模糊自整定PID的液壓馬達驅動機床主軸速度控制研究

趙鵬展，郭鵬遠，黃貴川

（1.重慶城市職業(yè)學院信息與智能工程系，重慶 402160；2.重慶文理學院智能制造工程學院，重慶 402160）

1 引言

液壓馬達驅動系統(tǒng)具有結構緊湊、系統(tǒng)壽命長、響應速度快、扭矩輸出大、自潤滑等特點，近年來對液壓馬達驅動系統(tǒng)控制的研究引起了廣泛的關注。液壓馬達的無級調速主要有兩種方法：一種是改變油泵和液壓馬達的工作模式或者通過變頻器改變?nèi)嚯妱訖C的速度來改變油泵的速度；另一種是通過比例閥或伺服閥來改變油路的流量和方向［1］。這里研究第二種調速方法。由于液壓馬達驅動系統(tǒng)具有參數(shù)時變和高度非線性的特點，幾乎很少有用液壓馬達驅動的機床主軸系統(tǒng)。因此，建立液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)數(shù)學模型，研究液壓馬達驅動機床主軸速度控制具有重要的意義。文獻［2-3］通過AMESim 和MATLAB 聯(lián)合仿真技術，創(chuàng)建液壓馬達轉速控制系統(tǒng)數(shù)學模型，改進PID控制器，并采用神經(jīng)元網(wǎng)絡算法優(yōu)化PID參數(shù)，最后通過仿真驗證所設計系統(tǒng)的有效性。文獻［4-5］介紹閥控液壓馬達工作原理，建立閥控液壓馬達數(shù)學模型，對系統(tǒng)進行時域和頻域分析，設計了PID、極點配置法以及含有狀態(tài)觀測器的極點配置法三種控制系統(tǒng)，最后采用仿真對比證明含有狀態(tài)觀測器的極點配置法的合理性。文獻［6-7］設計了一種基于高速開關閥液壓馬達調速系統(tǒng)，將調速系統(tǒng)等效為電子系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的影響因素，并通過MATLAB仿真驗證了該調速系統(tǒng)的可行性。液壓馬達驅動系統(tǒng)因流體彈性、油溫引起的粘度變化、管道中的壓力損失、油液泄漏等因素而具有大量的非線性，傳統(tǒng)PID控制器的比例、積分和微分參數(shù)集在系統(tǒng)運行期間固定不變，難以適應不同的工況。對此，改進了PID控制器對液壓馬達驅動機床主軸進行控制。構造了液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)模型簡圖，給出了液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)數(shù)學模型。基于模糊控制器和PID控制器，對自適應調整比例積分和微分增益，開發(fā)了模糊自整定PID控制器。

2 液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)數(shù)學建模

液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)簡化模型，如圖1所示。油路中工作壓力和防溢功能由溢流閥和安全閥控制。液壓馬達的速度和方向由液壓油控制，該液壓油由比例閥控制。液壓馬達通過皮帶將旋轉運動傳遞到機床主軸。速度傳感器通過同步帶接收機床主軸的速度信號。

圖1 液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Simplified Model of Hydraulic Motor-Driven Machine Tool Spindle System

假設液壓馬達旋轉軸與機床主軸間的傳動帶的彈性變形以及在液壓馬達轉子上的摩擦和慣性矩都是線性量，同時從機床主軸到速度傳感器的轉速傳遞成比例關系。根據(jù)圖1的簡化模型和系統(tǒng)動力學的假設，機床主軸上的力矩為：

式中：T1、T2—皮帶上的張力；r1—動輪半徑；J1—負載慣量；θ1—主軸轉角；f1—主軸摩擦系數(shù)；ML—主軸負載。

皮帶張力為［8］：

式中：k—三角帶的剛度；r0—驅動輪半徑；θ0—液壓馬達轉子旋轉角度。

速度傳感器的反饋信號為：

式中：Kn—速度傳感器增益；nt—速度傳感器轉速；nt=n1；n1—機床主軸轉速。

液壓馬達的轉子力矩為：

液壓馬達的輸入輸出流量為：

式中：λ—電機泄漏系數(shù)［9］。系數(shù)c為：

式中：V1+V2—管道中的總流量；B—液壓體積模量。

比例閥中流量為：

式中：KV—閥流量增益；I—比例閥電流。

u0為控制電壓，根據(jù)式（1）～式（7），可得：

通過方程組（8）進一步可以得到：

根據(jù)方程（9）構建的描述輸出信號n1與輸入信號u0之間的關系的系統(tǒng)框圖，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)框圖Fig.2 System Block Diagram

3 控制系統(tǒng)

液壓馬達驅動機床主軸速度控制的最終目的是確保機床主軸轉速n1盡可能與期望轉速nref一致。液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)在運行過程中內(nèi)部參數(shù)波動變化，且具有非線性，傳統(tǒng)PID控制算法參數(shù)集通常在系統(tǒng)運行期間固定不變，對液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)速度控制存在一定的局限性。因此，這里通過使用模糊檢測器來調整傳統(tǒng)PID控制器的KP、KI以及KD參數(shù)，開發(fā)了具有更強魯棒性的模糊自整定PID控制器，如圖3所示。

圖3 模糊自整定PID控制器結構Fig.3 Structure of Fuzzy Self-Tuning PID Controller

線性PID在采樣時間為Ts的任意給定時刻n的控制器信號可以表示為［10］：

式中：KP—比例常數(shù)；KI—積分常數(shù)；KD—微分常數(shù)；e—實際輸出與期望值間的誤差；Δe—誤差的導數(shù)，即：

KP、KI和KD的最佳值通過Mamdani模糊推理法確定［11］。PID控制器的參數(shù)范圍分別為（KPmin，KPmax），（KImin，KImax），（KDmin，KDmax），并且是通過液壓馬達驅動系統(tǒng)的傳統(tǒng)PID控制器實驗確認。假設KI=0，KD=0，然后逐漸增加KP值，直到滿足速度間隔的設置極限。然后，選擇KP的平均值并調整KD。使用相同的方法，對KP和KD進行實驗，以使其在可接受的范圍內(nèi)。然后選擇KP，KD的平均值并繼續(xù)調整KI。模糊自整定PID控制器參數(shù)可以在［0，1］的范圍內(nèi)調整，即：

根據(jù)方程（12），得到：

設置輸入變量e和Δe的模糊語言變量為：“NB”“N”“Z”“P”“PB”。根據(jù)對PID集的反復測試，這些值將保留。每個測試將具有不同的e和Δe值范圍，選擇最常出現(xiàn)的值范圍。根據(jù)液壓馬達驅動系統(tǒng)的特性，e和Δe的輸入范圍分別為（-50～50）以及（-600～600）［12］。設置輸出變量模糊語言變量為：“S”“MS”“M”“MB”“B”，則模糊推理系統(tǒng)規(guī)則，如表1所示。

表1 模糊推理系統(tǒng)規(guī)則表Tab.1 Rule Table of Fuzzy Inference System

基于表1的模糊規(guī)則，模糊控制器實時對PID 的KP、KI以及KD參數(shù)進行修正，液壓馬達驅動機床主軸在模糊控制器的作用下，對傳統(tǒng)PID控制器的不足進行彌補，動態(tài)和靜態(tài)性能得到有效的保證。

4 仿真模擬

結合某實際液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)，基于MATLAB 軟件對其額定工況進行仿真，對比分析傳統(tǒng)PID控制和模糊PID控制的效果。仿真參數(shù)如下：r0=0.1m；r1=0.1m；J0=4.2×10-3Nms2∕rad；J1=51×10-3Nms2∕rad；f0=15.5×10-4Nms∕rad；f1=0.1Nms∕rad；k=20N∕m；Kn=0.02V∕rpm；Dm=10×10-6m3∕rad；λ=1.2×10-11m5∕Ns；B=14×108N∕m2；ML=500Nm。測試得到的KPmin=0.02；KPmax=0.17；KImin=0；KImax=0.01；KDmin=0；KDmax=0.05；傳統(tǒng)PID控制器比例、積分和微分增益為KP=0.05，KI=0.01，KD=0.02。

當系統(tǒng)期望轉速響應曲線為階躍響應時，傳統(tǒng)PID控制器與模糊自整定PID控制器的響應曲線，如圖4所示。從圖4中可知，傳統(tǒng)PID控制下機床主軸超調量20%，經(jīng)3次振蕩達到穩(wěn)態(tài)，調整時間約3s；而模糊自整定PID控制的主軸轉速能快速跟蹤響應曲線，通過一次振蕩就能穩(wěn)定，超調量以及調整時間減小了10%左右。

圖4 不同控制器控制下機床主軸轉速的階躍響應Fig.4 Step Response of Machine Tool Spindle Speed under Different Controllers

為了驗證不同響應曲線的跟蹤效果，期望響應為正弦響應（幅值600，頻率0.5Hz）時，兩種不同控制器的響應曲線，如圖5所示。分析圖5可知，傳統(tǒng)PID控制的響應曲線與期望曲線背離較多，即：超調量和相位延遲變大；而模糊自整定PID控制器控制下的機床主軸轉速響應曲線基本與期望曲線一致，系統(tǒng)跟蹤性能提高了10%左右。

圖5 不同控制器控制下機床主軸轉速的正弦響應Fig.5 Sinusoidal Response of Machine Tool Spindle Speed Under Different Controllers

機床主軸階躍響應和正弦響應的控制系統(tǒng)功率，如圖6、圖7所示。采用傳統(tǒng)PID控制器控制液壓馬達驅動的主軸控制系統(tǒng)后，控制系統(tǒng)的輸入功率增大。而液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)采用模糊自整定PID控制器控制后，平均功率減少20%左右。

圖6 機床主軸階躍響應的控制系統(tǒng)功率Fig.6 Control System Power of Step Response of Machine Tool Spindle

圖7 機床主軸正弦響應的控制系統(tǒng)功率Fig.7 Control System Power of Sinusoidal Response of Machine Tool Spindle

進一步驗證模糊自整定PID控制器的抗干擾性能，機床主軸運轉過程中，在t=15s以及t=25s處對系統(tǒng)施加兩個隨機干擾，仿真結果，如圖8所示。從圖8中可知，在傳統(tǒng)PID控制器控制下的隨機干擾產(chǎn)生的轉速波動幅度比模糊自整定PID控制器控制下轉速波動幅度大，同時調整時間更長。采用模糊自整定PID控制器后，轉速波動幅度和調整時間分別降低了10%和15%左右，抗干擾能力更強。

圖8 隨機干擾下的主軸轉速響應Fig.8 Spindle Speed Response under Random Disturbance

5 結論

這里構造了液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)模型簡圖，推導出液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)數(shù)學模型。將模糊控制器應用于PID控制器，對PID增益實時修正，將新型控制器應用在液壓馬達驅動的機床主軸運動控制中。在MATLAB中對液壓馬達驅動機床主軸階躍、正弦響應以及抗干擾性進行仿真驗證。模糊自整定PID控制器比傳統(tǒng)PID控制器具有明顯的先進性。從仿真結果來看，采用模糊自整定PID控制器后，液壓馬達驅動機床主軸系統(tǒng)的超調量以及調整時間減小了10%左右，系統(tǒng)跟蹤性能提高了10%左右，平均功率減少20%左右，抗干擾能力也更強。