唐恒鈞 鄭蓉蓉 蔣逸卿

【摘 要】項目式學習的成果包括外顯成果與內隱成果兩個方面，但在設計與實施過程中，教師容易僅關注外顯成果的完成情況，而忽視學生內隱成果的塑造。學生沉浸式情感體驗是形成內隱成果的必要前提。文章以“三等分角工具的制作”項目為例，呈現明暗雙線交融的項目活動流程與設計實例，并提出關注文化體驗、創設文化情境、把握文化脈絡等設計要點。

【關鍵詞】中華優秀傳統文化；項目式學習；項目成果；情感體驗；問題鏈

項目式學習是初中階段數學跨學科主題學習的主要方式，也是實現“做中學、學中做、做中創”教育理念的重要教學模式。項目式學習的構成要素主要有情境、內容、活動和成果四個方面。而成果主要有兩方面含義：一是外顯的成果，即制作的產品、方案等；二是內隱的成果，即學生能夠在不同情境中遷移的認識思路。［1］但在項目式學習的設計與實施過程中，教師容易僅關注外顯成果的完成情況，而忽視學生內隱成果的塑造。可遷移的認識思路具有一般性特征，學生無法僅依靠教師的講解習得，重在沉浸式情感體驗。因此，在項目設計伊始，教師既需要關注活動明線的設計，也需要關注學生情感體驗的暗線設計，以明暗雙線交融的方式組織教學。數學中的中華優秀傳統強調了數學文化中的傳統特色，凸顯數學的文化價值，對學生的全面發展與民族認同感的培養具有重要意義。教師需要在數學課堂營造數學文化氛圍，將數學文化既作為明線（數學史料、數學文化課程或課程模塊），也作為暗線（數學文化氛圍的營造）融入普通數學課堂。［2］基于此，本文以“三等分角工具的制作”項目為例，呈現明暗雙線交融的項目活動流程與設計實例，試圖為中華優秀傳統文化融入項目式學習，推進內隱成果塑造提供參考。

一、項目流程設計

明暗雙線交融的項目設計流程既關注活動明線的設計，也關注學生情感體驗的暗線設計。因此，在項目規劃階段，教師需要在設計活動線的基礎上增添每個活動對應的情感線，以這兩條邏輯線貫穿項目始終。

（一）活動線設計

項目式學習的設計強調“以終為始”，根據最終呈現的項目成果逆向反推項目活動。因此，教師需要把握項目初始態與最終態之間的差異，并通過系列活動消除兩種狀態之間的差異，從而完成項目成果。以“三等分角工具的制作”為例，項目中各個活動的具體拆解思路如圖1所示。

（二）情感線設計

在引入項目主題的過程中，教師應展現中華優秀傳統文化，激發學生的民族自豪感與民族認同感。教師可以以規矩鏡作圖問題說明制作三等分角工具的必要性，增強學生制作三等分角工具的內驅力，鼓勵學生積極參與項目活動。

在探究等分角原理的活動中，教師可以引導學生從二等分角入手，滲透由已知到未知、從特殊到一般的數學思想方法。同時，設置自主探究活動，將二等分角視作兩個相等角拼湊在一起，為學生提供立足局部分析整體的認識思路。

在設計二等分角工具的活動中，教師應適時引導學生轉變思維觀點，從靜態到動態、從順向到逆向，增強學生思維與課堂活動的交互性，促進深度學習的發生。

在設計三等分角工具的活動中，學生在二等分角工具的基礎上合理想象，得到精妙的想法。與此同時，教師為學生介紹古代工匠制作三等分角的工具和方法，展現古代工匠的智慧與巧思，推動學生的情緒發展，在古今對比中引發學生更深的思考。

在制作三等分角工具的活動中，教師應充分尊重學生的自主性與主動性，使學生深度參與制作和展示活動中，讓學生有機會表達自己的觀點與想法。在這樣開放的學習環境中，學生的創造熱情空前高漲，帶動了積極的情感交互。

（三）項目流程圖

在“三等分角工具的制作”項目中，活動線和情感線明暗雙線貫穿始終，體現項目實施過程中對應的活動安排與學生的情感體驗，具體流程如圖2所示。

二、項目設計實例

（一）引入項目主題

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在教學建議中指出，要注重創設真實情境，注重情境素材的育人價值。［3］底蘊深厚的中華優秀傳統文化為情境創設提供了豐富且有育人價值的數學教育素材。

情境 中華民族自古以來便是富有創造力的民族。《墨子》中記載的“百工為方以矩，為圓以規，直以繩，正以縣”（其中“縣”同“懸”），便是我國古代工匠最常用也是最基本的工具矩、規、繩、懸（即懸錘）。其中以矩做正方，規做正圓，繩做平面直線，懸做垂直。俗語“無規矩不成方圓”等便由此而來。今天讓我們做一回小小發明家，效仿古人，也制作一款實用工具吧。

通過介紹古代工匠常用的工具，展示古代工匠獨具匠心的創造力，弘揚了工匠精神與創新精神，激發學生的民族自豪感與民族認同感，同時為引出項目主題做鋪墊。

問題1：古代工匠借助這些工具，能夠制作出許多精美圖案，比如規矩鏡（如圖3）。大家認為古代工匠是如何確定這些圓形位置的？

問題1-1：如何利用工具作三等分角？

問題1-2：如何利用工具作二等分角？

問題1承接古代工匠的工具的情境，將學生置于真實情境中思考，表現出作三等分角問題在實際生活中的需要，使學生感受數學與生活、數學與美的密切聯系。不過學生對三等分角的做法知之甚少，教師可以引導學生從已有認知出發，由已知到未知、從特殊到一般，先作二等分角。根據已學的尺規作圖知識，學生能夠知道利用“矩”和“規”作二等分角。但在作圖過程中，可以發現這種做法的劣勢所在——需要同時運用兩種工具。由此自然引出請學生自己動手設計能夠單獨作二等分角的工具的問題。

（二）探究等分角原理

問題2：請大家發揮自己的想象力與創造力，設計一種能夠單獨作二等分角的工具。

問題2-1：從證明的角度出發，何種情況下能說明兩個角相等？

學生的思維可能囿于尺規作圖的思路中，對于二等分角工具的設計缺乏頭緒，教師需要設置輔助問題，為學生提供合適的學習支架。問題2-1引導學生回顧以往的證明經驗，思考能夠證明兩個角相等的情形，學生容易想到的是借助三角形全等得到對應角相等。如此便可以將三角形相等的對應角當成二等分角，將其拼在一起可得被二等分的角，立足局部元素分析整體。教師需要引導學生經歷實驗探究的過程，讓學生討論將全等的兩個三角形按照對應角拼湊在一起可能出現的情況（如圖4），并思考能為設計二等分角工具帶來哪些啟示。

（三）設計二等分角工具

問題2-2：如何讓角動起來，使之能展現任意角的二等分角？

教師活動 引導學生在拼湊出的原始圖形基礎上，繪制二等分角工具設計圖。

學生在拼湊三角形的過程中，能夠得到關于某個特定角的二等分角，但依然是靜態思維，而二等分角工具的功能是能夠做出任意角的二等分角。問題2-2將學生的思維由靜態轉變為動態，使學生對即將設計的二等分角工具有更清晰的感知。在動態觀點下，學生可以發現由不同類型三角形生發出的二等分角工具竟殊途同歸，如圖4中②③④能分別設計成如圖5所示的工具，其運動變化的原理相同；也可以發現直角三角形在對應角大小變化的過程中可能難以保持直角形態。

問題2-3：如何才能保持直角三角形的直角形態？

教師活動 引導學生進行小組討論，繪制二等分角工具設計圖。

問題2-3是在解決問題2-2的過程中自然生發的問題，體現了問題與問題之間清晰的思維脈絡。以拼湊圖形為基礎設計二等分角工具的過程中，學生習慣使用從“圖形—工具”的順向思維，教師可以引導學生逆向思考：能否利用工具創造出兩個全等的直角三角形？學生自然而然會產生出如圖6所示工具的想法。

（四）設計三等分角工具

問題3：二等分角工具已經難不倒大家，能否進一步思考，如何設計一種三等分角工具？

問題3-1：如何在二等分角工具的基礎上新增一個與原來半角相等的角？

教師活動 引導學生進行小組討論，繪制三等分角工具設計圖。

從二等分角工具到三等分角工具，學生可能一時沒有思路，問題3-1為學生提供思考的方向。借助問題3-1，教師將三等分角問題轉化為在原本二等分角的基礎上增加一個相等半角的問題。在問題2解決的過程中，學生對作等分角的方法已經有了初步認知——構造兩個全等的三角形。因此，新增一個相等半角實際上就是要新增一個全等三角形，如此便會有三個對應角相等，每個對應角都是大角的三等分角，可以制作出如圖7所示的三等分角工具。

問題4：古代工匠的想法也十分精妙，他們在矩的基礎上進行改造：在矩的窄臂上標記出與寬臂相同長度的線段（PQ=QR）（如圖8），得到一個三等分角工具。作[∠ ABC]的三等分角需要進行如下操作：

（1）將矩的寬臂的下沿MN對準角的一邊BC，沿著寬臂上沿畫出直線DE，則BC//DE，且兩平行線距離為寬臂長（如圖9）。

（2）將矩移動到合適的位置，使其滿足三個條件。一是頂點P落在DE上，二是寬臂的下沿MN經過角的頂點B，三是標記出來的點R落在角的一邊AB上（如圖10）。

（3）作射線B[Q]與BP，則[∠ ABQ]、[∠ PBQ]、[∠ PBC]即為[∠ ABC]的三等分角（如圖11）。

大家能否用數學知識解釋這樣能夠得到三等分角的原理呢？

學生在經歷設計三等分角工具的過程后，可能認為如此設計的想法已經十分巧妙了，此時介紹古代工匠設計的更為精簡的三等分角工具，進一步將學習情緒推向高潮。學習古人做法的過程也是智慧交流的過程，不難發現圖11中三個直角三角形的排列方式與圖7的工具一致，這說明古人作三等分角的方式與學生剛剛習得的作三等分角的方式原理是相同的，都是通過構造全等三角形獲得。學生能夠在感受古人智慧的同時體會到數學方法的時代同一性，展現了數學的學科魅力。

問題5：比較古代工匠設計的工具與同學們自己設計的工具，你認為哪種設計更好？談談你的理由。

培養學生批判質疑的能力是發展學生核心素養的要求之一，教學中，教師應從學生看待事物的視角入手，培養學生批判質疑的習慣。［4］在比較當中，學生能夠正視古人設計的工具，誠然制作非常簡單，有其可取之處，但也存在明顯缺陷——操作煩瑣。如此，在增強學生自信心的同時也培養了學生辯證思考問題的意識。

（五）制作三等分角工具

師生活動 請學生以小組為單位，用所給材料包制作三等分角工具，并利用制作的工具實際操作畫出三等分角，再通過量角器測量來驗證工具的有效性。任務完成后請各小組分享設計思路、制作成果與檢驗效果等。學生展示成果后，教師分發組內評價量表（見表1）與組間評價量表（見表2），從過程和結果兩個維度進行評價，組織學生互相交流收獲與不足。

成果展示與項目評價環節是項目式學習的特色所在，也是檢驗學生學習效果的重要方式。但實際教學中，教師為節約課堂教學時間卻經常省略這兩個環節，失去了項目式學習的真正意義。從成果展示與項目評價中，教師能夠對學生的學習情況有進一步的認識，外顯的成果表現在學生是否掌握了設計制作要點及學科核心知識。當然從學生的分享與評價中也能挖掘項目式學習的內隱成果——學生是否習得一般性認識思路，且能在不同情境之間進行遷移。對于本項目而言，即是否習得由已知到未知、從特殊到一般、從局部到整體的認識思路。因此，教師需要為學生提供展示成果、自評互評的交流平臺。

三、設計要點

文化氛圍的營造對學生內隱成果的塑造具有重要意義。設計一節如上所述的浸潤在中華優秀傳統文化當中的項目式學習課例，應注重把握文化體驗、文化情境、文化脈絡等方面的設計要點。

第一，關注文化體驗，以明暗雙線結構組織教學。浸潤于中華優秀傳統文化之中的課堂能夠有效促進學生的數學學習與情感體驗有機融合，使學生的內隱成果得到塑造。學生在文化體驗中產生的情感是內隱的，相比項目中外顯的活動設計更難把控。明暗雙線交融的教學組織方式通過活動線與情感線的設計，明晰活動過程中學生產生的情感，使學生把握項目的情感脈絡，真正凸顯文化育人的重要作用。本課例通過對項目的拆解得到活動線，在活動線的基礎上設想在此活動中學生對應產生何種情感，在課前對學生可能的情感體驗做初步預設，弱化情感的不可控性，增強操作性與導向性。

第二，創設文化情境，營造浸潤式文化氛圍。文化情境奠定文化氛圍的基調，與教學過程中學生受文化感染，形成文化共鳴的狀態息息相關。優質的文化情境首先需要與項目主題匹配，體現項目主旋律；其次要與項目活動緊密關聯，為引入任務活動做鋪墊；最后，要為師生提供深度交互的條件，促進深度情感交互的發生。本課例創設古代工匠設計及使用工具的文化情境，聚焦古代富有創造力與智慧的工具，項目主題也凸顯工具屬性，二者緊密關聯。在情境的鋪墊下，以古代工匠制作規矩鏡的場景引入，自然生成古代工匠如何作三等分角的疑問。同時，以開放、創造、有趣的話題，激發學生興趣，提高學生的參與欲望，為師生深度情感交互提供可能。

第三，把握文化脈絡，以問題鏈構建任務群。中華優秀傳統文化融入數學課堂需要深刻挖掘其中蘊含的數學知識與數學思想，形成數學文化脈絡，避免內容的碎片化呈現，包括基于知識發展的文化脈絡與基于學生理解的文化脈絡等。數學問題鏈是有序的主干問題序列，以其關聯性、整體性為學生提供數學思考的基本脈絡。［5］項目式學習是落實數學文化的一種重要教學形式，問題鏈則為數學文化項目式學習的設計與實施提供了載體。［6］本課例將三角形全等、等分角的知識以及由已知到未知、從特殊到一般、從局部到整體的認識思路與各個問題相融，展現了制作三等分角工具的思考脈絡，一步步推動新任務生成，最終完成項目成果。

綜上所述，項目式學習中學生內隱成果的塑造值得廣大教師關注，中華優秀傳統文化以其獨特的文化價值成為推進學生內隱成果塑造的重要載體。融中華優秀傳統文化于項目式學習的設計需要關注文化體驗，以明暗雙線結構組織教學；創設文化情境，營造浸潤式文化氛圍；把握文化脈絡，以問題鏈構建任務群，帶領學生在生動的文化體驗中感悟思想、深化理解。

參考文獻：

［1］葉依叢，顧建辛，馬婉琴. 基于項目學習的高中化學教學設計與實踐：佩掛式除菌卡有效性研究［J］. 化學教學，2022（9）：51-56.

［2］楊豫暉，吳姣，宋乃慶. 中國數學文化研究述評［J］. 數學教育學報，2015（1）：87-90.

［3］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［4］鄭蓉蓉，蔣逸卿，唐恒鈞.基于數學史的科學精神培養：以二項式定理為例［J］. 中學教研（數學版），2023（9）：28-32.

［5］唐恒鈞，張維忠. 數學問題鏈教學的內涵與特征［J］. 教育研究與評論（中學教育教學），2021（1）：8-12.

［6］唐恒鈞，陶慧嬋. 基于問題鏈的數學文化項目式學習活動設計：以“桿秤中的數學”為例［J］. 中小學課堂教學研究，2022（9）：7-10.

（責任編輯：羅小熒）

【作者簡介】唐恒鈞，教授，博士生導師，主要研究方向為數學課程與教學研究；鄭蓉蓉，在讀碩士研究生，主要研究方向為數學課程與教學研究；蔣逸卿，在讀碩士研究生，主要研究方向為數學課程與教學研究。

【基金項目】全國教育科學“十三五”規劃2020年度教育部重點課題“指向深度理解的‘問題鏈教學研究”（DHA200318）