但是學生在處理的過程中會忽視分母為零的情況.此時,教師的示范算就顯得尤為重要,通過板書找到學生思維的漏洞.這時有些學生會想到補救措施:既然分子有理化時有分母不等于零的限制,那在有理化的時候通過等式兩邊同時乘兩個根號相減就沒有分母不等于零的限制了.通過示范算,強化學生的結構意識,同時引發學生的思考,提高學生的數學運算、邏輯推理等核心素養.

2.學生展示算.當一輪復習幫助學生養成了良好的運算習慣,二輪復習就開始展示學生的步驟.通過展示優秀算,讓其他同學發現自己的不足;通過展示問題算,讓其他同學發現運算中的不規范之處,加深學生對數學運算的理解.

“題在書外,根在書中”.近幾年的高考試題雖然千變萬化,但是每套都能找到教材習題的影子.我們在教學時一定立足教材,深挖教材的內涵與外延.只有這樣,才能決勝高考.