關(guān)注知識(shí)內(nèi)涵 促進(jìn)思維生長(zhǎng)

作者簡(jiǎn)介：張波（1983— ），女，高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

摘? 要：以高三復(fù)習(xí)微專(zhuān)題“三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用”的教學(xué)為例，闡釋在課堂教學(xué)中如何關(guān)注知識(shí)的內(nèi)涵，注重對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)，以及提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，組織學(xué)生充分挖掘知識(shí)的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)基本思想方法，進(jìn)行深度學(xué)習(xí). 旨在提升學(xué)生的應(yīng)用創(chuàng)新思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而提高高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)質(zhì)量.

關(guān)鍵詞：知識(shí)內(nèi)涵；思維生長(zhǎng)；深度學(xué)習(xí)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.64????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1673-8284（2024）01-0042-04

引用格式：張波. 關(guān)注知識(shí)內(nèi)涵? 促進(jìn)思維生長(zhǎng)：以高三微專(zhuān)題“三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用”的教學(xué)

為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（1）：42-45.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出，數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人能力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用. 因此，在教育改革的進(jìn)程中，落實(shí)核心素養(yǎng)的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是數(shù)學(xué)教育工作者面臨的一項(xiàng)意義重大的任務(wù). 要想落實(shí)并完成這一關(guān)鍵任務(wù)，數(shù)學(xué)課堂是一個(gè)重要的平臺(tái)；要想使學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)本質(zhì)的探究，數(shù)學(xué)教師便要在課堂教學(xué)中不斷進(jìn)行改進(jìn)和調(diào)整，尋找有效途徑. 本文將圍繞“如何關(guān)注知識(shí)內(nèi)涵，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展”這一論題，以高三復(fù)習(xí)課“三角函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”為例，從以下四個(gè)方面進(jìn)行闡述.

一、有的放矢，讓高三復(fù)習(xí)課具有針對(duì)性

高三復(fù)習(xí)課要著眼于需求，擇取“靶向”知識(shí)，使復(fù)習(xí)更具針對(duì)性. 在高三復(fù)習(xí)階段，學(xué)生的時(shí)間成本異常珍貴. 由于備戰(zhàn)高考時(shí)間緊、任務(wù)重，對(duì)此教師要科學(xué)調(diào)整課堂節(jié)奏，選取針對(duì)性知識(shí)，利用有限的課堂時(shí)間最大化提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 同時(shí)，要注重舉一反三，以培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變的能力，并為學(xué)生的思維發(fā)展和人生發(fā)展奠定基礎(chǔ). 在擇取“靶向”知識(shí)的過(guò)程中，教師不能脫離學(xué)情，而是要明確學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中存在的問(wèn)題，了解學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高過(guò)程中的最大阻礙. 唯有如此，才能加強(qiáng)課堂教學(xué)的針對(duì)性，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率，讓學(xué)生感受到復(fù)習(xí)課的價(jià)值并產(chǎn)生獲得感.

有效的復(fù)習(xí)課應(yīng)該幫助學(xué)生在已有的認(rèn)知層面將已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法進(jìn)行“質(zhì)”的提升. 因此，復(fù)習(xí)課絕不能對(duì)已學(xué)內(nèi)容在時(shí)間維度上進(jìn)行簡(jiǎn)單重復(fù)，而是要根據(jù)學(xué)生真正的需求和提升點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì). 對(duì)此，教師可以通過(guò)“前測(cè)”的方式來(lái)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，如知識(shí)的誤區(qū)、思維的障礙點(diǎn)等.

“三角函數(shù)的性質(zhì)”這部分內(nèi)容在“三角函數(shù)”一章中具有重要的地位和作用，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容. 為了充分了解學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的掌握程度，筆者設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問(wèn)卷，共8道題目，涉及對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的直觀描述，三角函數(shù)不同于學(xué)習(xí)過(guò)的其他初等函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系，以及三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用等內(nèi)容. 通過(guò)對(duì)前測(cè)的8道題目進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)掌握較好，但是從知識(shí)的應(yīng)用角度來(lái)看還存在很大問(wèn)題，尤其是關(guān)于程序性知識(shí)和具體的學(xué)科技能的問(wèn)題. 現(xiàn)以一道試題的答題情況為例進(jìn)行說(shuō)明.

題目 ?如圖1，已知函數(shù)[y=sin2x+φ]的圖象的一部分，則[φ]的值為_(kāi)_____.

此題學(xué)生的準(zhǔn)確率僅為65%，問(wèn)題就出現(xiàn)在三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用上. 不能夠靈活應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)的原因，在于學(xué)生不能夠理解其內(nèi)在的邏輯關(guān)系和知識(shí)的內(nèi)涵. 因此，在三角函數(shù)這部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)中，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)微專(zhuān)題——三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的性質(zhì)，提高對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力.

二、探尋本質(zhì)，讓高三復(fù)習(xí)課具有邏輯性

教育心理學(xué)中的“首因效應(yīng)”放置在學(xué)生的高頻錯(cuò)題的情境中十分適恰. 在高三復(fù)習(xí)時(shí)，教師經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題：學(xué)生總是在同樣的題目上頻繁出錯(cuò). 這是由于學(xué)生在初次學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)便沒(méi)有真正理解知識(shí)的本質(zhì)，或存在認(rèn)知偏差，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系不清晰. 正如文獻(xiàn)［1］中指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間深刻的內(nèi)在邏輯關(guān)系，包括各部分知識(shí)的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，因此要做好數(shù)學(xué)的教學(xué)，就要善于從教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進(jìn)而通過(guò)分類(lèi)、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯框架結(jié)構(gòu).”

在課堂實(shí)施的過(guò)程中，對(duì)調(diào)研數(shù)據(jù)進(jìn)行展示后，筆者以“已知函數(shù)[fx=sinx+φ]滿足[fπ3=1]，則[f5π6]的值為_(kāi)_____”作為引入，與學(xué)生一起分析錯(cuò)因. 這也是前測(cè)中的一個(gè)問(wèn)題，通過(guò)師生間的交流，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生都是將[π3，1]代入函數(shù)解析式，求出具體的[φ]值，然后再將[5π6]代入解析式，求出[f5π6]的值. 只有個(gè)別學(xué)生想到最值點(diǎn)與最近零點(diǎn)之間的距離為周期的[14]倍，所以[5π6]是函數(shù)的零點(diǎn). 這說(shuō)明學(xué)生在知識(shí)的應(yīng)用層面仍然存在一些問(wèn)題，其實(shí)也反映出學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的理解不夠深入. 例如，三角函數(shù)具有周期性的原因就在于其自變量是角這一獨(dú)特的變量：按照角的定義，角的大小可以不同，但角的終邊的位置卻能不斷重復(fù). 正如函數(shù)的周期性的概念所揭示的那樣，當(dāng)函數(shù)的任意自變量增加或者減少同一個(gè)常數(shù)的時(shí)候，函數(shù)值總是相等；三角函數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性，則是因?yàn)榻堑慕K邊具有對(duì)稱(chēng)性所引發(fā)的. 這也是本節(jié)課設(shè)計(jì)的目的. 在對(duì)前測(cè)的數(shù)據(jù)和問(wèn)題進(jìn)行分析和解決后，教師出示例1.

例1? 已知函數(shù)[fx=Asinωx+φ A>0，ω>0]的圖象上的一段如圖2所示，在區(qū)間[0，2π]上，使[fx=f0]成立的[x]的取值集合為_(kāi)________.

學(xué)生先獨(dú)立思考，分析問(wèn)題，進(jìn)而在小組內(nèi)分享、交流解題思路，隨后學(xué)生代表板演解法，進(jìn)行講解，運(yùn)用不同解法求解的學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充. 課堂中，學(xué)生的思維非常發(fā)散，共給出了三種解法.

解法1：由圖2可知，[A=1].

因?yàn)閇T2=5π6-π3=π2]，且[ω>0]，

所以可求得[ω=2].

因?yàn)閇fx]的圖象過(guò)點(diǎn)[0， 32]，

所以[f0=sinφ=32].

所以[φ=π3+2kπ，k∈Z].

故[fx=sin2x+π3]．

令[fx=f0=32]，

即[sin2x+π3=32，x∈0，2π]，

可得[x∈π6，π， 7π6]．

解法2：由圖2可知，[A=1].

因?yàn)閇T2=5π6-π3=π2]，且[ω>0]，

所以可求得[ω=2]，

即[fx=sin2x+φ].

由圖2可知，[fx]的圖象關(guān)于[x=π3+5π62=7π12]對(duì)稱(chēng)，

即[fx]的圖象過(guò)點(diǎn)[7π12，-1].

所以[f7π12=sin7π6+φ=-1].

解得[φ=π3+2kπ，k∈Z].

后同解法1.

解法3：由圖2可知，[T2=5π6-π3=π2].

所以[T=π].

因?yàn)楹瘮?shù)[fx]的圖象關(guān)于[x=7π12]對(duì)稱(chēng)，

所以由周期性可知函數(shù)[fx]的圖象也關(guān)于[x=7π12-][π2=π12]對(duì)稱(chēng).

結(jié)合函數(shù)[fx]的圖象可知[f0=fπ12×2=fπ=][fπ12×2+π=32]．

所以令[fx=f0]成立的[x]的取值集合為[π6，π， 7π6]．

此題是對(duì)前測(cè)結(jié)果的檢驗(yàn)，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)了三角函數(shù)周期性和對(duì)稱(chēng)性在解決問(wèn)題中的應(yīng)用. 在學(xué)生思考、求解的過(guò)程中，了解學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決方法，讓解法具有代表性的學(xué)生分享解題思路，并展開(kāi)學(xué)生間的交流、互動(dòng)，教師進(jìn)行小結(jié)提升. 然后應(yīng)用幾何畫(huà)板軟件畫(huà)出函數(shù)[fx=sin2x+π3]的圖象與[y=32]的交點(diǎn)，讓學(xué)生觀察，找到兩個(gè)三角函數(shù)值相等的原因——有可能是周期性造成的，也有可能是對(duì)稱(chēng)軸導(dǎo)致的. 引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體問(wèn)題體會(huì)周期性和對(duì)稱(chēng)性在解題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和應(yīng)用能力. 選擇這樣一道例題作為重點(diǎn)分析的內(nèi)容，主要是因?yàn)樵擃}解法比較靈活，可以從三角方程的角度進(jìn)行分析，也可以從三角函數(shù)性質(zhì)的角度進(jìn)行深入剖析，得出多種解法之后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，從而得出最優(yōu)解法，也就是解法3. 而這需要學(xué)生深刻理解三角函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性. 在三角函數(shù)中，利用周期性與對(duì)稱(chēng)性都可以得到三角函數(shù)值相等，而在具體問(wèn)題中需要靈活處理. 通過(guò)解決例1提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

三角函數(shù)是研究函數(shù)周期性的重要模型，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是此部分內(nèi)容的核心知識(shí)，讓學(xué)生從圖形和代數(shù)運(yùn)算兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的性質(zhì)，并依據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)分析和解決問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)理解函數(shù)周期性的概念是三角函數(shù)教學(xué)中最重要的任務(wù). 因此，在教學(xué)過(guò)程中，要幫助學(xué)生從函數(shù)的知識(shí)邏輯角度掌握周期函數(shù)的本質(zhì).

三、直通高考，讓高三復(fù)習(xí)課具有實(shí)戰(zhàn)性

紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行. 高三的數(shù)學(xué)課堂要具有高考實(shí)戰(zhàn)性. 通過(guò)前文例1的分析，讓學(xué)生清楚三角函數(shù)值相等的原因有兩個(gè)，一是周期性，二是對(duì)稱(chēng)性. 那么，高考到底會(huì)如何考查這部分知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)系呢？如何考查學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力呢？對(duì)此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，要讓學(xué)生走進(jìn)高考試題，進(jìn)行實(shí)戰(zhàn)演練.

例2? 設(shè)函數(shù)[fx=sinωx+φ]，[A>0，ω>0]，若[fx]在區(qū)間[π6， π2]上具有單調(diào)性，且滿足等式[fπ2=][f2π3=-fπ6]，則[fx]的最小正周期為_(kāi)______.

學(xué)生先獨(dú)立思考此題，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，進(jìn)行小組內(nèi)的合作交流，小組代表進(jìn)行板演講解. 下面是學(xué)生在課堂中給出的解法.

解：由已知，[fx]在區(qū)間[π6， π2]上具有單調(diào)性，

則[T2 ≥ π2-π6=π3]，即[T ≥ 2π3]．

因?yàn)閇fπ2=f2π3]，

所以[fx]的圖象關(guān)于[x=7π12]對(duì)稱(chēng)．

因?yàn)閇fx]在區(qū)間[π6， π2]上具有單調(diào)性，且有

[fπ2=-fπ6]，

所以[fx]的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為[π3，0]．

因?yàn)閇7π12-π3=π4

所以[T4=7π12-π3=π4]，

即[T=π]．

對(duì)于無(wú)圖問(wèn)題，要能夠應(yīng)用對(duì)稱(chēng)等性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)圖象，從而進(jìn)行求解. 此題難度較大，屬于對(duì)稱(chēng)性和周期性的綜合應(yīng)用，但是學(xué)生可能會(huì)忽略“若[fx]在區(qū)間[π6， π2]上具有單調(diào)性”這一條件，所以教師可以在學(xué)生求解之后提問(wèn)：“老師有三個(gè)困惑，需要你們的幫助. 第一，[fπ2=f2π3]，為什么不是周期性造成的呢？第二，為什么選擇用[fπ2=-fπ6]來(lái)確定對(duì)稱(chēng)中心，而不是用[f2π3=-fπ6]確定對(duì)稱(chēng)中心？第三，為什么[x=7π12]與[π3，0]是相鄰的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心呢？”這三個(gè)問(wèn)題的提出，實(shí)際上是希望學(xué)生能夠進(jìn)一步深入理解三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，以及進(jìn)一步培養(yǎng)思維的連貫性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

通過(guò)例2，既鞏固了例1所分析的周期性和對(duì)稱(chēng)軸是造成函數(shù)值相等的原因，也提出了新的問(wèn)題：對(duì)稱(chēng)中心是造成函數(shù)值相反的原因. 同時(shí)，學(xué)生能夠經(jīng)過(guò)自己的思考，發(fā)現(xiàn)這一事實(shí)，說(shuō)明學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和分析問(wèn)題的能力有所提高.

三角函數(shù)[fx=Asinωx+φ]的圖象和性質(zhì)是三角函數(shù)的核心知識(shí)，要能從圖形與代數(shù)兩個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的性質(zhì)，并能依據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)邏輯分析問(wèn)題和解決問(wèn)題. 例2充分考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)，如何理解其性質(zhì)的邏輯關(guān)系，以及其內(nèi)在的豐富的知識(shí)邏輯，正是這道題的魅力所在. 這就是我們需要的關(guān)注本質(zhì)的教學(xué)，以促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

四、總結(jié)提升，讓高三復(fù)習(xí)課具有整體性

在本節(jié)課的最后，教師提出如下四個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為三角函數(shù)部分所考查的知識(shí)內(nèi)容是什么？

問(wèn)題2：知識(shí)內(nèi)容之間有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系？

問(wèn)題3：解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？

問(wèn)題4：在三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用過(guò)程中，有自己的想法嗎？課后做一個(gè)思維導(dǎo)圖來(lái)呈現(xiàn)你的思維過(guò)程.

設(shè)置這四個(gè)問(wèn)題，目的是要讓學(xué)生思考“是什么？為什么？怎么用？”這三個(gè)問(wèn)題，從而使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)行反思與重現(xiàn)，喚醒學(xué)生的思維，從思考與內(nèi)化中獲得力量，提升解決問(wèn)題的能力.

本節(jié)課的探究，從有圖到無(wú)圖，層層遞進(jìn)，難度逐漸加大，但是都緊緊圍繞三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用進(jìn)行求解. 讓學(xué)生能夠理解在三角函數(shù)中，造成兩個(gè)三角函數(shù)值相等的原因有兩個(gè)，一是周期，二是對(duì)稱(chēng)軸；導(dǎo)致兩個(gè)函數(shù)值互為相反數(shù)的原因是對(duì)稱(chēng)中心. 同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰? 最后讓學(xué)生以思維導(dǎo)圖的形式對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)和梳理，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體架構(gòu)有更深的理解和掌握，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)涵和本質(zhì)的理解，杜絕碎片化的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí). 在這樣的教學(xué)中提升學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之，作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到高三復(fù)習(xí)課堂對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要性. 在復(fù)習(xí)課中，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)與引導(dǎo)，適應(yīng)如今時(shí)代對(duì)人才培養(yǎng)的需求. 當(dāng)然，關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)與創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)絕不僅僅是通過(guò)一節(jié)或者幾節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)就能完成的，這將是一項(xiàng)任重而道遠(yuǎn)的任務(wù)，教師要做的第一步便是從思想上重視起來(lái)，再有計(jì)劃、有方案地行動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中把握知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì)，促進(jìn)思維的提升與發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］張鶴. 數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯［M］. 北京：首都師范大學(xué)出版社，2016.

［2］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.