結(jié)合GUM和MCM的R-Test在機標定不確定度評定方法

周永兵，賴旭偉，江 磊，丁國富

（西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031）

1 引言

由于五軸數(shù)控機床轉(zhuǎn)動軸幾何誤差的測量方法尚未形成統(tǒng)一的ISO測量標準，其測量方法和測量儀器是當前五軸數(shù)控機床誤差測量的研究熱點，主要集中于采用球桿儀［1］、激光干涉儀［2］或激光跟蹤儀進行誤差間接辨識。近年來，出現(xiàn)了一種新型的RTest轉(zhuǎn)動軸幾何誤差專用測量儀，由于不需要多次安裝，因此具有更高測量精度和效率［3］。

R-Test的典型結(jié)構(gòu)包括一個測量球和三個均布的位移傳感器［4］，對其測量結(jié)果準確性評定的常用指標為測量不確定度（簡稱UM）［5］。現(xiàn)有R-Test的研究大多集中在測量方法或儀器優(yōu)化，文獻［6］提出一種R-Test自動標定方法，將誤差運動參數(shù)化進而分離出機床轉(zhuǎn)動軸相應的“誤差圖”，文獻［7-11］提出基于R-Test的轉(zhuǎn)動軸運動誤差、動態(tài)誤差的測量方法。文獻［12-14］提出了基于RTest的轉(zhuǎn)動軸熱誤差測量方法。文獻［15］提出基于最大測量空間和測量靈敏度的R-Test結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。文獻［16］推導了傳感器測量值與測量球三向位移之間的轉(zhuǎn)換矩陣，給出R-Test安裝控制誤差項建議。文獻［17］采用蒙特卡洛方法（簡稱MCM），利用完整的機床誤差模型對相關(guān)參數(shù)的不確定度進行估計，并預測機床轉(zhuǎn)動軸幾何誤差的不確定度值。文獻［18］分析了機床定位誤差和測量球圓度誤差對R-Test測量結(jié)果的精度影響。文獻［19］以四個不同測量原理的激光位移傳感器的不確定度評定結(jié)果為選擇傳感器的依據(jù)從而開發(fā)出非接觸式R-Test。HMS、FIDIA和IBS［20］等公司開發(fā)出了相關(guān)的商用產(chǎn)品，但其對標定過程本身的精度研究較少公開。

綜合現(xiàn)有的文獻，當前研究主要集中于R-Test誤差辨識使用或結(jié)構(gòu)優(yōu)化，而較少涉及其儀器本身標定方法影響因素所導致的測量不確定度，而標定不確定度是決定其測量精度的關(guān)鍵指標且現(xiàn)有通用的評定方法不能準確地對標定不確定度進行評定。基于R-Test測量原理，采用變參數(shù)方法計算得到各項影響因素的靈敏度系數(shù)值，然后根據(jù)測量不確定度導則（簡稱GUM）［21］和MCM方法［22］，針對接觸式R-Test在機標定方法［23］，提出一種結(jié)合GUM和MCM的標定不確定度評定方法。

2 理想在機標定模型及標定方法

接觸式R-Test的結(jié)構(gòu)模型主要包括一個測量球和三個均布的球形觸頭接觸式位移傳感器。測量球通過刀柄與機床主軸相連；傳感器的球形觸頭（球頭）與測量球球面接觸（相切），底部為測量基準面，與測量儀底座固連，如圖1所示。設三個傳感器球形觸頭球心點和測量基準面中心分別為點Ci_0、Ci_1（i=1，2，3），球頭半徑為r。定義點Ci_1構(gòu)成基準平面M。設測量球的球心為點P，半徑為R。

圖1 球頭接觸式R-Test的結(jié)構(gòu)模型示意圖Fig.1 Schematic Diagram of the Structural Model of Contact R-Test

理想條件下，定義傳感器的軸線相互垂直且相交于點O，點O在平面M上的垂點為點O＇，點Ci_1與點O＇距離均為λ，傳感器軸線與基準平面M的夾角均為α。定義測量坐標系CSYSM，其坐標原點為點O，坐標軸X、Y、Z分別平行于待測機床的X、Y、Z進給軸。點Ci_0與點Ci_1的距離li計算出測量坐標系下的球心坐標，再通過一定的辨識算法獲得五軸數(shù)控機床轉(zhuǎn)動軸的多項誤差。不失一般性，設XY坐標平面與基準平面M平行，點C1_0、C1_1均位于XZ坐標平面。在測量坐標系中，記點Ci_1、Ci_0坐標分別表達為Ci_1（xi_1，yi_1，zi_1）、Ci_0（xi_0，yi_0，zi_0）。則理想情況下，球心點P在測量坐標系的坐標P（x，y，z）可通過以下方程組聯(lián)立求解得到：

實現(xiàn)式（1）的求解，必須已知測量坐標系以及坐標系下的傳感器位置。采用在機標定的方式建立上述關(guān)系：

（1）測量坐標系標定

理論上測量坐標系原點位于三個傳感器的軸線交點處，然而實際應用中可能傳感器軸線并不相交。實際上，測量坐標系僅起著接觸式R-test的正負量程是否對稱、安裝基準設定是否方便等作用，對測量精度并無直接關(guān)系。因此，為了簡化標定過程，實際應用中只需要將測量球球心大致移動到傳感器軸線交點處即可設定為測量坐標系原點。坐標軸方向與待測機床坐標軸方向保持一致。

（2）傳感器位置標定

以測量坐標系為基準，通過機床進給軸的移動，使測量球球心位于傳感器測量范圍內(nèi)的6個任意標定點Pj（點Pj在測量坐標系中的坐標可由機床進給軸坐標獲得）。將標定點坐標代入方程組（1），可以求解出傳感器位置Ci_1在實際測量坐標系下的準確坐標。然而，由于實際測量時傳感器讀數(shù)存在偏差，可采用免疫算法進行傳感器位置坐標的數(shù)值計算。設Ci_1的標定方程組為公式（2）。當函數(shù)G趨近于0時，可得點Ci_1實際坐標的數(shù)值解。

3 在機標定的不確定度評定

3.1 不確定度評定計算流程

考慮到該標定方法中非線性數(shù)學模型包含多輸入量和多個輸出量，且需要聯(lián)立多個方程利用尋優(yōu)算法才能得到準確解，此時獨立采用GUM方法或者MCM方法都不能達理想評定精度，因此需要在常規(guī)方法的基礎上進行結(jié)合與改進：

（1）首先分析標定方法影響因素并計算其標準不確定度；

（2）然后采用變參數(shù)方法計算影響因素的靈敏度系數(shù)；

（3）再利用GUM對傳感器位置標定坐標的不確定度分量進行計算；

（4）最后基于MCM實現(xiàn)最終不確定度進行評定。評定方法的流程，如圖2所示。

圖2 接觸式R-test標定不確定度評定流程圖Fig.2 Flow Chart of Calibration Uncertainty Evaluation for Contact R-Test

3.2 分析影響因素并計算其標準不確定度

分析影響因素是進行不確定度評定的首要工作。根據(jù)標定數(shù)學模型，標定影響因素要有傳感器讀示值誤差、傳感器球形觸頭圓度誤差、測量球圓度誤差和標定點坐標誤差，由于傳感器、測量球和機床都有相關(guān)的設備出廠檢測報告中的數(shù)據(jù)可直接使用，因此均可按照測量不確定度表示導則的B類不確定度評定方法（即基于概率均勻分布假設的評定方法）進行不確定度計算。

3.2.1 傳感器示值誤差引入的標準不確定度分量

定義單個傳感器示值誤差為由傳感器線性度Δcs1、重復度Δcs2、分辨力Δcs3導致的誤差，其引入的標準不確定度ucs可計算為：

式中：ucs1—單個傳感器線性度引入的標準不確定度分量；ucs2—單個傳感器重復度引入的標準不確定度分量；ucs3—分辨力引入的標準不確定度分量，且有：

3.2.2 傳感器球形觸頭圓度誤差引入的標準不確定度分量

定義傳感器探測球面圓度誤差為Δr，其引入的標準不確定分量ucr為：

3.2.3 測量球圓度誤差引入的標準不確定度分量

定義測量球圓度誤差ΔR，其引入的標準不確定分量ucb為：

3.2.4 標定點坐標誤差引入的標準不確定度分量

通過數(shù)控機床的進給軸移動到標定點X、Y、Z坐標的過程中，定義由于機床進給軸定位誤差而導致點Pj的坐標誤差為Δxyz，其引入的標準不確定度分量ucp為：

3.3 采用變參數(shù)方法計算影響因素的靈敏度系數(shù)

靈敏度系數(shù)描述的是評定模型輸出量隨著輸入量的變化程度，對于一般線性模型，通常采用求偏導的方法求解單一輸入量的靈敏度系數(shù)，但是對于復雜非線性模型該種求解方式往往比較復雜且求解效率不理想。針對復雜非線性的接觸式R-Test標定模型，為提高評定效率，可評定模型的理解就縮小為基于測得的靈敏度系數(shù)進行的經(jīng)驗性的一階泰勒級數(shù)展開式［24］，因此采用變參數(shù)方法計算各輸入量（傳感器示值、傳感器球形觸頭圓度誤差、測量球半徑圓度誤差和標定點坐標誤差）的靈敏度系數(shù)，依次分別變化某一個輸入量，其余輸入量保持不變，觀察最后輸出量的變化情況。其計算步驟如下（以改變傳感器1示值l1為例）：

（1）定義l1的合理變化區(qū)間為±δ，變化步長為e，步長個數(shù)為n；

（2）分別計算每個步長所對應的示值l1_m（m=1，2，…，n）；

（3）保證其余輸入量不變，分別根據(jù)模型計算l1_m對應的點C1_1的坐標變化量（Δx1_1_m，Δy1_1_m，Δz1_1_m）；

（4）分別計算出點C1_1的坐標變化量均值，即為傳感器1的靈敏度系數(shù)cl_1。

（5）對其余輸入量也同上述（1）～（4）的原理計算得到各自對應的靈敏度系數(shù)。

3.4 利用GUM對傳感器位置坐標的不確定度分量計算

根據(jù)標定原理，傳感器位置標定是實現(xiàn)接觸式R-test在機標定的關(guān)鍵一步，只有先將三個傳感器位置確定之后才能利用數(shù)學模型由傳感器示數(shù)計算得到測量球球心坐標值。由于傳感器坐標值的準確與否對最終的標定精度影響極大，因此要對標定方法最終不確定度進行評定則必須要先計算得到傳感器位置不確定度。由于前文所定義的4項影響因素互不相關(guān)，則傳感器位置標定時的合成標準不確定度：

影響因素的確定度的可靠程度用自由度vk衡量。根據(jù)文獻［25］，對于由設備出廠檢測報告或者校驗證書得到的誤差源資料信息，其可信度較高，不可靠度取10%，各影響因素的自由度vk由B類評定均設定為50。根據(jù)文獻［24］，由韋爾奇-薩塔斯維特公式可得到傳感器位置計算的有效自由度veff_i為：

設置信區(qū)間為p_i，按veff_i查t分布表得傳感器位置計算的包含因子kp_i，根據(jù)文獻［24］，得傳感器位置的擴展不確定度為：

3.5 基于MCM的最終不確定度評定

利用GUM方法進行不確定度評定后往往不能獲得評定模型輸出量的概率分布，而采用MCM法能很好的解決這個問題，其能夠根據(jù)輸入量的概率密度函數(shù)和模型得到出輸出值的估計值和標準不確定度。MCM法是一種通過利用概率分布進行隨機抽樣而進行分布傳播的數(shù)值方法［22］，適合用于對非線性模型進行不確定度評定。針對接觸式R-Test標定模型，可由式（12）得到其球心坐標的估計值進而可以得到概率密度函數(shù)PDF［26］。

根據(jù)上述標定過程中已經(jīng)得到的傳感器位置坐標標準不確定度，假設傳感器位置坐標均滿足正態(tài)分布N（Ci_1，Ui），傳感器球形觸頭半徑和測量球半徑也分別滿足正態(tài)分布N（r，ucr）和N（R，ucb），結(jié)合數(shù)學模型（1）對各個輸入量的概率密度函數(shù)（PDF）進行離散采樣，由測量模型傳播輸入量的分布，從而獲得測量球球心坐標的PDF離散采樣值，進而求解球心坐標的估計值以及其不確定度，其評定步驟如下：

（1）設定MCM法的試驗次數(shù)T（為給輸出量提供95%的包含區(qū)間，一般T取106）；

（2）由三個傳感器位置坐標（xi_1、yi_1、zi_1，i=1，2，3）、傳感器球形觸頭半徑r、測量球半徑R的概率分布函數(shù)（PDF）和傳感器讀數(shù)li生成T組隨機樣本值；

（3）從生成的隨機數(shù)中隨機抽取樣本值并計算對應的球心坐標值；

（4）重復（3），分別計算得到T組球心坐標xT、yT、zT模型值；

（5）根據(jù)xT、yT、zT模型值計算得到球心坐標估計值x、y、z以及標定方法的不確定度u（x）、u（y）、u（z）。

4 實例驗證

為了驗證標定方法的正確性與準確性，在某DMG635V機床上對R-Test進行驗證（機床平動軸的定位誤差Δxyz在R-Test測量行程內(nèi)控制小于0.1μm），如圖3所示。接觸式R-Test選用基恩士GT2-S1型接觸式球形觸頭直線位移傳感器（FSO為1mm，線性度小于等于0.25%FSO，重復性小于0.05%FSO，分辨力為0.1μm），球形觸頭半徑為2.5mm（球面圓度誤差小于0.5μm），測量球采用直徑為30mm的高精密陶瓷球（球面圓度誤差小于0.3μm）。

圖3 某DMG635V機床實驗現(xiàn)場圖Fig.3 Field Diagram of a DMG635V Machine Tool Experiment

任取6個測量球標定點坐標獲取對應的三個傳感器讀數(shù)，通過方程式（2）求得傳感器位置坐標。設δ為0.01mm、e為0.001mm，得4項影響因素對傳感器位置不確定度的靈敏度系數(shù)，進而得到傳感器位置坐標的標準不確定度匯總表，如表1所示。取置信區(qū)間為95%，則結(jié)合式（9）～式（11）和表1可計算得到三個傳感器的不確定度評定結(jié)果，如表2所示。

表1 傳感器位置的標準不確定度匯總表Tab.1 Summary Table of Standard Uncertainty of Sensor Position

表2 傳感器位置的不確定度評定表Tab.2 Evaluation Table of Sensor Position Uncertainty

經(jīng)過標定后，運動機床直線軸到任意位置，檢驗其標定精度，移動到任意100個位置時實際三個方向的標定誤差圖，如圖4所示。取置信區(qū)間為95%，MCM法的實驗次數(shù)取T=106，則獨立用GUM 方法、結(jié)合GUM 和MCM 法對接觸式R-Test在機標定方法不確定度的評定結(jié)果和實際標定驗證結(jié)果對比，如圖5所示。

圖4 標定后100個驗證點三個方向誤差圖Fig.4 Three Direction Error Charts of 100 Verification Points After Calibration

圖5 兩種評定方法評定結(jié)果與實驗結(jié)果對比圖Fig.5 The Results of the Two Evaluation Methods Compared with the Experimental Results

結(jié)果顯示獨自利用GUM 方法的不確定度評定結(jié)果總體偏大，偏差均在89%以上，不能很好對標定方法進行有效的評定，而利用結(jié)合GUM和MCM結(jié)合的方法評定的標定不確定度和實際標定結(jié)果大致相符，最大偏差為3%左右，能夠很好地對標定方法進行有效地評定，評定精度更高。

5 結(jié)論

（1）針對接觸式R-Test在機標定過程，基于其測量模型和測量原理，分析了各項影響因素及其對應的標準不確定度，采用變參數(shù)方法計算得到靈敏度系數(shù)；（2）提出一種結(jié)合GUM 和MCM原理的接觸式R-Test在機標定不確定度評定方法，先利用GUM計算傳感器位置坐標不確定分量，然后基于MCM實現(xiàn)最終標定不確定度評定；（3）實驗結(jié)果表明，這里所提出評定方法的偏差小于3%，能有效提高接觸式R-Test 在機標定的不確定度評定精度，為評價儀器的有效性提供了依據(jù)；（4）結(jié)合GUM和MCM原理的不確定度評定方法也適用于其他標定計算過程。