倒頻譜法在斜拉橋索力分析中的應(yīng)用研究

賀博宙，鄒蘭林

（武漢科技大學汽車與交通工程學院，湖北 武漢 430065）

1 引言

斜拉橋中主承力結(jié)構(gòu)有主纜、斜拉索、塔臺和橋面板，由于斜拉索結(jié)構(gòu)上的力學特性，使其在受微小應(yīng)力時發(fā)生較大位移形變從而導致拉索結(jié)構(gòu)性破壞，威脅橋梁安全。在過往橋梁事故教訓中，通常是因為斜拉索出現(xiàn)結(jié)構(gòu)病害或者收緊不夠，導致整體結(jié)構(gòu)出現(xiàn)問題，從而導致橋梁局部損壞或坍塌。因此，既有橋梁結(jié)構(gòu)安全性和耐久性評估需將拉索索力作為重要的測量和評估指標。這也使索力檢測在橋梁的設(shè)計、建設(shè)及維護中的重要性日益增加。根據(jù)《橋梁安全與養(yǎng)護規(guī)范》，對大跨徑橋梁進行驗收時，應(yīng)該比對成橋索力和設(shè)計理論索力，以檢測拉索健康狀況，進而為橋梁狀況評估提供依據(jù)［1］。

現(xiàn)有的一些直接測量斜拉橋索力的方法，如千斤頂張拉測試法、壓力傳感器測量法等，但是這些方法比較適用于施工階段的拉索。相對于上述的檢測方法，振動法測索力是一種間接測量索力的方法，所以得到了大范圍的推廣和應(yīng)用，并在不斷改進。頻率法檢測拉索索力簡單概括就是通過監(jiān)測拉索的環(huán)境振動或者受迫振動，利用加速度傳感器記錄下時程響應(yīng)曲線，對時程曲線進行轉(zhuǎn)頻域處理后識別出索的不同階共振頻率，索力由拾取到的共振頻率間接計算得到［2］。在目前常用的橋梁索力檢測方法中，一個核心問題就是對于斜拉橋的拉索的基頻的提取，對于這個問題最常用的解決方法就是峰值法，這種方法基于一個基礎(chǔ)物理原理：結(jié)構(gòu)振動會在固有頻率處產(chǎn)生共振，從而產(chǎn)生較大振幅或加速度，從而被傳感器拾取到。振動法測索力的可靠性及精度取決于振動測量與分析精度，以及拉索實際振動行為與計算模型的符合程度，因此使用頻率推算索力時，索力計算結(jié)果的正確性、可靠性對后續(xù)數(shù)據(jù)的利用及橋梁健康狀態(tài)的評估至關(guān)重要［3］。

然而上述方法只是在環(huán)境振動檢測得到的理想的功率譜密度圖時，才能比較好的識別出拉索的基頻，在實際操作中，我們經(jīng)常得到的功率譜不是特別理想（沒有顯示出很好的周期性），這是因為斜拉索結(jié)構(gòu)的基頻與斜拉橋其他部位如塔臺、橋面板等結(jié)構(gòu)的基頻較為接近，在信號采集時傳感器會將兩種基頻耦合在一起進行采集，這就會對功率譜的峰值的判斷造成困難，無法辨識出其中的周期性，也就難以識別出拉索的基頻。因此，本研究提出利用倒頻譜分析法對采集數(shù)據(jù)進行后處理，在分離不同耦合信號的同時排出干擾因素，獲取精確基頻數(shù)據(jù)，并結(jié)合真實數(shù)據(jù)進行算法驗證。

2 頻率法測算拉索索力

2.1 頻率法計算拉索索力原理

頻率法計算拉索索力原理的核心在于拉索的振動測試能夠準確地反應(yīng)拉索的結(jié)構(gòu)狀態(tài)，對于一根無阻尼自由振動拉索，它的自由振動方程如下：

式中：EI—拉索的抗彎剛度；T—索力大小；m—拉索的線密度；u（x，t）—縱向振幅；h（t）—附加索力。

對式（1）進行簡化處理，首先略去垂度對于公式的影響，則式（1）簡化成：

通過邊界條件對公式進行求解，邊界條件為：

求解之后得到：

式中：n—斜拉索的第n階共振頻率；fn—拉索的第n階基頻。進一步簡化公式，經(jīng)驗上通常會忽略抗彎剛度對于索力檢測的影響，此時公式將簡化為：

式（5）就是最常用的最簡化的拉索索力與拉索基頻的算術(shù)表達式。這個公式忽略了拉索的抗彎剛度、垂度、橫向連接器以及減震器對拉索振動的影響，同時假設(shè)拉索的兩端固接方式是鉸接的。在實際的工程應(yīng)用中，考慮到拉索的長徑比的問題，該公式的計算誤差通常在3%以內(nèi)，是一個可以接受的范圍。

2.2 頻率法測拉索流程

在工程應(yīng)用中，頻率法測拉索索力的流程，如圖1所示。

圖1 流程圖Fig.1 Flow Chart

通常我們在接近拉索中段的部位（為了拾取更好的振型）安裝上加速度傳感器，然后拾取拉索對環(huán)境振動的加速度響應(yīng)，在電腦中生成時程曲線，如圖2所示。對時程曲線進行快速傅里葉變換后得到該信號的頻譜圖，如圖3所示。然后在頻譜圖中拾取該拉索的基頻，利用基頻求得該拉索的索力值。

圖2 時程曲線Fig.2 Time Curve

圖3 頻譜圖Fig.3 Spectrogram

2.3 二七長江大橋試驗案例

二七長江大橋為斜拉索橋，該橋共有264根斜拉索，該大橋的斜拉索設(shè)計為平行鋼絞線結(jié)構(gòu)，索體由多股無粘結(jié)（對抗彎剛度的計算有影響）鋼絞線組成，外層加裝保護套。斜拉索抗拉強度大于1860MPa，疲勞極限大于200MPa。梁上標準索距為13.5m，邊跨密索區(qū)索距為8.0m，塔柱索距為（21×2）m。最大索長為336.2m，斜拉索在梁端采用體外減震器。斜拉索護套采用外表面帶螺旋線型護套以抑制雨震。斜拉索在梁端采用錨固端錨具，在塔端采用張拉端錨具，施工時在索塔內(nèi)張拉。其他拉索相關(guān)數(shù)據(jù)包括拉索的線密度和每根拉索的長度。

本研究中，如果拉索的抗彎剛度很小，在測試時又忽略其抗彎剛度的影響，假定拉索兩端為固定端，則索的拉力與振動頻率關(guān)系可簡化為下式，此式是目前索力測試中廣泛采用的計算公式。

將抗彎剛度作為影響因子加入公式中，依然采用斜拉索自由振動模型，拉索的第k階固有頻率為fk，第n階固有頻率為fn，則有：

式中：T—拉索索力；ρ—拉索線密度；L—拉索長度。

在工程測量中，測量拉索的共振頻率和階次并不一定采取單次測量中的峰值，可取多次測量的峰值差值求平均值，如式（7）中所展示的一樣。最終我們采集并計算得到的二七長江大橋的部分索力數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 漢口塔武昌側(cè)檢測結(jié)果Tab.1 Inspection Results on the Wuchang Side of Hankou Tower

3 倒頻譜處理

3.1 倒頻譜基本原理

簡單來講，倒頻譜法就是對于信號的功率進行進一步處理后得到的結(jié)果，倒頻譜處理有實倒頻譜法（可用于橋梁拉索索力分析）和復倒頻譜法（通常用于語言和圖像信號處理）兩種，在對橋梁拉索信號的實倒頻譜處理中，我們又通常采用幅值倒頻譜。而倒頻譜的最大優(yōu)點就是能夠簡化復雜的頻譜圖像，這種優(yōu)點原理在于倒頻譜將原來頻譜圖上成族的邊頻帶譜線轉(zhuǎn)換為了單根譜線從而便于觀察與拾取波峰。假設(shè)現(xiàn)在有一個高頻信號和一個低頻信號，它們的時域波形圖和頻域波形圖，如圖4所示。

圖4 時域波形圖和頻域波形圖Fig.4 Time Domain Waveform and Frequency Domain Waveform

圖5 調(diào)制后的信號Fig.5 Modulated Signal

實際拉索索力實驗的輸出的混合信號的特征頻率可能是有多組的，其調(diào)制后的頻域信號近似于一組頻率間隔較大的脈沖函數(shù)和一組頻率間隔較小的脈沖函數(shù)的卷積，從而在頻譜上形成若干組邊頻族，如圖6所示。

圖6 邊頻帶的形成Fig.6 Sideband Formation

從上述圖像中我們可以看出，倒頻譜的最大特征就是分辨原信號的周期性。周期性信號反饋在圖像上，就是上圖所示的往復的邊頻帶。

3.2 倒頻譜的公式實現(xiàn)

對于一個橋梁拉索結(jié)構(gòu)，可以將整個拉索視作一個系統(tǒng)，倒頻譜就是將卷積的系統(tǒng)響應(yīng)信號轉(zhuǎn)換成疊加的信號，從而在相位上分離開來。倒頻譜的計算過程如下：

式中：x（t）—系統(tǒng)輸入；y（t）=x（t）*h（t），h（t）—系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。

對公式邊都進行傅里葉變換，可以得到：

取幅值平方（得到功率譜）得到：

再對兩邊取對數(shù)（這一步將卷積變成迭加）得到：

兩邊再同時進行傅里葉逆變換（F-1變換）得到功率倒頻譜：

這時，對式子右邊進行倒頻譜分析：

Cx（t）進行FFT變換后得到lnSx（f），在通過指數(shù)運算得到Sx（f）；

Cn（t）進行FFT變換后得到lnH（f）2，通過指數(shù)運算后得到H（f）2。

信號經(jīng)過這個過程的分解后，就可以識別出信號的組成分量了，也即是拉索的基頻和橋梁主體的基頻分離開來。這樣能讓我們更好的識別出頻譜中的周期結(jié)構(gòu)，從而獲得更準確的拉索基頻。

假設(shè)一根拉索的輸出信號的傅立葉變化得到的結(jié)果為X（f），功率譜為SX（f），那么對于該信號的功率倒頻譜的表達式為：

那么功率倒頻譜的表達式為：

3.3 倒頻譜的Matlab實現(xiàn)

在matlab函數(shù)引用庫中，引用倒頻譜分析的函數(shù)為rceps（實倒頻譜），通過翻閱MATLAB說明書，rceps的完整函數(shù)表達為real（ifft（log（abs（fft（y））））），即原始信號→快速傅里葉得到頻譜→求對數(shù)→進行傅里葉逆變換，而倒頻譜分析的處理過程應(yīng)該是原始信號→快速傅里葉得到功率譜→求對數(shù)→進行傅里葉逆變換，即功率譜被換成了頻譜。即功率譜被換成了頻譜。

而在信號處理中，對于確定信號：可以直接對信號進行FFT變換，然后求平方值再除以時間長度就可以得到功率譜密度。對于隨機信號（無法收斂，無法進行FFT變換）：則需要先求出該信號的自相關(guān)函數(shù)，再對自相關(guān)函數(shù)進行FFT就可以得到功率譜。總結(jié)來說，能量譜等同于原始信號傅里葉變換后的模平方，功率譜等同于能量譜密度在時間上的平均。因此可推算功率譜等于頻譜值的平方，在取對數(shù)后平方會變成對數(shù)前的系數(shù)2，不會影響圖像的周期性。

4 試驗分析

4.1 倒頻譜對單根拉索的處理樣本

通過對二七長江大橋的拉索振動信號數(shù)據(jù)采集，首先本研究選取了一根頻譜圖像較好的拉索數(shù)據(jù)進行倒頻譜處理。拉索的原始時程曲線，如圖7所示。頻譜圖，如圖8所示。倒頻譜處理之后的圖像，如圖9所示。

圖7 原始時程曲線Fig.7 Time Domain Waveform

圖8 理想的頻譜圖Fig.8 Ideal Spectrogram

圖9 倒頻譜處理圖像Fig.9 Cepstrum Image

依據(jù)圖8，利用波峰拾取法求得該拉索的基頻為0.8482Hz，而在圖9中，波峰表示的時間平均間隔為1.18s，倒頻譜之后橫坐標單位為s，它的時間間隔的倒數(shù)則代表該拉索的基頻，故求得該拉索基頻為0.8475Hz，兩種方式算得的基頻誤差不超過1%，完全能夠滿足工程測試要求。

而對于部分拉索（如短索或接近塔臺的拉索），由于拉索基頻與塔臺基頻接近，在信號上會出現(xiàn)耦合，從而導致無法直接通過頻譜圖獲取準確的基頻，此時倒頻譜就能夠很好地識別出頻譜圖的周期性。該拉索時程曲線，如圖10所示。

圖10 原始時程曲線Fig.10 Time Domain Waveform

圖11 不理想的頻譜圖Fig.11 Spectrogram

通過FFT處理得到該信號的頻譜圖后發(fā)現(xiàn)該頻譜圖上沒有展示出很好的周期性，從而無從拾取計算該拉索的基頻，拉索索力也就不得而知，但是在對該信號進行倒頻譜處理之后，根據(jù)圖12，可以發(fā)現(xiàn)圖中顯示出了很好的周期性，通過采點計算求得波峰之間平均時間間隔為1.207s，從而計算得該拉索的基頻為0.82883Hz。

圖12 倒頻譜處理圖像Fig.12 Cepstrum Image

4.2 倒頻譜基頻的索力計算

本研究中，我們總共檢測了224根斜拉索的索力，選取其中15根拉索進行倒頻譜分析，這15根拉索的共同特點在于對原始時程曲線進行FFT處理之后得到的頻譜圖并未展示出很好的周期性，所以我們對這些信號采用了倒頻譜處理，拾取出基頻后并計算索力，與2016年的檢測數(shù)據(jù)進行比對，同時與成橋索力進行比對，從而驗證該拉索的可靠性以及倒頻譜法在索力檢測中的應(yīng)用可行性。具體數(shù)據(jù)結(jié)果，如表2所示。

表2 索力計算與分析Tab.2 Calculation and Analysis of Cable Force

通過表2中數(shù)據(jù)比對與分析，發(fā)現(xiàn)通過倒頻譜法拾取的基頻計算出的拉索索力與2016年測得的拉索索力數(shù)據(jù)誤差大多數(shù)小于5%，全部小于10%，而與成橋時的索力相比較誤差也都小于10%，這些數(shù)據(jù)充分表明了倒頻譜法在處理周期性不明顯的頻譜信號時的可行性，同時也驗證了這些拉索的安全可靠性。

5 結(jié)論

本研究歸納總結(jié)了最常用的斜拉橋拉索索力檢測方法—頻率法，并提出將倒頻譜法分析作為計算斜拉橋索力的補充辦法，主要工作及結(jié)論如下：

（1）通過分析倒頻譜法的原理以及試驗分析，倒頻譜法能夠精準地識別出周期信號的周期性，從而提取出基頻并計算出拉索索力。

（2）倒頻譜法能夠更好地展現(xiàn)不同周期信號卷積而成的信號的周期性，在對于采集到的振動信號不是很理想的拉索的索力分析中，倒頻譜法能夠分析出更精準的基頻和計算出更精準的拉索索力。

（3）通過二七大橋的實例數(shù)據(jù)分析比對，驗證了倒頻譜法在分析采樣信號不理想的拉索索力時是可靠的，準確的。