巧解平面向量的幾種技巧

田子健

? 哈爾濱師范大學教師教育學院

“平面向量”作為高考必考內容,往往會結合其他知識以選擇題、填空題的形式進行考查,選擇合適的方法會使向量運算更為簡便.本文中主要介紹平面向量中的三種解題技巧,供大家學習參考.

分析：本題考查了平面向量的數量積運算與向量加法法則的應用,體現了數學轉化的思想方法.

圖1

解法1：(常規解法)如圖1,設BC的中點為O.

圖2

若應用極化恒等式,通過數形結合來確定數量積的值,也可實現問題的直觀轉化與巧妙應用[1].

分析：本題主要將平面向量與三角形面積相結合進行考查,注重學生對知識的綜合運用.

圖3

因為△BPC與△ABC有相同的底邊,所以

另外,奔馳定理提供了平面向量與三角形面積之間的一個獨特結論,因此本題由奔馳定理可直接妙解.此定理方便記憶.針對性強,可以快速得出結果.

圖4

S△BPC∶S△CPA∶S△APB=x∶y∶z.

所以S△BPC∶S△CPA∶S△APB=1∶1∶2.

故S△BPC∶S△ABC=1∶4.

圖5

分析：平面向量中求取值范圍的問題難度較大,不僅會考查平面向量的基本運算法則、公式、定義、基本定理,還會考查函數的性質、平面幾何圖形的性質、不等式的性質等.所以,針對最值問題,要多角度思考.

圖6

圖7

當動圓Q的圓心移動至端點C時,

所以4m+4n=4+cosθ+sinθ.

本題若運用等和線定理,則可以出奇制勝,達到事半功倍的效果.但是技巧性較強,需要大量練習才能掌握[2].

圖8

圖9

向量作為高中數學知識的重要組成部分,同時又是研究數與形的重要工具,在應用空間向量解題的過程中,如果恰當靈活使用本文中提到的解題技巧,可以更加直觀,有效提升解題效率和質量.