數控系統樣條曲線插補技術研究綜述

蓋榮麗，馬淑雅，杜曉燕，高守傳

（大連大學信息工程學院，遼寧 大連 116021）

1 引言

隨著制造業不斷向高質量加工方向推進，航空航天、造船和汽車領域加工零件的不斷精細、加工質量的不斷提升及新興工藝的出現，對數控機床的性能提出了更高的要求，數控機床已成為現代制造業的關鍵設備。從某種意義上說，數控機床的加工水平代表了一個國家的制造業水平。我國對數控機床高速高質量加工技術的研究相對落后，阻礙了國內數控機床的發展。因此，迫切需要開展復雜曲線、曲面高質量加工技術研究。

理想狀態下，刀具的加工軌跡應與工件的輪廓形狀完全一致。然而，實際加工中二者之間存在著一定的誤差。加工簡易工件時，其加工軌跡較易于貼近工件設定輪廓；加工具有復雜曲面、曲線的工件時，因旋轉軸的加入，刀具的運動軌跡及工件形狀表示方法復雜度都大幅度增加，對數控系統插補技術提出了新的挑戰。通常，數控系統插補分為預處理階段和實時插補兩部分，預處理是根據數控機床給定的進給速度、最大弦高誤差等信息，在工件加工輪廓的起始點和終點之間前瞻計算插補參數；實時插補根據預處理的結果，求出工件加工輪廓中間若干個插補點信息，根據插補周期實時計算各個插補點的進給速度等信息。因此，插補算法是決定數控系統加工精度和加工效率的關鍵因素。

樣條曲線插補數據傳輸量小、傳輸速度快，是實現數控系統高速高精度加工的重要方法。樣條曲線由分段定義的多項式曲線連接而成，連接兩段多項式的曲線是連續的，其一階導數和二階導數也是連續的，曲線形狀一般由一組控制點或數據點決定。樣條曲線根據選擇的多項式是否能夠全部通過曲線的數據點，分為插值樣條曲線和逼近樣條曲線。其中，插值樣條曲線可分為A樣條曲線和C樣條曲線，逼近樣條曲線主要為B樣條曲線。

以數控系統為研究對象，首先介紹了插補的概念以及樣條曲線的發展歷程；其次根據樣條曲線選擇的多項式是否能夠全部通過曲線的數據點進行分類，重點介紹了A樣條曲線插補、B樣條曲線插補和C樣條曲線插補的概念和插補算法發展過程；接著，文章分析了以上三種曲線插補方法最新研究動態，最后對其未來趨勢做了總結和展望。

2 樣條曲線插補方法

2.1 A樣條曲線插補方法

Akima曲線是在已知點間建立一階連續導數的分段多項式曲線，能夠精確穿過每個數據點，數學運算更加簡單，而且參數曲線本身的變化更加平滑自然。在構建曲線前，需要對數據點進行參數化，繼而采用五點Akima算法求解數據點的一階導數，最后才能建立Akima曲線方程。Akima曲線具有節點參數化的特性，在分段擬合時，因節點參數與刀位點分段有關，可將Akima刀位點弧長參數化，實現Akima刀位軌跡擬合。常見的弧長參數化方法有累加弦長參數法和修正弦長參數法。

五點Akima算法［1］是基于由一組多項式組成的分段函數，默認為三次多項式。對于一組數據點P0，P1，P2，…，Pn-1，其對應的參數是u0，u1，u2，…，un-1，并且滿足u0

在參數區間[ui，ui+1](i=0，1，2，…，n-1)中，Akima樣條曲線的表達式R(u)為：

式中：A、B、C、D—Akima曲線的系數矩陣，計算方法是求解R(u)的一階導，估算方法為Akima算法。

Akima樣條曲線插補方式計算簡便，效率高，對生成的曲線具有唯一性和光滑性，該插補算法適用于經過指定點的加工曲線的快速插補。加工由離散數據點組成的復雜幾何形狀時，文獻［1］基于Akima擬合提出了實時前瞻插補算法，經雙弦誤差和正切弦誤差測試后，預處理模塊對連續的Akima曲線進行識別，采用五點Akima 算法進行擬合，最后進行前瞻插補。仿真結果證明Akima曲線適用于離散數據點，可用于高質量數控加工。針對小線段擬合軌跡不平穩、刀位點疏密不同等問題，文獻［2］提出了基于弧長參數的保凸Akima擬合刀位軌跡算法，在滿足雙弦誤差的前提下，以相鄰刀位點間的直線距離代替弧長，保證擬合曲線的連續性。實驗結果表明該算法能夠保證工件的高質量加工，提升工作效率。

2.2 B樣條曲線插補方法

B樣條函數由Schoenberg提出，但在當時并未受到重視。隨著貝塞爾曲線的提出，研究人員開始應用該曲線進行插補。由于貝塞爾曲線局部不能修改且拼接復雜，所以基于Schoenberg最先提出的樣條方法，改進提出了B樣條曲線，既保留了貝塞爾曲線的優點，也克服了其缺點。B樣條曲線是B樣條基曲線的線性組合，一條k次B樣條曲線的參數表達式為：

式中：di—控制頂點；Ni，k(x)—k階B樣條基函數。

因為B樣條曲線存在許多優點，使得人們將研究重點集中在它身上，非均勻有理B樣條（NURBS）曲線是它的一種推廣。一條NURBS曲線通過控制頂點di、權因子ωi和節點矢量U=(xi，xi+1，…，xi+k)就可確定，其公式相應為：

式中：x—自變量；ωi—權因子ω0，ωn>0，其余ωi>0

其遞推關系式為：

B樣條曲線具有局部性、凸包性和幾何不變性，可通過移動控制點構造不同的曲線，但所生成的曲線不能通過全部數據型值點，精度差，容易產生進給速度波動。文獻［3］針對上述問題，在保證曲線具有局部性的基礎上，提出增加型值點使曲線經過全部的原始數據點，避免了傳統算法的不足，從而提高加工精度。文獻［4］提出動態B樣條曲線的實時前瞻算法，通過調整過渡曲線建立模型，該算法采用7段S型速度規劃算法，通過實時前瞻減少了速度波動，提高了數控系統的柔性和加工精度，降低了計算量。

由于Bézier曲線缺乏局部修改性，文獻［5］基于三次Bézier曲線提出小直線段轉接光順算法，建立了拐角轉接控制模型，保證曲率極值點出現在Bézier 曲線的中點處，加工效率得到顯著提高。加工微小線段會出現擬合曲線不滿足精度等要求，文獻［6］提出一種基于公差帶的G2連續Bézier刀具軌跡平滑算法，基于離散數據點進行雙弓高誤差判斷，構造連續的微小線段加工區域，識別不滿足精度要求的曲線并對其重構，在提高加工效率的前提下滿足最小誤差約束條件。

由于NURBS曲線具有良好的直觀性、局部性、收斂性和逼近性等優點，因此得到了廣泛的應用。如今，NURBS曲線插補已然成為現代數控系統的關鍵技術。基于NURBS曲線減速點難以預測等問題，文獻［7］綜合弓高誤差和法向加速度等約束條件，根據曲線曲率自適應調整進給速度，利用NURBS曲線的對稱性預測減速段，提出一種新的拋物線—直線—拋物線S型加減速控制算法，保證了數控系統的高質量加工。文獻［8］針對減速點不確定、出現拖尾現象等問題，提出反向插補來確定減速點的位置，采用S型加減速進行逆向插補，自適應調整前瞻窗口，避免了低速運行現象的出現，提高了數控機床的加工效率。由于NURBS曲線曲率極值點處速度易超限，文獻［9］提出基于曲率約束和位移補償的加加速度漸變柔性加減速控制算法，根據曲率極值點將曲線進行分段，并按照不同曲線段長度采取相應的速度規劃策略，該方法實現了進給速度的平緩變化。

2.3 C樣條曲線插補方法

C樣條曲線（Cubic Spline）是三次樣條曲線的簡稱，在相鄰的型值點間構造一條三次多項式曲線，分段進行插補，把n段三次多項式連接起來就可得到三次樣條曲線，它是通過一系列數據點的光滑曲線，在節點處具有二階連續性。在工程上，可分為三彎矩插值和三斜率插值。C樣條曲線S(x)是分段定義的公式，給定n+1個數據點，共有n個區間，即有n段三次多項式曲線。S(x)是光滑曲線需滿足以下幾個條件：

每個分段區間[xi，xi+1](i=0，1，2，…，n-1)的分段函數S(x)=Si(x)都是三次函數；

滿足S(xi)=yi(i=0，1，2，…，n)；

S(x)及其一階導、二階導都是連續的。

n個三次多項式分段可寫為：

式中：i=0，1，2，…，n-1；ɑi，bi，ci，di—4n個未知系數。

C樣條曲線插補具有最小模、最優逼近和收斂的特性，加工精度和曲線的次數無關，缺點在于只能保證小線段間的連續，無法保證整條曲線的平滑度。為實現復雜工件的插補，針對傳統的C樣條曲線插補存在的問題，文獻［10］提出混沌自適應粒子群優化算法（CAPSO）來優化C 樣條曲線的控制點，提高了全局搜索能力，采用三角函數對控制參數進行自調整，并使用混沌映射代替隨機參數，仿真實驗驗證了其有效性。此外，可建立誤差模型，采集節曲線的數據點，利用分段三次樣條曲線進行擬合，能減少工件的加工誤差，提高曲線的連續性。

3 最新研究動態進展

為了減少數控機床加工工件產生進給速度波動、提高工件的加工精度，研究人員分別在上述插補技術的基礎上進行了改進。針對Akima 曲線插補效率低等問題，文獻［11］以修正弧長參數化Akima曲線擬合運動軌跡，提出基于視覺引導的軌跡規劃算法，能自動調整加加速度，在保證算法效率的同時還能保證較高的正確率。由于低階多項式擬合精度差、高階多項式擬合不收斂以及數據點非等間距等問題，文獻［12］以Akima非線性插值為基礎，對數據點分段擬合，針對結果振蕩處采用濾波技術進行平衡，可提高擬合的精度。

為減少B樣條曲線插補誤差，可選取合適的參數化方法和節點矢量，或調整控制點的個數。其中，參數的計算速度和精度直接影響了實時加工的速度和精度，決定了進給速度波動。文獻［13］針對數控機床存在柔性沖擊等問題，提出四次多項式與三角函數加減速混合的柔性加減速控制算法對B樣條曲線進行前瞻控制，該算法可獲得連續的加加速度曲線，減少了在曲率尖角位置時產生速度波動、加加速度突變次數過多等問題，提高了系統的柔性，降低了計算量。針對RRT算法［14］存在的路徑冗余和拐點過多等問題，提出基于Douglas-Peucker 算法和B 樣條函數的路徑光滑算法，能夠得到曲率連續的光滑曲線，提升工作效率。針對參數計算冗余、計算量大等問題，在BFGS方法的基礎上，加入縮放參數，構造自適應的BFGS［15］優化控制頂點；另一方面，使用步長加速法對參數進行調整，使得生成的曲線無限接近數據點，得到精度更高的工件。

根據尖角或拐點等特殊位置對NURBS曲線進行分段時，由于計算弦長長度和預測減速點十分困難，無法判定某一段弦長的運動軌跡，軌跡規劃十分復雜。文獻［16］提出一種尋回插補實時算法，采用正向和反向同步策略，先對曲線進行逆向插補，獲取整條曲線的運動信息，繼而判斷進行正向或反向插補，從而實現滿足速度約束條件的最優插補。文獻［17］提出尖角分割及速度修正算法，根據曲率單調性，將曲線進行分段，并向前、向后兩個方向進行插補，能夠提高插補的實時性，加工效率高，適用于含有大曲率NURBS曲線加工。除正反向插補方式外，也可將減速階段視作加速階段的逆過程，通過反向尋優確定減速點的位置信息，從而進行插補，提高插補的實時性。

在實際加工場景下，需要根據加工工藝，機床動力學和弦高誤差等約束條件對進給速度進行自適應調整，防止出現過切現象。文獻［16］在輪廓誤差、向心加速度、機床本身特性和動力學特性以及切削力的約束下，對進給速度進行調整，增強了速度間的連續性；文獻［17］的約束條件是弦高誤差、法向加速度及其導數，對進給速度進行修正，確保加速度和加加速度滿足S型加減速的要求；文獻［18］綜合運動變量關系、數控機床動力學性能和曲線弧長等約束條件，對分段曲線銜接點處進行進給速度優化，實現連續軌跡段平滑過渡。

隨著神經網絡的普及，曲線插補算法中也引入了神經網絡的概念。利用BP神經網絡進行曲線擬合時，選取合適的網絡結構后，經訓練能得到各節點之間的權值和閾值，可獲取不同精度的擬合曲線。文獻［19］提出RBF（徑向基）神經網絡在自由曲線進行插補，通過學習算法求得三個參數，以弓高誤差為約束，速度控制采用5段S型曲線加減速控制算法，原理簡單，計算量小，能夠獲得較高的插補精度。文獻［20］提出自適應遺傳算法，建立新的適應度函數，有效減少刀具加工時機床產生抖動，得到的B樣條曲線精度更好。此外，Bézier曲線結合蟻群算法（ACO）［21］提出了新的曲線軌跡插補方法，通過自適應調節信息素提高算法的實時性，仿真實驗證明了上述方法的有效性和可行性。

4 總結

結合近年來數控系統插補方式的研究工作，綜述了樣條曲線插補的發展過程和研究現狀，詳細介紹了A樣條曲線插補方法、B樣條曲線插補方法和C樣條曲線插補方法。

數控機床針對不同的加工場景及加工要求需采用不同的曲線插補方法。Akima曲線能夠精確穿過每一個數據點，具有光順連接且端點連接處保證G1 以上連續等特點，數學運算簡單；NURBS曲線具有良好的直觀性，使用NURBS曲線進行插補，利用前瞻模塊或反向插補等其他方式能夠提高插補的精度和效率；C樣條曲線插補數值穩定性好，且由于曲線及其一階導、二階導連續，曲線能夠通過所有的數據點，對曲線的緩變和瞬變部分均具有良好的適應性。三種曲線分別具有不同的性質，因此在不同的場景可根據數控加工的具體要求采取不同的曲線進行插補。基于上述曲線進行的插補算法，能夠降低刀具在加工過程中產生速度波動，同時還能減少誤差，提高加工精度，保證工件的光滑度。

針對高速高精度加工的數控要求，曲線插補有以下幾種研究趨勢：插補參數計算速度和精度直接影響實時加工的速度和精度，如何解決大量求導運算所引起實時性不高，如何提高插補參數的精度，是一大難題；對曲線進行分段時，減速點的位置決定了路徑的運動規劃，準確判斷減速點的位置，使刀具能夠及時在曲率極值點提前減速，可防止過切現象發生；建立自適應前瞻插補算法，綜合多約束條件建立進給速度自適應模型，能夠提高進給速度的精度，以期得到更高的加工精度；隨著神經網絡的普及，將樣條曲線插補方法與之結合起來能夠提高工件的加工質量，通過訓練插補模型，可提高插補的實時性，這是未來的研究熱點。