可調軸向力的振動壓電俘能器建模與實驗

王浩宇，楊 歡，韓 帥，彭利平

（1.河海大學機電工程學院，江蘇 常州 213000；2.常州劉國鈞高等職業技術學校，江蘇 常州 213000）

1 引言

近年來環境能量收集技術引起廣泛關注，在各個領域開展了研究。該技術能將環境中分散的能量轉換為電能，為低功耗傳感器設備供電［1］。能量收集技術的“零維護”特點對于分布式無線傳感器網絡（WSN）的供電具有很大意義。常見的環境能量主要有太陽能、風能、溫差能、振動能。振動作為一種常見的物理現象，廣泛的存在于生產和生活中。振動能量具有密度高且穩定特征，因此非常適合為無線傳感器提供能量。目前常用的振動能到電能轉換方法有壓電換能、電磁換能、靜電換能以及磁致伸縮換能等，其中壓電換能以其能量轉換效率高、裝置易于實現等優點成為該領域的熱門研究對象［2］。

在壓電能量俘獲系統中，懸臂梁式壓電能量收集方法是該領域最具有工程應用前途的方式之一［3］。由于傳統懸臂梁式壓電俘能系統帶寬與環境振動帶寬相比較為狹窄，因此系統工作條件對于振動頻率敏感。在實際應用中，環境的激勵具有寬頻隨機特性。在外部激勵與懸臂梁的諧振頻率不匹配情況下容易產生共振發散的現象［4］。

為了提高系統的通用性和對不同應用環境的適應性，研究人提出了線性多頻共振和非線性共振兩種解決思路。在線性共振優化中，研究人員通過設計陣列梁或多自由度的結構產生多個共振以提高帶寬。上述方法一般稱為陣列法，即通過設置多個不同諧振頻率的懸臂梁以重疊其諧振響應來覆蓋較大的頻率范圍，實現工作帶寬的提升［5］。雖然這種方法拓寬了帶寬，但卻降低了單位體積的功率且增大了體積。多自由度法結構上較為復雜，在多方向振動能量俘獲具有顯著優勢且魯棒性強，但結構設計復雜加工安裝精度要求高，對于環境振源振幅具有一定要求［6］。

在非線性共振優化中，研究人員常通過升頻轉換法和多穩態法提高共振帶寬。其中，升頻轉換的原理是將環境低頻能量收集后，利用升頻耦合轉換將低頻振動轉換到高頻振動實現能量收集和拓展帶寬。升頻轉換典型系統主要由高頻梁和低頻梁耦合而成。但是由單個低頻梁振動周期只有一次碰撞壓電轉換，且高頻梁碰撞后為自由衰減振動，該設計較線性振動轉換效率低［7］。

多穩態法通常是由外部磁力或內部非線性分量構建Duffing振子實現，使系統在跨越勢能阱時產生更高振幅。文獻［8］提出了一種非線性剛度壓電電磁能量采集器。該梁自由端的磁鐵和固定磁鐵相互排斥，構成了雙穩態系統。文獻［9］在懸臂梁自由端重物上下加入磁鐵，發現磁力的引入能增加單穩態帶寬和輸出。然而，永磁體使雙穩態能量收集系統變得復雜和龐大，從而難以與MEMS制造工藝集成，且附加的磁場會干擾外部電路。于是，研究人員將目光投向了不需要外加磁體的后屈曲梁結構。后屈曲梁結構通常受到軸向壓力，當軸向壓力大于組合梁的屈曲載荷時，后屈曲梁變為雙穩態結構。文獻［10］提出了一種可調諧共振壓電陶瓷動能量采集器（VEH）通過施加軸向壓縮以降低其共振頻率。但其提出的模型為夾持-夾持式屈曲梁結構。其撓度函數存在二階導數為零的振型節點，當梁振動時，壓電層產生的電荷將被中和。

提出一種可調軸向力非線性壓電俘能器，能夠克服夾持梁電荷中和缺點。利用非保守系統的拉格朗日法建立該結構的壓電耦合模型，從理論和實驗兩方面研究了壓電俘能器的性能。

2 工作原理及參數建模

這里研究的壓電俘能器結構，如圖1所示。該結構由兩個壓電雙晶梁和中心附加慣性質量M組成，銅梁基體與貼在其上下面的壓電片構成壓電雙晶梁，梁的長度為L，軸向位移Δl對應的軸向力為Fx。梁的寬度為b，壓電片的厚度為hp，銅梁基體厚度為hs。梁通過測微調節器和夾具進行固定，通過調節軸向力的大小使壓電俘能器變為雙穩態系統。

圖1 可調式雙穩態振動壓電俘能器Fig.1 Adjustable Bistable Vibrational Piezoelectric Energy Harvester

為了方便分析計算和對結構性質進行分析，壓電片的寬度與基體銅梁的寬度保持一致，兩個壓電雙晶梁為尺寸參數相同的梁。該結構的動力學問題等效為導支端附加集中質量的橫向振動問題。系統的動力學方程由非保守系統拉格朗日法求得。假設壓電梁是均勻的且慣性矩和剛度均為常數，根據Reddy提出的一階復合板理論，系統的動能由壓電懸臂梁橫向運動的動能以及導支端附加質量的動能組成，方程為：

式中：ρ—材料的密度；A—梁截面面積；下標s和p—銅和壓電層；w(x，t)—梁上任意x處的橫向位移；M0—末端質量；y（t）—外部激勵的時間函數。梁在x軸方向的應變與其橫向運動w(x，t)、縱向運動u(x，t)以及彎矩產生的曲率有關。對于細長梁，縱向運動相比較橫向運動可以忽略不計，其正應變Sx公式為：

系統的總勢能由壓電梁應變相關的勢能、對感應電場所作的功組成，公式為：

式中：Tx—x方向的應力；Dz—z向電位移；Ez—電場強度。將壓電材料的本構方程帶入系統勢能表達式化簡得：

式中：e31—壓電常數；b—梁的寬度；h、E、I—梁的厚度、楊氏模量和慣性矩；下標1，2，3—系統的x，y，z坐標軸；κ和v(t)—梁上任意位置處的曲率半徑和電場Ez的函數，κ=?2w/?x2、v(t)=Ez/hp。非保守力做虛功由軸向壓力F所做功、機械阻尼做功和負載做功之和組成：

式中：cm—機械阻尼；Q—壓電層的電荷輸出，有=V/R；θ—梁任意界面的轉角。根據歐拉伯努利梁假設，轉角θ等價為位移w對x的偏導，1-cosθ根據無窮小關系可以轉換為θ2/2。軸向力做功簡化為：

非保守系統的拉格朗日變量為L=T-U，結合公式代入：

根據伽遼金離散原理，系統的橫向運動可以寫為n個振動模態函數和模態坐標函數的乘積。

由軸向力引起的非線性通常只誘發系統固有頻率的變化，對模態的影響不大。因此，系統模態能用無軸向力線性梁的模態表示。無軸向力線性梁的模態可以利用分離法結合固支-導支梁的邊界條件公式（9）求得φn(x)。

根據非保守系統的拉格朗日方程，選擇q和v為廣義坐標，得到系統的動力學方程為：

將動能、勢能和外力做功表達式帶入系統動力學方程（10）得到系統的非線性微分方程：

式中：m—等效質量；cm—等效機械阻尼；k1—梁的線性剛度；k2—壓電耦合項系數；k3—梁的非線性剛度；Cp—壓電材料的等效電容；?p—壓電耦合轉換系數；η—力向量系數。他們可以通過下式計算得到：

3 勢能分析的仿真研究

本節主要研究不同軸向壓縮位移Δl下系統勢能變化情況以及系統的動態特性。軸向壓力Fx可以用壓縮長度Δl表示：

式中：EA—截面積與復合彈性模量的乘積；EI—為復合彈性模量，他們表達式為：

壓電屈曲梁開路的總勢能包含彎曲勢能和軸向壓縮勢能，系統勢能為q的四階函數：

當軸向壓縮力Fx增大超過某個臨界值時，剛度參數k2變為負值，系統的勢能函數從拋物線單穩態函數變為雙穩態函數。當系統的軸向壓力Fx小于等于Fcr（k2≥0）時，系統振動滿足杜芬振子方程。當Fx大于Fcr（k2<0）時，系統的四次勢能項兩個局部極小值對應兩個穩態位置，系統表現為振動雙穩態。將不同軸向壓力參數帶入式中得到不同Δl下的勢能函數，如圖2所示。系統勢能函數的雙勢阱現象隨著Δl增加逐漸出現。兩個勢阱之間的距離產生的勢壘隨深度也隨著軸向壓力的增加而增大，即可以用來調節雙穩態能量采集器的橫向振動位移控制系統從單穩態變化為雙穩態以獲得更高的輸出。

圖2 不同Δl的勢能函數曲線Fig.2 The Potential Energy Curves with Different Δl

4 實驗裝置設計

為了測試可調節非線性壓電能量收集器俘能能力和帶寬，加工了樣機平臺并搭建了實驗系統，實際的樣機和實驗平臺，如圖3所示。樣機由兩個壓電雙晶梁和中心附加慣性質量組成，壓電梁通過測微調節器實現軸向力的調整。實驗系統的激勵部分由函數信號發生器（DH5922N）、功率放大器（DH5872）和激振器（DH40200）組成。實驗的測量系統由位移傳感器（HG-C1050）、加速度傳感器（1A941E）組成。

圖3 樣機及驗證實驗平臺Fig.3 Prototype and Verification Experiment Platform

信號發生器產生正弦信號，經功率放大器放大后驅動激振器振動，從而為能力收集器提供恒定的激勵源。本次實驗中利用信號發生器調節頻率進行向上和向下掃頻實驗。加速度傳感器通過螺栓固定在基座上，以實現對激勵信號的測量與標定。位移傳感器通過支架結構固定在基座上，同時正對于重物的上方，以實現梁中間質量相對于基座的位移測量。壓電片通過導線與外接負載相連。加速度、位移傳感器以及負載電壓信號均并接入信號采集器，以便在信號處理軟件中直接查看輸入激勵加速度、輸出位移和輸出電壓情況。實驗材料的部分重要參數，如表1所示。

表1 結構參數相關參數Tab.1 Structure Parameters Related Parameters

5 實驗結果與分析

為了驗證模型的準確性，利用Matlab 的ode45 求解器對式（11）進行求解得到系統的響應位移幅頻特性曲線，利用實驗進行驗證。無外載荷時位移幅頻特性曲線仿真和實驗結果，如圖4所示。可以明顯看出，仿真和實驗得到的系統線性一階固有頻率均為19.5Hz，理論與實驗結果吻合較好。

圖4 仿真和實驗位移幅頻特性曲線Fig.4 Displacement Amplitude-Frequency Characteristic Curves of Simulation And Experiment

掃頻電壓頻域變化圖可以看出，電壓輸出峰值除了在19.5Hz附近，還在42Hz 附近能獲得較高的輸出，如圖5（a）所示。在42Hz附近系統沒有大的橫向位移變化，仍俘獲較大的電壓。產生這種現象的原因是該頻率誘發了二階共振，說明這種梁結構系統的第二固有頻率較傳統懸臂梁更低。掃頻電壓隨時間變化曲線可以看出，在（10～70）Hz的電壓掃頻測試中，有兩個較為明顯的峰值，分別對應19.5Hz和42Hz，如圖5（b）所示。

圖5 掃頻電壓頻域和時域變化圖Fig.5 Frequency Sweep Voltage Variation in Frequency Domain and Time Domain

由于負載對于系統機電轉換性能具有較大的影響，接下來對能量收集系統的負載進行最優化研究。記錄系統19Hz條件下各個負載的電壓，同時改變激勵幅值研究不同加速對系統最有負載的影響。不同加速下負載對輸出電壓的影響，如圖6（a）所示。可見輸出電壓隨著負載的增大增加，直到40kΩ后電壓不再隨著負載的增加而增加。不同加速下負載對輸出功率的影響，如圖6（b）所示。輸出功率變化規律為先上升到某個值后逐漸下降，系統的最優負載為9kΩ。

圖6 電壓、功率隨電阻變化曲線Fig.6 Variation Curves of Voltage and Power with Resistance

隨后改變測微調節器的Δl值，研究不同軸向初始位移Δl下系統輸出電壓固有頻率的變化。不同軸向位移對固有頻率影響曲線，如圖7所示。

圖7 不同軸向位移對固有頻率影響曲線Fig.7 The Resonant Frequency Transformation Under Different Initial Conditions

軸向位移為負值時引起軸向力為拉力，軸向位移為正值時引起軸向力為壓力。系統的固有頻率會軸向拉力變大而增加，系統的固有頻率會隨著軸向壓力上升先降低后增加。

為了研究激勵加速度大小對壓電俘能器工作特性的影響，對系統進行了不同加速度下發電測試。無軸向力不同加速度激勵系統電壓頻率變化情況，俘能器的發電能力隨著加速的增加而增加，如圖8所示。一階固有頻率會隨著激勵加速度增加小幅度增加，從19.5Hz移動到21Hz。

圖8 無軸向力不同加速度激勵系統電壓頻率變化Fig.8 Variation of Voltage and Frequency of Excitation System with Different Acceleration Without Axial Force

另外，當系統的激勵超過1.5g時，系統在一階固有頻率和二階固有頻率附近發生明顯的雙穩態阱間運動現象，輸出電壓有明顯的增加。在激勵幅值為1.7g時，系統在一階固有頻率的電壓和位移分別達到17V和8.9mm，二階固有頻率的電壓和位移分別達到10.6V和0.66mm。

6 結論

本研究提出一種可調軸向力的非線性振動俘能器，利用非保守系統的拉格朗日法建立機電耦合模型并進行相關實驗驗證理論。研究并分析了可調俘能器電壓俘獲和帶寬性能，探究達到最大輸出功率下的最優負載。研究結果顯示可調式俘能器具有兩個明顯的俘能頻帶，同時調節軸向力會引起非線性，也能一定程度拓展帶寬。

通過實驗與數值仿真得到：系統輸出電壓隨著負載的增大單調增加，而輸出功率隨著負載的電阻增加逐漸增大到某個最值后逐漸減小。在雙穩態工作條件下，系統產生17V 的電壓峰值輸出，產生的能量能夠滿足網絡傳感器等低耗能微電子產品的供能需求，在工程中具有一定的價值。