累積疲勞損傷的數值積分算法

藤瑞品，宋曉琳

（1.長沙民政職業技術學院電子信息工程學院，湖南 長沙 410004；2.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082）

1 引言

在采用Miner定則［1-3］計算累積疲勞損傷時，需要確定承載零部件所受到不同載荷塊的幅值和每個載荷塊的加載循環數量。實際上，在大部分情況下，承載零部件在工作時所受到的載荷譜并不規則，很難簡單地分成幾個載荷塊。因此在工程實踐中，通常將承載零部件所受到的載荷譜進行簡化分級，即按照一定的規則將幅值差距微小的載荷進行等效處理，從而使不規則的載荷譜簡化為一定數量的載荷塊，然后根據不同載荷塊的幅值和加載循環數量計算累積疲勞損傷。汽車在行駛時，其承載系統的載荷譜近似連續，因此在計算累積疲勞損傷時需進行簡化分級處理。目前廣泛使用分級方法的是由Conover提出的八級載荷分級法［4-5］，其幅值比分別為：1.0、0.95、0.85、0.725、0.575、0.425、0.275、0.125。

八級載荷分級法由于對復雜的載荷譜進行了簡化處理，那么其一定會帶來累積疲勞損傷計算結果的偏差，另外汽車承載零部件所受到的載荷是包含幅值和均值，其具有二維特性，而對于二維載荷，目前尚沒有成熟的簡化分級方法。

2 累積疲勞損傷的數值積分方法

2.1 累積疲勞損傷的積分算法

計算連續變量之累積值的準確方法是積分法，采用積分法計算累積疲勞損傷，可以解決載荷譜分級法的計算結果不準確問題。

基于Miner定則，在連續載荷作用下，累積疲勞損傷的算法，如式（1）所示。

式中：D—累積疲勞損傷；N—載荷循環數；Seq—疲勞載荷；f(Seq)—載荷的概率密度函數；Nf—疲勞壽命。

采用積分法計算累積疲勞損傷存在一個主要的問題，在于其需要對被積函數進行復雜的積分計算。而對于二維隨機載荷，其當量載荷的概率密度函數的表達式經常過于復雜［6］，很多情況下屬于不可積函數，因此無法通過常規的積分法計算累積疲勞損傷。

2.2 高斯數值積分法

當被積函數不可積時，可采用數值積分方法對被積函數進行近似計算。

高斯積分是一種插值型數值積分，計算結果穩定，并具有最高的積分計算精度。高斯-勒讓德求積公式［7］為實踐中常用數值積分公式，其具有積分計算節點少，計算精度高的優點。

高斯-勒讓德公式，如式（2）所示。

式中：f(x)—被積函數；n—計算節點數；Ai—高斯系數；xi—高斯點。

高斯-勒讓德求積公式中的積分域t為［-1，1］，對于其它積分域的計算，可采用變換公式實現，變換公式，如式（3）所示。

式中：x—被積函數f(x)的自變量；b、ɑ—被積函數f(x)的積分上、下限。

高斯系數Ai和高斯點xi的計算方法和具體數值可通過查閱相關文獻獲得。

3 計算示例

3.1 研究對象

零部件材料為16Mn，承受隨機載荷的作用，該隨機載荷服從二參數威布爾分布，形狀參數α為2，、尺度參數β為200。隨機載荷作用的總循環次數N=105。下面采用高斯-勒讓德求積方法計算零部件的累積疲勞損傷。

3.2 累積疲勞損傷計算

在無實際的S-N曲線可以使用時，可根據已有的數據采用擬合的方法得到［8-9］。采用三參數經驗公式［10］擬合16Mn材料的SN曲線，如式（4）所示。

式中：Nf、Seq與式（1）中的意義相同；S0、α、β—待定常數。

取S0為材料的疲勞極限Sc，α為材料的疲勞抗力系數Cf，β=2［19］，根據式（4）得到疲勞壽命Nf的計算公式為：

因此根據式（1）和式（5），得到累積疲勞損傷的計算公式為：

查閱相關文獻［10-11］可得，16Mn材料的疲勞抗力系數Cf=3.95×108，疲勞極限Sc=261MPa。取積分下限為疲勞極限Sc，積分上限為抗拉強度σb，查閱材料手冊［12］可知16Mn材料的σb為660MPa，把上述參數代入式（6），得到：

由已知條件得到當量載荷Seq的概率密度函數f(Seq)，如式（9）所示。

因此可得：

接下來采用八點高斯-勒讓德求積公式計算函數g（Seq）的積分值。

八點高斯點和高斯系數，如表1所示。

表1 八點高斯點和高斯系數Tab.1 Eight-Point Gauss Points and Gauss Coefficients

計算積分點，如表2所示。

表2 積分點Tab.2 Integration Points

表中：Si—積分點，i=1，2，…，8，其計算公式，如式（11）所示。

式中：b—積分上限，其值等于抗拉強度σb；ɑ—積分下限，其值等于疲勞極限Sc。

g（Seq）的八點高斯-勒讓德求積過程，如表3所示。

則材料的累積疲勞損傷D為：

4 算法驗證及比較

4.1 驗證方法和思路

以下采用試驗設計法［13-14］對累積疲勞損傷的高斯數值積分方法進行驗證。

驗證思路如下：載荷譜分級法是將連續載荷近似分為有限級數，當分級數量足夠多時，累積疲勞損傷的計算結果應趨于連續載荷作用的實際結果。因此，以載荷譜分級法的計算結果作為驗證基準，隨著分級數量的增加，如高斯數值積分法和載荷譜分級法的計算結果逐漸趨近，則認為高斯數值積分法正確有效。

4.2 研究對象的選擇

試驗材料的選取：選擇16Mn和60Si2Mn兩種材料作為研究對象，該兩種材料常用于汽車底盤系統，其中16Mn主要用于承載部件，60Si2Mn 主要用于彈簧部件。兩種材料的主要力學參數［12］，如表4所示。

由表4可以看出，兩種材料的主要力學參數基本覆蓋了中高載荷區域。

載荷概率密度函數的分布形式選擇：威布爾分布、正態分布為最常用的載荷分布，因此選擇該兩種分布形式的載荷概率密度函數來對算法進行驗證。

4.3 試驗矩陣的設計

4.3.1 正態分布載荷試驗矩陣的設計

設正態分布載荷的均值為u，標準差為σ，以疲勞極限Sc做為載荷的下限值，以材料的抗拉強度σb做為極限載荷的上限值來設定均值u和標準差σ。其中極限載荷的發生概率為10-6。查正態分布表可知，4.7σ為10-6頻次的對應值，所以按式Sc

綜上分析，設計16Mn材料的正態載荷試驗矩陣，如表5所示。

表5 16Mn材料的正態載荷試驗參數矩陣Tab.5 Experiment Parameters Matrix of Gauss Load of 16Mn

60Si2Mn材料的正態載荷試驗矩陣，如表6所示。

表6 60Si2Mn材料的正態載荷試驗參數矩陣Tab.6 Experiment Parameters Matrix of Gauss Load of 60Si2Mn

4.3.2 威布爾分布載荷試驗矩陣的設計

設α為威布爾分布載荷的形狀參數，β為威布爾分布載荷的尺度參數。首先定義形狀參數α的限值，因在α≥3的時候，分布形式與正態分布相似，因此定義α的值不大于3；并以材料的疲勞極限為限值定義尺度參數β。

分別確定16Mn和60Si2Mn的試驗矩陣，如表7、表8所示。

表7 16Mn材料的威布爾載荷試驗參數矩陣Tab.7 Experiment Parameters Matrix of Weibull Load of 16Mn

4.4 累積疲勞損傷計算

采用載荷譜分級法計算累積疲勞損傷時，根據分級級差的不同共計算三種不同的分級方案：級差分別為3MPa、2MPa、1MPa。級差表示相鄰兩級載荷的幅值差，級差越小，代表分級數量越多，即越接近連續載荷。

同時以八級載荷法進行計算，并進行對比分析。

設隨機載荷作用的總循環次數N=105，分別采用級差為3MPa、2MPa、1MPa的分級法和高斯數值積分法，計算表5～表8中載荷作用下的累積疲勞損傷，同時與實踐中常用的八級載荷法進行對比，計算結果，如表9～表12所示。

表9 16Mn材料的正態載荷計算結果Tab.9 Calculation Results of Gauss Load of 16Mn

其中表5中參數矩陣的計算結果，如表9所示。

表6中參數矩陣的計算結果，如表10所示。

表10 60Si2Mn材料的正態載荷計算結果Tab.10 Calculation Results of Gauss Load of 60Si2Mn

表7中參數矩陣的計算結果，如表11所示。

表11 16Mn材料的威布爾載荷計算結果Tab.11 Calculation Results of Weibull Load of 16Mn

表8中參數矩陣的計算結果，如表12所示。

表12 60Si2Mn材料的威布爾載荷計算結果Tab.12 Calculation Results of Weibull Load of 60Si2Mn

表9～表12中，級差3、級差2、級差1分別代表級差為3MPa、2MPa、1MPa的分級方式，級差越小則分級數量越多。

4.5 結果分析

為了便于對數據進行分析，將表9繪制成柱狀圖，如圖1所示。

圖1 表9數據柱狀圖Fig.1 Histogram of Data of Tab.9

分析圖1可知，對于16Mn材料正態分布的所有試驗，隨著載荷譜分級的級差減小，累積疲勞損計算值隨之減小，并全部與高斯積分法的計算結果趨于一致，而采用八級分級法的計算結果都出現了相對明顯的偏差。

將表10中的累積疲勞損傷計算結果繪制成柱狀圖，如圖2所示。

圖2 表10數據柱狀圖Fig.2 Histogram of Data of Tab.10

分析圖2 同樣可知，對于60Si2Mn 材料正態分布的所有試驗，隨著載荷譜分級的級差減小，累積疲勞損傷計算值隨之減小，并與高斯積分法的計算結果趨于一致，采用八級分級法的計算結果也都出現了相對明顯的偏差。將表11中的累積疲勞損傷計算結果繪制成柱狀圖，如圖3所示。

圖3 表11數據柱狀圖Fig.3 Histogram of Data of Tab.11

分析圖3可知，對于16Mn材料威布爾分布的所有試驗，隨著載荷譜分級的級差減小，累積疲勞損傷計算值隨之減小，并與高斯積分法的計算結果趨于一致，采用八級分級法的計算結果同樣都出現了相對明顯的偏差。將表12中的累積疲勞損傷計算結果繪制成柱狀圖，如圖4所示。

圖4 表12數據柱狀圖Fig.4 Histogram of Data of Tab.12

分析圖4可知，對于60Si2Mn材料威布爾分布的所有試驗，隨著載荷譜分級的級差減小，累積疲勞損傷計算值也隨之減小，并與高斯積分法的計算結果趨于一致，同樣，采用八級分級法的計算結果都出現了相對明顯的偏差。

根據以上對疲勞損傷計算結果的計算分析可知，當載荷分級級差為1MPa時，也就是分級數量最多時，計算結果與高斯積分最接近。將高斯積分法與載荷分級級差為1MPa時的計算結果進行偏差分析，偏差計算情況，如表13所示。

表13 高斯積分法偏差率分析Tab.13 Deviation Rate Analysis of Gauss Integration Method

由表13可知，除了表7試驗矩陣的4號試驗偏差稍大，其它試驗方案的偏差都不超過5%。

對于表7的4號試驗，與其它試驗方案相比，高斯積分法與載荷譜分級法的偏差率稍大，達到28.5%。對其進行深入分析發現，該試驗方案的極限載荷為267MPa，與材料的疲勞極限相差僅6MPa，造成載荷分級數過少，從而導致計算結果的偏差率偏大。

綜上分析可知，對于所有的試驗方案，隨著載荷分級數量的增加，采用載荷譜分級法的累積疲勞損傷計算結果與高斯積分法趨于一致，由此驗證了高斯積分法計算累積疲勞損傷的正確性和有效性。以高斯積分法的計算結果為基準，計算八級載荷分級法的偏差率，如表14所示。

表14 八級載荷分級法偏差率Tab.14 Deviation Rate of 8-Level Load Method

由表14可以看出，八級載荷分級法的計算結果都出現了比較大的偏差率，而且偏差率不穩定，最小為55.7%，最大達到了627.8%。

實際上，不考慮概率密度函數、S-N曲線、累積疲勞判定定則等因素的影響，單從累積疲勞損傷的算法來說，高斯-勒讓德數值積分法本身就是一種具有很高精度的算法，而八級載荷分級法由于對載荷譜進行了簡化分級處理，因此其必然會帶來計算結果的偏差。

5 應用實例

下面為累積疲勞損傷的高斯數值積分算法在工程實踐中的實際應用案例。

以一款乘用汽車為研究對象，通過安裝車輪六分力傳感器、加速度傳感器、應變片傳感器，在湖北襄陽汽車試驗場，采集了承載系統的載荷譜。對采集得到的載荷數據采用雨流計數法進行處理，可得到包含載荷幅值、載荷均值，及其統計計數的二維載荷譜數據。

以左前螺旋彈簧為例，載荷幅值和載荷均值的統計直方圖，如圖5、圖6所示。

圖5 左前彈簧載荷幅值統計直方圖Fig.5 Statistical Histogram of Load Amplitude of LF Coil Spring

圖6 左前彈簧載荷均值統計直方圖Fig.6 Statistical Histogram of Load Mean Value of LF Coil Spring

然后進行圖形檢驗并采用最大似然法［15］進行參數估計，分別得到載荷幅值和載荷均值分布形式和分布參數。左前螺旋彈簧載荷的分布形式和分布參數，如表15所示。

表15 左前螺旋彈簧載荷的分布形式和分布參數Tab.15 Distribution Form and Parameters of Load of LF Coil Spring

表15中，載荷數據包含載荷幅值、載荷均值，需轉化為僅包含載荷幅值的當量載荷，方可用于疲勞損傷計算。采用擬合方法［25］可得到當量載荷S的分布形式和分布參數，如表16所示。

表16 左前螺旋彈簧當量載荷的分布形式和分布參數Tab.16 Distribution Form and Parameters of Equivalent Load of LF Coil Spring

因此當量載荷S的概率密度函數f（S）為：

彈簧材料為60Si2Mn，抗拉強度為1625MPa，疲勞極限為660MPa［12］，采用分段擬合法［17-18］擬合材料的S-N曲線，以1000次循環的疲勞強度S1000作為低周疲勞段和高周疲勞段的分界點。

對于鋼材料，S1000取0.72Su=1170 MPa，其中Su為材料的極限抗拉強度。

高周疲勞區疲勞壽命Nf與名義應力幅S的擬合關系式，如式（12）所示。

低周疲勞區疲勞壽命Nf與名義應力幅S的擬合關系式，如式（13）所示。

根據Miner定則可得累計疲勞損傷D的計算方法為：

設總循環次數N=106，采用高斯-勒讓德積分公式分別計算D1、D2的值，以D1為例，積分點Si，如表17所示。高斯求積計算過程，如表18所示。

表17 D1積分點Tab.17 Integration Points of D1

表18 高斯求積過程Tab.18 Gauss Integration Process

根據表18的結果計算D1，可得：

同樣可計算D2得：D2=4.43738E-08

根據D1和D2計算累計疲勞損傷D，得：

6 結論

（1）提出了累積疲勞損傷的高斯積分算法，研究結果表明，采用高斯-勒讓德公式進行數值積分的累積疲勞損傷算法是正確和有效的。

（2）高斯積分算法適用于連續或準連續隨機載荷作用下，且包含當量載荷概率密度函數在內的被積函數不可積或難以求積條件下的累積疲勞損傷的計算。

（3）對于連續或準連續載荷作用下累積疲勞損傷的計算，采用傳統的八級載荷分級法會導致較大的計算偏差率，且偏差率不穩定。

（4）在連續或準連續載荷譜作用下，相對于傳統的八級載荷分級法，高斯數值積分法可以極大地提高累積疲勞損傷的計算精度。