APOS理論視角下的初中數學概念教學

摘? 要：概念教學旨在通過引導學生經歷概念探究的完整過程，提高學生的數學核心素養.文章通過APOS理論研究，對“認識三角形”的教學再設計，改進了原有的教學模式.

關鍵詞：認識三角形；概念教學；初中數學

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）02-0002-03

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：崔園園（1999.7-），女，江蘇省鹽城人，碩士，中學二級教師，從事初中數學教學研究.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在對“會用數學的思維思考現實世界”的解釋中指出：通過經歷獨立的數學思維過程，學生能夠理解數學基本概念和法則的發生與發展，數學基本概念之間、數學與現實世界之間的聯系［1］.基于此，如何有效進行概念教學是數學教師值得研究的問題.

1 問題提出

從教育者的角度來看，教師雖然意識到概念教學的重要性，但要形成一節完整的概念教學課耗時較多，若留給學生大量的探究時間，則會減緩教學進度.反之，大部分教師更愿意將時間花費在解題上，通過題海戰術來實現學生對概念的鞏固與理解.從學習者的角度來看，初中學生的數學抽象水平仍處于一個較低的層次，教師如果不能引導學生經歷一個完整的概念形成過程，很難培養學生發現問題與提出問題的能力.

因此，在進行概念教學時，教育者需要參考已有的相關研究，改進教學模式，充分調動學生的主動性.

2 APOS理論概述

APOS是美國學者杜賓斯基提出的建構主義學習理論，該理論的前身是皮亞杰的“自反抽象”，自反即“反自”，意為抽身而出，對于自己結束的活動進行觀察與反思，從而最終經過抽象得出一個比較嚴謹的結論［2］.之后，杜賓斯基對于這一理論進行了再認識，最終形成 “APOS”理論.該理論主要分為四個階段：Action（活動階段）、Process（程序階段）、Object（對象階段）以及Schema（圖式階段）.

3 教學案例

本文以“認識三角形”為例，將APOS理論融入初中數學概念教學過程中.

3.1 操作階段

操作階段又為“活動階段”，學生通過一系列的活動，初步建立對于所學概念的直觀感知.此處的活動不局限于觀察、操作、探索及歸納等外顯活動，還包括內隱活動，即學生對于頭腦中已有的經驗性知識進行回憶與反思.

①外顯—觀察

問題1：請同學們觀察課件上兩張圖片，你能從中看出哪些熟悉的圖形？

問題2：除了上述圖片，你能從日常生活中再找出一些熟悉的三角形的實物嗎？

②內隱—回憶

問題1：請你們嘗試著回憶小學階段中已經學習過的三角形的相關知識.

問題2：有學生會問，為什么我們之前已經學習過三角形，現在還要學習？那么我們回顧之前獲得這些知識的過程，發現大部分知識都是通過觀察得出的，數學是一門嚴謹的學科，那么這些知識是否正確？你該如何驗證？

設計說明：首先，引導學生從生活實例中抽象出幾何圖形，引出本節課的課題，并依據幾何圖形想象出所描述的實際物體，初步建立學生的空間觀念；其次，提問學生已經學習的三角形的相關概念，學生回憶在小學階段已經學習過三角形的概念，師生共同歸納出結構框圖，也建立起幾何概念的學習體系.

3.2 程序階段

程序階段是指對于活動階段進行反思，對活動中所得的經驗進一步抽象，從而得出概念本質特征.

活動1：規范定義

①內隱—回憶

問：我們剛剛回憶時談到三角形的概念，請你說說什么叫三角形？

學生回答各不相同，但基本上不能完全準確地說出三角形的概念.

②外顯—操作歸納

師：請同學們拿出木棒搭建三角形，并從搭建好的三角形中挑選出“特殊”的圖形.

學生按照教師提示拿出木棒搭建三角形，并將自己搭建好的三角形與課件上兩張圖片對比，從而完善三角形概念.

活動2：符號表示

①外顯—觀察

問：觀察課件上的屋頂框架，指出其由幾個三角形構成，分別是哪些？

②內隱—思考

問題1：回憶三角形構成要素.

問題2：類比角的符號表示，用符號表示三角形并完善表格，最終解決①中的問題.

問題3：屋頂框架是由哪些三角形構成的？

活動3：明確分類

①內隱—回憶

問題1：結合所學知識，你能給三角形分類嗎？

問題2：有學生提到按角可以分為鈍角，銳角和直角三角形，也有同學提到按邊可以分為等腰三角形和等邊三角形，請思考：這兩位同學各自的分類是否能夠包括所有的三角形？如果不能，請你指出哪一種分類存在瑕疵？

師生共同歸納三角形的準確分類.

②外顯—操作

課件出示一些三角形的圖片并進行分類.

活動4：探究性質

①外顯—操作

問題1：拿出5根長度分別為3 cm，4 cm，5 cm，6 cm，9 cm的吸管，任意取出3根首尾相接搭三角形，你可以搭出幾種不同的三角形？

問題2：哪些情況下小木棒經過組合能構成三角形？哪些情況下小木棒經過組合不能構成三角形？

師：在經過上述問題的初步探究之后，我們有同學已經提出：三角形兩邊之和大于第三邊.但在這個過程中數據量還是比較少的，接下來請看老師用幾何畫板進行的操作展示.

②內隱—思考

問題1：將三角形三邊關系的文字語言轉化為符號語言.

問題2：你能否用我們已經學習的知識來證明該結論？請同桌二人相互討論.

問題3：在探索“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的過程中，你是否有其他結論？

問題：關于“三角形任意兩邊之差小于第三邊”的證明，留給你們課后思考.

設計說明：在三角形概念引入的過程中，小學是直接通過觀察，教師總結概念得出，因此在活動1中，對小學學習中三角形概念進行了進一步的完善，增加了“不在同一條直線上”；活動2通過三角形框架這一模型認知沖突，學生體會到符號表示的必要性，進一步認識三角形的基本元素，學生在這個過程中“會用數學的思維思考現實世界”.

3.3 對象階段

對象階段是對操作階段和過程階段的延續與拓展，這一階段是對前面兩個階段得出的概念進行符號化，實現“壓縮”和“解壓縮”的過程.

例1? 下列數據中，能組成三角形的有（? ）組.

① 3，8，10；② 5，2，7；③ 5，5，11；④ 13，12，20.

A.1??? ?B.2??? ?C. 3??? D. 4

問題：在解決上述問題的過程中，有沒有能夠快速判斷構成三角形的方法？

變式1：在三角形中，已知一邊長是4 cm，另一邊長是8 cm，求第三邊a的取值范圍；

變式2：在上述三角形中，若第三邊是偶數，求第三邊；若第三邊是奇數，求第三邊.

例2? 已知等腰三角形的一邊是5 cm，另一邊是7 cm，求這個三角形的周長.

變式：若等腰△ABC周長為30，AB=6，求其余邊的長.

設計說明：通過上述例題，引導學生在解決問題的過程中學會總結方法.在變式訓練中，學生需要進行分類討論，呈現知識的層次性.在這個過程中，學生逐步“會用數學的語言表達現實世界”.

3.4 圖式階段

圖式階段是對前三個階段進行整合，學生在此階段已經具備相應的知識與經驗基礎，該階段主要是將新知納入已有認知，對認知結構進行整合.

任務1：繪制出本節課學習內容的框架.

任務2：討論本節課和之前學習三角形相關概念的區別.

設計說明：圖式環節既鞏固了前三個階段，也引導學生發現前后學習內容的區別，學生的圖式結構得到進一步完善.

4 思考與啟示

在APOS理論的指導下，學生在活動中獲取知識，在反思中理解概念，最終完成概念學習.在教學中，四個階段運用APOS理論時需注意以下幾點.

4.1 創設情境

活動階段需要創設合適的情境，該階段是學生學習新知識的起點，若以純粹的數學性知識引入，學生會覺得枯燥乏味.首先，情境的創設要能夠體現教學目標，有利于教學活動的展開；其次，情境的選擇需要具有真實性，需聯系學生的已有經驗，否則會影響學生對概念探究的興趣；最后，選擇情境時還需注意情境的多樣性.

4.2 巧設問題串

程序階段要巧妙設計問題串.首先，問題串的設計需要體現出教學過程中的重難點，在整個過程中教師須發揮引導作用，通過問題串引發學生的認知沖突；其次，問題串的設計要具有層次性，后一個問題的提問是對前一個問題的補充和拓展，學生能夠在問題串的回答過程中不斷接近知識全貌，對學生自主探究概念的過程有一定的啟發性.

4.3 變式教學

對象階段是集“壓縮”與“解壓縮”于一體的過程，其主要功能是對“活動階段”和“程序階段”進行內化.該階段主要是通過例題和習題呈現，但是題目的呈現不能是簡單機械地重復，需要教師挑選出典型例題，對題目中的條件與結論進行變式，不斷變換題目中的非本質特征.學生能不斷抽象出概念本質特征，教師還應給予學生一定的自主性，引導學生自主對題目進行變式，也可以呈現出一些開放式的題目，多給學生一些反思和歸納的時間與空間.

4.4 靈活運用APOS

APOS理論具有一定指導意義，沒有固定的模式，教師在進行教學設計時，應充分考慮知識結構及學生的學情，進行合理的分階段設計，適當對四個階段進行重組和補充.

5 結束語

通過應用APOS的四階段理論來指導概念教學，學習者可以更好地理解概念的生成過程，主體性地位在進一步增強，從而提升了他們的思維水平.

參考文獻：［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 張麗娟.基于APOS和知識遷移理論的初中數學概念教學研究［D］.濟南：濟南大學，2020.

［責任編輯：李? 璟］