數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的教學(xué)認(rèn)知

摘? 要：學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化是課程標(biāo)準(zhǔn)的重要理念，是體現(xiàn)知識(shí)整體性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵形式，但課堂落實(shí)缺乏有效的組織形式. 知識(shí)聯(lián)系、認(rèn)知路徑、數(shù)學(xué)觀念結(jié)構(gòu)化是學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的主要策略，是增強(qiáng)知識(shí)牢固性、促進(jìn)知識(shí)生長(zhǎng)與高效遷移、加強(qiáng)知識(shí)整體性的有力手段，是實(shí)現(xiàn)從知識(shí)教學(xué)向素養(yǎng)培育轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞：內(nèi)容結(jié)構(gòu)化；教學(xué)策略；教學(xué)意義

中圖分類號(hào)：G632???? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1673-8284（2024）01-0017-07

引用格式：侯寶坤. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的教學(xué)認(rèn)知［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（1）：

17-22，38.

作者簡(jiǎn)介：侯寶坤（1973— ），男，正高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

一、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的課程目標(biāo)指出，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，這些素養(yǎng)是相互交融的有機(jī)整體，要關(guān)注核心素養(yǎng)的綜合性和整體性. 學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化是修訂課程標(biāo)準(zhǔn)的重要理念. 為此，高中數(shù)學(xué)新教材的內(nèi)容及編排結(jié)構(gòu)都進(jìn)行了調(diào)整，理解和實(shí)施學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化有助于準(zhǔn)確落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)精神，實(shí)現(xiàn)由“教知識(shí)”向“育素養(yǎng)”轉(zhuǎn)變. 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解不僅包含對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，還包含對(duì)數(shù)學(xué)思維方式和思想觀念的理解，這種理解應(yīng)當(dāng)是整體性的結(jié)構(gòu)化理解.

現(xiàn)有人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版新教材的章末小結(jié)中都有“本章知識(shí)結(jié)構(gòu)”，體現(xiàn)了新課程對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的重視. 但是這些結(jié)構(gòu)圖基本是知識(shí)教學(xué)順序的概括再現(xiàn)，是線性排列，主要集中在已學(xué)知識(shí)的先后順序上，未能彰顯知識(shí)聯(lián)系的復(fù)雜性和緊密性. 同時(shí)，結(jié)構(gòu)化的對(duì)象僅體現(xiàn)在知識(shí)層面上，形式單一，未能突出數(shù)學(xué)思維的特征和人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的個(gè)人體驗(yàn). 目前，教師對(duì)單元教學(xué)設(shè)計(jì)已經(jīng)有了新的認(rèn)識(shí)，有加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系的初步行動(dòng)，但是學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化仍顯不足，重視程度還不夠. 教學(xué)中多維度、多時(shí)段、高頻率進(jìn)行學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化是實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)培育的關(guān)鍵，也是迫切需要加強(qiáng)的教學(xué)工作.

二、學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的內(nèi)涵與形式

結(jié)構(gòu)化是指將所學(xué)知識(shí)加以歸納統(tǒng)整，并將其條理化、綱領(lǐng)化. 學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化是將已學(xué)知識(shí)和即將要學(xué)習(xí)的知識(shí)按照某種邏輯順序組織到一起，并找出知識(shí)間存在的各種聯(lián)系，使之成為一個(gè)聯(lián)系緊密的知識(shí)群體，構(gòu)成一個(gè)結(jié)點(diǎn)豐富的知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 心理學(xué)研究表明，將散落各處的知識(shí)匯聚、結(jié)構(gòu)化，可以增強(qiáng)學(xué)習(xí)的牢固性，加大知識(shí)存儲(chǔ)，提高知識(shí)的檢索速度和有效提取機(jī)會(huì). 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，就是根據(jù)所學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)功能，將知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，形成知識(shí)圖式的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的整體性認(rèn)知，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶與理解，增加知識(shí)多方位提取與遷移的路徑，促進(jìn)知識(shí)創(chuàng)新.

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化主要有：知識(shí)聯(lián)系結(jié)構(gòu)化、認(rèn)知路徑結(jié)構(gòu)化、數(shù)學(xué)觀念結(jié)構(gòu)化. 知識(shí)聯(lián)系結(jié)構(gòu)化指依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯，通過(guò)核心知識(shí)（概念）對(duì)有關(guān)聯(lián)的知識(shí)進(jìn)行匯聚，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；認(rèn)知路徑結(jié)構(gòu)化指借助學(xué)科專家認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象所形成的典型認(rèn)知路徑來(lái)組織知識(shí)的學(xué)習(xí)順序，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)研究的一般方法和典型范式，學(xué)會(huì)認(rèn)知方法，提高學(xué)習(xí)能力；數(shù)學(xué)觀念結(jié)構(gòu)化指對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行更加抽象地概括和總結(jié)，尋找具有廣泛指導(dǎo)意義的學(xué)科觀念，這些觀念可以是歷史形成的數(shù)學(xué)思想、方法，也可以是個(gè)人學(xué)科理解、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的高度概括和凝練.

三、學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的教學(xué)策略

教學(xué)中既要重視靜態(tài)知識(shí)的聯(lián)系，更要重視知識(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)形成過(guò)程. 在重視知識(shí)結(jié)構(gòu)化的同時(shí)，重視認(rèn)知過(guò)程和個(gè)人學(xué)科觀念的結(jié)構(gòu)化. 教學(xué)中，依據(jù)不同學(xué)習(xí)內(nèi)容的特征，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識(shí)圖譜，幫助學(xué)生形成網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)和開(kāi)放式的認(rèn)知模式.

1. 知識(shí)聯(lián)系視角下的學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容豐富，體系復(fù)雜，涉及不同的數(shù)學(xué)分支. 通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)之間的“親緣關(guān)系”，建立聯(lián)系緊密、有序多級(jí)的“知識(shí)譜系”，厘清知識(shí)之間有價(jià)值的聯(lián)系. 幫助學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化處理，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生條理清晰地掌握所學(xué)知識(shí)，更好地理解和應(yīng)用知識(shí). 以滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》中函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)為例，在高三階段復(fù)習(xí)函數(shù)的概念時(shí)，教師與學(xué)生一起梳理函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，共同繪制基于知識(shí)聯(lián)系的結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示.

尋找函數(shù)親緣關(guān)系的過(guò)程就是對(duì)相應(yīng)知識(shí)理解深化的過(guò)程. 在聯(lián)系方式具體化的過(guò)程中，會(huì)涉及對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解和溝通，方法的選擇，思想的領(lǐng)悟. 例如，對(duì)函數(shù)[y=2x4x+1]的值域的求解，在上述知識(shí)聯(lián)系結(jié)構(gòu)化的視角下，可以選擇尋找常用函數(shù)[gx=2x]，[fx=xx2+1]進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化，也可以用求導(dǎo)、定義的視角分析單調(diào)性來(lái)處理，還可以在方程[y2x2-2x+y=0]有解的視角下分析逆對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，甚至可以借助軟件畫出函數(shù)圖象求解.

通過(guò)對(duì)函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的理解，學(xué)生更能體會(huì)“對(duì)應(yīng)法則”這個(gè)核心知識(shí)的連接與統(tǒng)帥作用，函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)律決定以什么方式具體對(duì)應(yīng)，具有怎樣的性質(zhì)，性質(zhì)反過(guò)來(lái)也能影響三要素的特征. 其中，單調(diào)性是性質(zhì)的核心，連接最為廣泛，是函數(shù)動(dòng)態(tài)特征的體現(xiàn)；奇偶性、周期性是函數(shù)研究工作量減小的關(guān)鍵；零點(diǎn)、極值、最值反映函數(shù)值的特殊情形. 特殊函數(shù)既是性質(zhì)應(yīng)用的載體，也是概念和性質(zhì)的抽象基礎(chǔ)，揭示了函數(shù)的研究方法——圍繞要素研究性質(zhì). 通過(guò)結(jié)構(gòu)化將高中階段與函數(shù)有關(guān)的知識(shí)融為一體，可以深刻理解函數(shù)知識(shí)體系，系統(tǒng)、深入地認(rèn)識(shí)函數(shù)在不等式、方程、幾何、概率與統(tǒng)計(jì)等各個(gè)知識(shí)模塊的滲透和應(yīng)用，體悟函數(shù)研究中蘊(yùn)含的從特殊到一般、從一般到特殊、宏觀與微觀結(jié)合、數(shù)形結(jié)合等思想方法，明晰函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的核心地位.

2. 認(rèn)知路徑視角下的學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化

認(rèn)知路徑指依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的組成和邏輯順序，對(duì)其本質(zhì)特征和發(fā)展變化的規(guī)律進(jìn)行梳理，進(jìn)而形成相對(duì)穩(wěn)定的認(rèn)識(shí)與研究路線. 為發(fā)展關(guān)鍵能力、培育核心素養(yǎng)、提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力，教師有必要通過(guò)學(xué)習(xí)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生梳理認(rèn)知的邏輯鏈條，提煉關(guān)鍵的認(rèn)知環(huán)節(jié)，將知識(shí)依據(jù)邏輯發(fā)展順序緊密地組織起來(lái)，用模式化的思想，構(gòu)建典型的、穩(wěn)定的具有示范功能、可重復(fù)再生的認(rèn)知模式，幫助學(xué)生解決“從哪想”和“怎樣想”的問(wèn)題，從而提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力. 典型的認(rèn)知路徑結(jié)構(gòu)化有概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)化和解題思路結(jié)構(gòu)化.

（1）概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)化.

概念是數(shù)學(xué)研究的基本單元，是相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的原點(diǎn). 數(shù)學(xué)概念包括組成概念的要素（數(shù)學(xué)對(duì)象）和要素間的聯(lián)系方式. 數(shù)學(xué)概念給出的是一類對(duì)象的共同本質(zhì)特征，是充要條件. 判斷是概念的充分條件，性質(zhì)是概念的必要條件，它們的逆命題為真時(shí)，就可以形成一組與原概念等價(jià)的概念形式. 判斷與性質(zhì)是理解概念的關(guān)鍵，應(yīng)用則是概念的價(jià)值所在. 基于上述理解，可以構(gòu)建概念形成與理解的認(rèn)知路徑結(jié)構(gòu)，如圖2所示.

通過(guò)函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，檢驗(yàn)高一學(xué)生概念結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知過(guò)程，教師讓學(xué)生畫出函數(shù)[y=2x-3]，[y=x3]，[y=-3xx>0]的圖象，觀察并歸納圖象的共同特征，進(jìn)一步抽象為自變量與函數(shù)值之間的代數(shù)關(guān)系，從而形成“增函數(shù)”的概念. 然后通過(guò)例子[y=-3x]，[y=x2-2x-1]進(jìn)行反思，形成更廣泛的“單調(diào)增”“單調(diào)減”的概念. 依據(jù)概念結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知模式，通過(guò)函數(shù)的組合，學(xué)生還主動(dòng)研究了[y=x3-3x，y=-32x-3x，y=-3x2-2x-1，][y=x3+x2-2x-1]等和函數(shù)、積函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，既加深了定義判斷價(jià)值，又形成了新的判斷方法. 根據(jù)單調(diào)性，學(xué)生還畫出了上述函數(shù)的草圖，順勢(shì)研究了函數(shù)的最值和解的情況，體會(huì)了單調(diào)性的應(yīng)用價(jià)值. 根據(jù)自變量增量與函數(shù)值增量的符號(hào)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了新的等價(jià)概念，為導(dǎo)數(shù)概念的建立和應(yīng)用埋下了伏筆. 認(rèn)知過(guò)程結(jié)構(gòu)化的推進(jìn)過(guò)程如圖3所示.

（2）解題思路結(jié)構(gòu)化.

數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是奠基工程. 而解題教學(xué)則是學(xué)生每天都要面對(duì)的問(wèn)題，是直接感受學(xué)習(xí)價(jià)值的過(guò)程，是提振學(xué)習(xí)信心的關(guān)鍵，是點(diǎn)燃數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“種子工程”. 通過(guò)解題既能將抽象的概念、原理具體化，也能將方法熟練化、思想領(lǐng)悟深刻化. 借助波利亞的解題表和喻平的CPFS理論，構(gòu)建有指導(dǎo)意義的解題思路結(jié)構(gòu)化認(rèn)知路徑，如圖4所示.

依據(jù)解題思路結(jié)構(gòu)化可以迅速打開(kāi)學(xué)生的思維，聯(lián)通更廣泛的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)更多解題視角，形成各種各樣的突破路徑. 例如，對(duì)于下面這道題目，學(xué)生用解題思路圖探索，形成了許多想法，由單一的“就題論題”上升到了“就題論道”.

題目? 已知[fx=x2+ax x≠ 0，常數(shù)a∈R].

（1）討論函數(shù)[fx]奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)[fx]在[2，+∞]上為增函數(shù)，求[a]的取值范圍.

對(duì)于該題，詳細(xì)解題過(guò)程省略，學(xué)生解題思路結(jié)構(gòu)圖，如圖5所示.

利用解題思路圖能跳出問(wèn)題想方法，更容易掌握通性通法，避免亦步亦趨、支離破碎的解題模仿；結(jié)構(gòu)化解題使學(xué)生站在更高的視角考慮問(wèn)題，解決方法更具有一般價(jià)值，應(yīng)用也更加廣泛.

3. 數(shù)學(xué)觀念視角下的學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化

觀念問(wèn)題是人類認(rèn)識(shí)與理解的基本問(wèn)題，影響每個(gè)人對(duì)認(rèn)知的理解與實(shí)踐活動(dòng). 數(shù)學(xué)觀念是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的概括性認(rèn)識(shí)，反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的基本看法，潛移默化地影響著個(gè)體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的行為. 數(shù)學(xué)觀念通常是具有極強(qiáng)的解釋力和凝聚力的核心概念和數(shù)學(xué)思想，以及學(xué)生個(gè)人形成的深刻體悟. 數(shù)學(xué)觀念強(qiáng)的人會(huì)主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)思想思考和處理遇到的問(wèn)題，《標(biāo)準(zhǔn)》提出的“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)”“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”等都是典型的數(shù)學(xué)觀念.

一類數(shù)學(xué)觀念是在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中磨礪、提煉的，貫穿數(shù)學(xué)某個(gè)階段、分支或整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的核心概念，如函數(shù)、極限、隨機(jī)現(xiàn)象等；也有前輩總結(jié)的，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有方法指引價(jià)值，對(duì)認(rèn)知有方法論意義的數(shù)學(xué)思想，如公理化思想、模型化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等. 方程是貫穿數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程的重要概念，是有創(chuàng)新價(jià)值的核心知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想，將其作為核心的數(shù)學(xué)觀念，可以統(tǒng)領(lǐng)高中數(shù)學(xué)眾多模塊的知識(shí). 方程既能反映客觀世界的宏觀現(xiàn)象，也能刻畫客觀世界的微觀機(jī)理；既能反映靜態(tài)的平衡特征，也能揭示動(dòng)態(tài)的依存關(guān)系；既能建立數(shù)量聯(lián)系，也能描繪圖形關(guān)系. 通過(guò)圖6所示的方程觀念結(jié)構(gòu)化過(guò)程，將高中所學(xué)知識(shí)聚攏起來(lái)，形成一個(gè)從相等到不等、從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)、從代數(shù)到幾何、從數(shù)到形、從平面到空間的整體結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與方法的融會(huì)貫通，突破模塊界限，實(shí)現(xiàn)知識(shí)跨越. 利用數(shù)學(xué)觀念結(jié)構(gòu)化的統(tǒng)帥功能，能夠引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變方式、優(yōu)化策略，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的全局意識(shí)，融知識(shí)、方法、思想于一體，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，促進(jìn)知識(shí)和思維的多維增值.

還有一類數(shù)學(xué)觀念則是學(xué)生個(gè)人體悟形成的關(guān)于知識(shí)的概括性理解. 這類數(shù)學(xué)觀念的形成是學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的關(guān)鍵，是學(xué)生思維的結(jié)晶、成果的凝聚，對(duì)后續(xù)認(rèn)知活動(dòng)的思維和行動(dòng)方式有較大影響.“單個(gè)對(duì)象研性質(zhì)，多個(gè)對(duì)象尋關(guān)系”是筆者研究數(shù)學(xué)問(wèn)題形成的基本觀念. 除了幾個(gè)樸素的概念外，其他數(shù)學(xué)概念與對(duì)象都是在多個(gè)知識(shí)關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上形成的. 數(shù)學(xué)研究的重點(diǎn)是數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)系，創(chuàng)新點(diǎn)在于通過(guò)關(guān)聯(lián)不同對(duì)象形成研究?jī)?nèi)容. 關(guān)系是數(shù)學(xué)研究中最重要的內(nèi)容，奠定了關(guān)系觀念就抓住了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂. 基于數(shù)學(xué)關(guān)系觀念結(jié)構(gòu)化，形成了如圖7所示的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)化圖式.

對(duì)實(shí)數(shù)[a，b]，基于實(shí)數(shù)運(yùn)算關(guān)系有[a2+1b2+1=][ab2+a2+b2+1]. 如果繼續(xù)基于運(yùn)算關(guān)系并加入邏輯關(guān)系的否定，對(duì)[a，b∈C]，上述運(yùn)算依然正確. 如果[a，b]為向量a，b，就變成了[a2+1 · b2+1=][a2b2+a2+b2+1≥][a ? b2+a2+b2+1]. 基于數(shù)量關(guān)系，[a2+1b2+1=][ab2+a2+b2+1]是等量關(guān)系，如果用[a2+b2≥ ±2ab]進(jìn)行放縮，就得到[a2+1b2+1≥ ab±12]，對(duì)右側(cè)取不同組合可以得到6個(gè)不等式. 基于強(qiáng)弱抽象關(guān)系，也可以得到[a2+1b2+1c2+1≥ ab+bc+ca-12]等一系列不等式. 基于邏輯關(guān)系，如果[a2+1b2+1

基于關(guān)系觀念結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)，由于各種關(guān)系的加入，思維一直處于多維開(kāi)放、各方關(guān)聯(lián)的狀態(tài)，一個(gè)簡(jiǎn)單對(duì)象涉及的知識(shí)也變得豐富了，不同的知識(shí)交融在一起，促進(jìn)了知識(shí)理解的深入、深刻，單一知識(shí)的學(xué)習(xí)不再是碎片化狀態(tài)，知識(shí)和方法也獲得了更多的創(chuàng)新機(jī)會(huì)，關(guān)系結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)更容易找到知識(shí)的內(nèi)核，提高知識(shí)的凝聚力.

四、學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的教學(xué)意義

1. 學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，使知識(shí)更牢固，更易于提取

對(duì)于單個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生更傾向于記憶而非理解，很容易遺忘. 要想知識(shí)不被遺忘，最好的方式就是提高知識(shí)的使用頻率，將其嵌入系統(tǒng)中，通過(guò)其他知識(shí)的激發(fā)，不斷帶動(dòng)，使其經(jīng)常處于“工作狀態(tài)”. 結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)使知識(shí)之間建立了邏輯聯(lián)系，捆綁在一起，有重復(fù)喚醒的機(jī)會(huì)，在結(jié)構(gòu)中只要有結(jié)點(diǎn)連接，就有被喚醒的可能，結(jié)構(gòu)化知識(shí)的牢固性遠(yuǎn)勝于離散的知識(shí)點(diǎn). 同時(shí)，結(jié)構(gòu)化知識(shí)的關(guān)聯(lián)廣泛使得被喚醒的機(jī)會(huì)增加，關(guān)聯(lián)緊密使得被喚醒的強(qiáng)度加大，參與其他知識(shí)的學(xué)習(xí)就會(huì)更深入，也必然會(huì)促進(jìn)知識(shí)理解的再深入和再深刻，從而再次拓展知識(shí)聯(lián)系的廣度和深度，進(jìn)一步加深知識(shí)的牢固性和應(yīng)用的易感性.

2. 學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)知識(shí)的孕育與生成

對(duì)于結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生能自覺(jué)關(guān)注知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，主動(dòng)挖掘其構(gòu)成要素，進(jìn)而促進(jìn)對(duì)知識(shí)的深入理解. 例如，函數(shù)概念中蘊(yùn)含了自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量與函數(shù)值到底是怎樣對(duì)應(yīng)的？宏觀表現(xiàn)與微觀機(jī)理是什么？這些就孕育了對(duì)單調(diào)性和對(duì)稱性的探求. 由于結(jié)構(gòu)化的關(guān)聯(lián)廣泛，易于從橫向上融通思考，生長(zhǎng)出新的綜合性知識(shí). 從函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的并列關(guān)系去綜合考量，會(huì)生成奇函數(shù)和偶函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律. 如果跳脫到導(dǎo)函數(shù)，又可以生成導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)對(duì)稱性關(guān)系的探求，從而生成更具跨度與深度的知識(shí). 結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)知識(shí)縱橫捭闔，可以觸動(dòng)思維發(fā)散與匯聚，形成知識(shí)碰撞和融會(huì)貫通，形成新的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)和思維激發(fā)點(diǎn)，從而帶動(dòng)新一輪學(xué)習(xí)活動(dòng)的開(kāi)展.

3. 學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的高效遷移

結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成的思考路徑具有典型性、可復(fù)制性，是具有指導(dǎo)意義的通性通法，在新情境中更容易被聯(lián)想，更容易發(fā)散到其他知識(shí)，也具有靈活的變通性，更適用于遷移到新情境中使用.

要學(xué)到整體化的知識(shí)，就必須讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的環(huán)境下領(lǐng)略知識(shí)的全貌，才能抓住具有統(tǒng)帥作用的核心知識(shí)，才能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想與方法的精髓，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)由一到萬(wàn)的遷移. 通過(guò)結(jié)構(gòu)化的知識(shí)學(xué)習(xí)，學(xué)生能主動(dòng)捕捉知識(shí)關(guān)聯(lián)，對(duì)同類知識(shí)進(jìn)行歸納形成有普適性功能的解決思路和有指導(dǎo)價(jià)值的學(xué)科觀念，從而帶來(lái)知識(shí)的高效遷移.

五、結(jié)束語(yǔ)

基于學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，采取“總—分—總”的單元教學(xué)策略，學(xué)習(xí)活動(dòng)始終處于“先見(jiàn)森林，后見(jiàn)樹(shù)木”的狀態(tài). 學(xué)生先對(duì)知識(shí)有一個(gè)整體式的框架認(rèn)知，后續(xù)學(xué)習(xí)就容易找到有學(xué)習(xí)價(jià)值的知識(shí)，不會(huì)迷失學(xué)習(xí)的方向. 在新授課教學(xué)中，不僅要落實(shí)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，更要善于將這些知識(shí)點(diǎn)組織起來(lái)，凝聚在一個(gè)系統(tǒng)中，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的聯(lián)系，在系統(tǒng)中認(rèn)識(shí)知識(shí)的地位與功能，從知識(shí)的相互作用中體會(huì)知識(shí)的價(jià)值，形成知識(shí)應(yīng)用的典型路徑，通過(guò)所學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化幫助學(xué)生掌握“從哪進(jìn)”“怎樣行”“如何出”的思維方式，逐步形成基于個(gè)人深刻理解的學(xué)習(xí)策略和數(shù)學(xué)觀念. 在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生繪制概念圖、方法流程圖等策略，診斷學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)化水平，同時(shí)助力學(xué)生將零散的知識(shí)整合到結(jié)構(gòu)中，增加學(xué)生的知識(shí)容量和記憶的牢固性，提高應(yīng)用過(guò)程中知識(shí)檢索的速度；增強(qiáng)學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)化，在問(wèn)題解決的過(guò)程中著力于認(rèn)知思路的結(jié)構(gòu)化，打造準(zhǔn)確、快捷的求解路徑，提高思維的簡(jiǎn)約性；讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的過(guò)程中提煉有統(tǒng)攝作用的數(shù)學(xué)大概念和學(xué)科觀念，形成具有個(gè)體特征的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維和關(guān)鍵能力，在結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的過(guò)程中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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