高中數(shù)學(xué)的主要最值問題及解題方法探討

鄭菊萍

【摘要】“求最值”問題是高中數(shù)學(xué)考試中學(xué)生容易失分的一類題型，其對學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握情況和邏輯思維能力具有較高的要求.學(xué)科教學(xué)中，教師應(yīng)注重此類問題的歸納總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題規(guī)律和方法，以此幫助學(xué)生更好地應(yīng)對此類題型.本文對不等式、解析幾何、向量三個(gè)知識板塊中最值問題的求解方法進(jìn)行歸納和闡述，以供參考和借鑒.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；最值問題；解題方法

1? 不等式最值問題的解題方法

1.1? 添項(xiàng)構(gòu)造法

此方法的解題思路為：觀察題目已知條件特征，思考已知條件、求解代數(shù)式、不等式基本性質(zhì)之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，通過增添項(xiàng)目的方式，對求解代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，使式子滿足使用不等式基本定理的條件，從而利用不等式基本定理完成最值的求解［1］.

例1? 已知：x＜15，求函數(shù)y=5x+15x－1的最大值.

由x＜15可知5x＜1，即1－5x＞0.

又因?yàn)閥=5x+15x－1

=1－1－5x+11－5x，

根據(jù)不等式基本定理a+b≥2ab可知，

y=1－1－5x+11－5x≤

-121－5x×11－5x=－1，

當(dāng)且僅當(dāng)1－5x=1，1－5x時(shí)取等號，

由此解得函數(shù)y=5x+15x－1的最大值為-1.

1.2? 換元法

此方法的解題思路為：創(chuàng)造一個(gè)單一變量，利用其替代題目中的某個(gè)較為復(fù)雜的表達(dá)式，以此實(shí)現(xiàn)求解題目的轉(zhuǎn)化變形，使其滿足使用某種性質(zhì)或定理的條件，從而完成最值的求解.

例2? 已知－6≤a≤3，求3－aa+6的最大值.

令tx=3－aa+6=－ a+322+814，a∈－6，3.

由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，

tamax=t－32=814，

故3－aa+6的最大值為tamax=814=92.

2? 解析幾何最值問題的解題方法

2.1? 利用三角函數(shù)有界性求解

在解答解析幾何知識板塊最值問題時(shí)，若題目中存在“圓與直線相交”“圓與三角形之間存在特殊位置關(guān)系”等信息時(shí)，可優(yōu)先考慮利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行解題［2］.

例3? 已知圓C：x－12+y－22=2，若等邊三角形PAB的一條邊AB為圓C的一條弦，求PC的最大值.

圖1

根據(jù)已知條件，在直角坐標(biāo)系中繪制出圓C與等邊三角形PAB的位置關(guān)系示意圖（見圖1）.連接AC、BC、PC，PC與AB交于點(diǎn)D.

因?yàn)锳C、BC均為圓C的半徑，

所以AC=BC.

又因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形，

所以D為AB的中點(diǎn)，且PC⊥AB.

由圓C：x－12+y－22=2，

可知半徑R=2，

則AD=2cosθ，CD=2sinθ，

等邊△PAB中，

PD=32AB=6cosθ，

故PC=CD+PD=2sinθ+6cosθ=22sinθ+π3.

根據(jù)三角函數(shù)的有界性可知

22sinθ+π3≤22，

由此得出PCmax=22.

2.2? 構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解

此方法的解題思路為：分析已知條件，找出問題中的變量，根據(jù)數(shù)值、圖形兩方面的關(guān)系，寫出目標(biāo)式，構(gòu)造出函數(shù).然后，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)完成最值的求解.

仍以上述題目為例.

設(shè)AD=x，x∈0，2，

則PC=3x+3－x2.

記fx=3x+3－x2，

則f′x=3－x2－x2，

令f′x=0，可解得x=62∈0，2，

當(dāng)x∈0，62時(shí)，f′x≥0，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈62，2時(shí)，f′x＜0，函數(shù)單調(diào)遞減.

故當(dāng)x=62時(shí)，fx取最大值，

即f62=22，由此可知，PCmax=22.

3? 向量最值問題的解題方法

向量最值求解也是高考中常見的題型.針對此類題型，解題時(shí)應(yīng)先結(jié)合一致條件，細(xì)心梳理出各向量之間的關(guān)系，然后基于投影定義、向量模公式、數(shù)量積公式、數(shù)乘運(yùn)算法則等知識的整合運(yùn)用，建立關(guān)于x、y、z的關(guān)系式，以此減少目標(biāo)式中變量的個(gè)數(shù)，將向量最值求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)式最值求解，在此基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用以下方法進(jìn)行求解［3］.舉例（略）.

3.1? 數(shù)形結(jié)合法

該方法的解題思路為：分析、挖掘題目中已知條件和目標(biāo)式的幾何意義，在此基礎(chǔ)上建立直角坐標(biāo)系，將反映已知條件的圖形畫在坐標(biāo)系中，通過圖形位置關(guān)系的分析，明確目標(biāo)式獲取最值的情形，完成解題.具體解題方法（略）.

3.2? 導(dǎo)數(shù)法

此方法的解題思路為：根據(jù)已知條件確定自變量和取值范圍，然后將目標(biāo)式視為一個(gè)函數(shù)，對其進(jìn)行求導(dǎo)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與“0”的大小關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定出函數(shù)的極值，完成解題.運(yùn)用該方法解答向量最值問題時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)為構(gòu)造出合適的函數(shù)式.具體解題方法（略）.

參考文獻(xiàn)：

［1］苗祥磊，王德朋.關(guān)于解決高中數(shù)學(xué)中最值問題的分析［J］.數(shù)理化解題研究，2023（28）：19-21.

［2］宮里華.高中數(shù)學(xué)常見最值問題及解題策略探究［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（15）：4-5.

［3］軒愛成.高中數(shù)學(xué)最值問題求解策略教學(xué)探討［J］.高考，2021（24）：73-74.