RV減速器的多目標層次優化設計

丁國龍，葉夢傳，吳 熙，余運清

（1.湖北工業大學機械工程學院，湖北 武漢 430068；2.武漢市精華減速機制造有限公司，湖北 武漢 430068）

1 引言

RV 減速器具有傳動比范圍大，運轉平穩、傳動效率高等優點，廣泛應用于工業機器人領域。在進行RV減速器的設計時，不僅要分析其應用場景、傳動形式、失效方式，還要參照設計標準，使RV減速器的性能在符合基本設計要求的前提下，具備最佳的綜合性能。因此，采用多目標優化設計RV減速器具有很好的工程意義。

國內外許多學者對RV減速器優化設計方法進行了研究，文獻［1-3］分別選擇齒輪質量和擺線輪接觸應力作為優化目標，進行優化設計研究，提高了RV減速器的性能。文獻［4-7］以體積和傳動效率為目標函數，通過線性平均將多目標優化轉化為單目標優化問題，借助Matlab遺傳算法工具箱進行優化，使RV減速器傳動效率和結構的緊湊性提高。由上可知，RV減速器的優化設計既可以單目標優化也可以多目標優化。單目標優化能有效地改善RV減速器的某一項性能指標，但有可能會降低其他相關性能；多目標優化能夠提高RV減速器的綜合性能，卻很難為每個優化目標分配合理的權重。

層次分析法是一種系統科學的評價方法，被廣泛應用于產品選型、安全質量評估和城市空氣質量評價等方面。文獻［8-10］運用層次分析法各項影響指標分配相應的權重，提出了一種可行有效的決策方案；文獻［11］利用模糊層次分析法構造零件加工難易度系數，基于幾何平均法建立零件設計參數的權重表達式用于計算RV減速器的回差。層次分析法能夠將定性影響因素轉化為定量影響因素，從而做出科學的最優決策。

這里提出基于層次分析法的RV 減速器多目標優化設計方法，以體積小、傳動效率高和擺線輪接觸應力低為優化目標，采用層次分析法對優化目標進行評估，構造系統評價模型，采用方根法計算各優化目標的權重，將多目標優化問題加權后轉化為單目標優化問題，并采用遺傳算法進行優化計算，從而提高RV減速器的綜合性能。

2 RV減速器結構分析

由一級漸開線齒輪傳動和一級擺線針輪傳動組成的RV 減速器的傳動簡圖，如圖1所示。輸入軸1作為輸入端，通過中心輪2和行星輪3組成的漸開線齒輪傳動將動力傳遞到曲柄軸5，帶動擺線輪6偏心轉動，擺線輪與安裝在針齒殼8內的針齒銷嚙合，將動力傳遞給輸出座7，最終通過輸出軸9輸出。RV減速器應用于工業機器人關節部位，受安裝空間限制，要求軸向尺寸小，體積小，結構緊湊；RV減速器采用過定位結構，傳動精度和效率要求高，接觸應力和變形要小，承載能力強。RV減速器結構簡圖，如圖2所示。

圖1 RV減速器傳動簡圖Fig.1 Transmission Diagram of RV Reducer

圖2 RV減速器結構簡圖Fig.2 Structural Diagram of RV Reducer

為了使RV減速器綜合具有結構緊湊、傳動效率高和承載能力強的性能，以體積、傳動效率和擺線輪與針齒嚙合的最大接觸應力作為優化目標。

2.1 體積分析

RV減速器的體積最小化能夠降低成本，使結構更緊湊。RV減速器的體積可以簡化為中心輪、行星輪、針齒殼、針齒和擺線輪的體積之和，簡化后的體積計算公式可以表示為：

式中：Δ—針齒殼的壁厚，Δ=2mm；δ—兩擺線輪之間的間隔，δ=2.5mm；i—RV減速器的傳動比，i=101。

2.2 傳動效率計算

傳動效率的高低是衡量減速器工作能力的重要指標，決定著減速器的品質優劣，RV減速器的傳動效率主要由以下四個部分構成：擺線針輪傳動的嚙合效率、齒輪傳動的嚙合效率和軸承的傳動效率：

則，RV減速器的整體傳動效率可表示：

2.3 承載能力計算

承載能力是RV減速器的重要性能之一，擺線輪的最大接觸應力是衡量RV減速器承載能力的主要指標。根據赫茲公式，標準擺線輪接觸應力為：

式中：Fi—針齒與擺線輪在某一位置嚙合時的作用力；Ec—當量彈性模量，EC=2E1E2∕（E1+E2）；ρei—當量曲率半徑，ρei=|ρirrp∕（ρi±rrp）|。

在計算擺線輪最大接觸應力時，一般不能直接得到最大接觸力的位置，通常采用迭代法計算。因各輪齒在不同點嚙合，應取Fi∕ρei中的最大值，為了簡化計算，選取轉角φ=arccos（K1）處為等效最大接觸應力點并引入等效系數Yi，一般Yi取1.25。因此，擺線輪最大接觸應力可以等效為：

3 RV減速器多目標優化的數學模型

3.1 目標函數

由于體積、傳動效率和接觸應力的計算結果不在同一數量級，從而引入綜合性能提升率f，假設RV減速器的體積、傳動效率、擺線輪的接觸應力分別為V0、η0、σ0，則綜合性能提升率可以表示為：

式中：λ1—體積權重值；λ2—傳動效率權重值；λ3—承載能力權重值。

綜合優化目標為：

3.2 設計變量

由式（1）～式（6）可知，影響上述目標函數的獨立參數有：中心輪模數m，中心輪齒寬b，中心輪齒數Zɑ，針齒中心圓直徑Dp，短幅系數K1，擺線輪厚度B，針輪齒數Zp，針齒銷直徑Dɑp。因此，設計變量可表示為：

3.3 約束條件

本節以參數取值標準、強度校核及結構限制為出發點，通過推導公式和查閱相關標準，獲得了設計變量的約束條件，縮小了遺傳算法運行過程中的搜索空間，有助于解的快速收斂。

（1）齒輪模數應大于1：

（2）為了滿足擺線輪不產生頂切、尖點的要求，針輪半徑rrp應小于擺線輪的最小曲率半徑|ρ0|min：

（3）短幅系數K1的取值主要受擺線輪的齒數的影響，薦用值，如表1所示。

表1 短幅系數K1薦用值Tab.1 Short Amplitude Coefficient K1

Kd1和Kd2為短幅系數薦用值的上下界。

（4）根據齒寬與模數之間的關系，約束條件為：

（5）為了滿足針齒在針齒殼中均勻分布且不發生干涉現象，針齒直徑的大小應滿足以下約束條件：

（6）擺線輪的厚度通常取（0.05Dp～0.1Dp），約束條件為：

（7）為了確保針齒之間合理的間距和針齒與針齒殼的強度，針徑系數K2=（1.5～2.0）為最佳。

（8）對針齒銷的彎曲強度進行校核，得到約束條件：

當Dp<390mm時，采用兩支點；

當Dp≥390mm時，采用三支點；

式中：σ［FP］—針齒銷的許用彎曲應力；L—針齒銷的跨度，兩支點時，L≈3.5B；三支點時，L≈4B；Fmax—作用在針齒上的最大壓力，由式（5）計算得出。

（9）針齒中心圓直徑Dp的取值范圍，如表2所示。

表2 各種機型號對應的針齒中心圓直徑范圍Tab.2 Diameter Range of Needle Tooth Center Circle

則約束條件為：

式中：Dp1、Dp2—針齒中心圓的取值范圍的上下界。

綜上所述，RV減速器的多目標優化設計的數學模型可以表示為：

4 層次分析法的計算權重

在面對多目標優化問題時，決策者很難同時確定各個優化目標所占的權重，且依賴于決策者的經驗確定的權重值往往具有一定的局限性。因此，系統地引入層次分析法（AHP）來確定各個優化目標的權重值，將多目標優化問題轉化為可以求解的單目標優化問題。

假設多優化目標Y可以表示為：

根據層次分析法得到的各個優化目標的權重值W可以表示為：

轉化后的綜合優化目標Y*可以表示為：

4.1 層次分析法構造系統模型

層次分析法能將復雜的決策問題構造成整體系統進行決策分析，將優化的總目標分解為優化準則層和優化方案層，其中優化準則層可分為若干個優化指標，通過計算各優化指標的權重將優化指標量化，從而解決多方案優化決策的問題［12］。將RV減速器的體積、傳動效率和承載能力作為決策指標，建立包含目標層、準則層及方案層的分層結構模型，如圖3所示。

圖3 優化方案層次結構模型Fig.3 Hierarchical Structure Model of Optimization Scheme

4.2 建立成對比較判斷矩陣

建立成對比較判斷矩陣。由專家對優化準則層影響下一層次優化指標的重要程度進行成對比較，建立成對比較判斷矩陣。

設有n個評價指標，則建立成對比較判斷矩陣為A=（ɑij）n×n，由專家定性給出兩評價指標的相對重要程度，再依據成對比較矩陣標度表［13］定量確定A中的元素ɑij的值，如表3所示。

表3 成對比較矩陣標度表Tab.3 Scale Table of Paired Comparison Matrix

4.3 方根法求權重及一致性檢驗

用方根法計算權重值Wi，并進行一致性檢驗，計算過程：

式中：λmax—成對比較判斷矩陣的最大特征值。

根據查找對應的隨機一致性指標Ri，如表4所示。

表4 隨機一致性指標RI取值表Tab.4 Random Consistency Index RI

在進行一致性判定時，如果CR<0.1，判斷矩陣具有一定的一致性，求解的權重值具有參考意義；否則，認為一致性檢驗結果不具有參考意義，需要修正對比較判斷矩陣。

5 基于AHP-GA算法的優化設計實例

為說明優化設計過程，以550E型號的RV減速器為例，對RV減速器進行優化設計，AHP-GA算法程序設計流程圖，如圖4所示。

圖4 AHP-GA優化算法流程圖Fig.4 Flow Chart of AHP-GA Optimization Algorithm

（1）在Matlab 中編寫層次分析法的程序，本實例中，考慮到RV減速器的使用工況，多名RV減速器設計制造工程師專家根據所掌握的專業知識、經驗對這些指標定性判斷相對重要程度，構造成對判斷矩陣，計算指標權重，如表5所示。

表5 成對判斷矩陣及權重Tab.5 Paired Judgment Matrix and Weight

為了避免認為主觀因素的影響，將五位專家計算的指標權重值求和取平均值。最終結果認為傳動效率與體積相比，稍微重要，與承載能力相比，同等重要。求解出體積、傳動效率和承載能力的權值，如表6所示。

表6 各指標權重表Tab.6 Weight of Index

（2）由于遺傳優化并行性很好，可以對搜索空間中的多個解進行評估，減少局部最優解的風險，所以采用Matlab編寫遺傳算法程序對RV減速器進行優化設計。編寫以體積小、傳動效率高和承載能力強為綜合優化目標函數的M文件，以及線性約束、非線性約束的M文件，主文件中采用二進制的編碼方式，設定種群的規模300，迭代次數100，變異率0.01，交叉率0.6。由于每次使用遺傳算法迭代優化的解不一定是全局最優解，應進行多次反復求解，本例中反復求解，得到了50組優化解，優化結果，如圖5所示。

圖5 優化結果Fig.5 Optimization Results

最終將50組結果進行對比，適應度最高的即為最優解，最優解為8.04，優化后的設計變量，如表7所示。

表7 RV減速器優化結果Tab.7 Optimization Results of RV Reducer

從表7的優化結果可以看出：

（1）盡管針齒中心圓直徑增加了19mm，增加了RV減速器的徑向距離，但擺線輪的厚度減小了4mm，中心輪齒厚減小了12mm，減小了軸向距離，從而使體積減小了（0.71×106）mm3。

（2）傳動效率由原來的79.9%，增加到82.7%，傳動效率增加了2.8%。由于傳動比不變，中心輪的齒數增加11，從動輪的齒數也增加，漸開線傳動的過程中，同時嚙合的齒數更多，傳動效率提高。

（3）短幅系數由0.8增加到0.85，擺線輪與針齒銷接觸的綜合曲率半徑變大，使得擺線輪承受的最大接觸應力降低了80.9MPa，承載能力提高了9.2%。

（4）根據加權計算后，綜合性能提高了8.0%。

在八個設計變量中，行星輪的模數和中心輪齒厚與綜合性能提升率呈負相關；中心輪齒數、針齒中心圓齒數、針齒銷直徑、針齒齒數和短幅系數與綜合性能提升率呈正相關。設計變量與性能提升率的關系，如圖6所示。

圖6 設計變量與性能提升率關系圖Fig.6 Relationship Between Design Variables and Performance Improvement Rate

其中，擺線輪的厚度與綜合性能提升率的關系，如圖6所示。隨著擺線輪的厚度增加，一方面會增大針齒銷與擺線輪的接觸面積，提高擺線輪的承載能力，另一方面擺線輪的軸向距離增大，會使RV減速器的體積增大。經過加權折算后，綜合性能提升率隨著擺線輪厚度的增加先提高后降低。

6 結論

基于層次分析法對RV-550E減速機進行多目標遺傳優化設計，主要結論如下：（1）體積更小，體積相較優化前降低了14.0%，RV的結構更加緊湊，降低了成本。（2）傳動效率更高，傳動效率提高了2.8%，RV減速器的傳動效率更高。（3）承載能力更強，優化后的擺線輪的接觸應力降低了80.9MPa，承載能力提高了9.2%。（4）綜合性能提高，總體來看，綜合優化適應度提高了8.0%。減速機的強度、結構尺寸和傳動要求均滿足設計要求，驗證了優化方法的合理性和正確性，在實際生產中，能夠提供理論依據和技術支撐。