高中數學問題解決中的化歸思想

王明月

? 西華師范大學數學與信息學院

1 數學問題解決

“問題解決”已經成為了教育領域中的一個熱門話題,同時它也是學生獲得新知識的一個主要方式,因此,國內外的心理學者和教育工作者都對“問題解決”進行了廣泛的研究.在教育心理學領域,更是提出了“試誤論”“頓悟說”“最近發展區”“五階段論”“六階段論”和問題解決的IDEAL模式等理論學說.在我國的數學課程標準中,問題解決也被列入了總目標中的一項明確的要求.這表明,問題解決已經成為了教師教學和學生學習中必須重視的一個方面.

從最初對問題解決的初探,到目前的深入研究,已經經歷了三個時期:第一個時期的首要目的是掌握知識,學習方法;第二個時期是“雙基論”時期,側重于對學生的基礎理論的掌握和基本功的訓練;第三個時期是“三維目標”時期,重點是從具體問題的解決向思維方式的轉化.如今,問題解決能力的培養在數學課程中已經占有了很大的比重.

2 化歸思想

數學作為人類的精神財富,具有豐富的思想方法.數學思維方法的滲透是以數學知識為基礎的[1].中小學生的年齡特征,決定了一些數學思想難以被接受,將過多的數學思想滲透給學生是不現實的.因此,我們要有選擇地滲透一些重要的數學思想,整合容易被接受的思想和方法,促進學生數學能力的提高.筆者認為,高中數學應重視的是思維的轉變.

化歸思想的實質是通過將一個復雜的問題分解成一系列簡單的子問題來解決.具體而言,利用化歸思想解決問題通常包括以下幾個步驟:(1)確定問題的基本要素.首先,需要明確問題中的基本要素,例如已知條件、未知量等.(2)分析問題的特點.對于復雜的問題,需要仔細分析它的特點,找出其中的規律和關系.(3)逐步化簡問題.通過逐步化簡,將復雜的問題轉化為簡單的形式,使得問題更易于理解和解決.(4)歸納總結.在解決簡化后的問題之后,需要進行歸納總結,找出問題的一般性解法或規律.

化歸思想解決問題的一般模式[2]見圖1.

圖1 化歸思想解決問題的直觀表示

3 化歸思想六種方法及應用案例分析

數學問題的解決需要學生的邏輯思維、分析和推理能力.化歸法這種思維方式可以培養學生的思維敏銳性和邏輯思維能力,能夠幫助他們更好地理解和解決其他學科和現實生活中的各種問題.

化歸法是解題的重要方法,它能夠幫助我們解決問題.化歸能力與問題解決的成敗直接相關.在化歸的過程中,需要建立知識之間的聯系,優化認知結構.這樣可以豐富問題解決的策略,實現知識的轉移.所以,化歸法對于學生來說非常重要.在學習的過程中,學生要學會運用化歸方法來解決問題,從而實現問題解決能力的提升.

化歸思想是解題的重要途徑和方法.文[3]中介紹了化歸思想解題的六個特征,筆者從中總結出常見的化歸方法,并進行舉例分析.

3.1 改變表達方式

從化歸思維的角度,采用“數形”結合的方法,對函數的“數”和“形”進行轉換,與之相關的問題就有多種表達形式.例如,函數的表示有解析法、圖象法和列表法,所以在處理函數問題時,可以將一種表達形式轉化為另一種形式.再如,指數式和對數式也是對同一內容的不同表達方式.

3.2 改變思考方向

從化歸思想的角度將“正向思維”轉化為“逆向思維”,運用了逆向思維法,“分析法”和“反證法”即為該原理.當題中的已知條件不足以支撐所求結論時,可以考慮從結論入手去匹配已知條件,即“正難則反”.

3.3 改變語言表達方式

數學問題的表述方式多種多樣,有自然語言、符號語言,還有圖形語言.于學生而言,相較于符號語言,自然語言更易理解.所以,在學生學習和解決數學問題時,一定要強化多種語言形式的相互轉化,尤其是當遇到不懂的題目時,可嘗試用另外一種語言來表達.

案例2已知集合A={x|-1≤x≤0},集合B={x|ax+b·2x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}.若a,b∈N,求A∩B≠?的概率.

分析：本題采用符號語言表述題干,但對學生來說,審題時可能感覺比較抽象,不能很好挖掘問題的核心,導致在問題解決的過程中遇到阻礙.本題的關鍵在于將“A∩B≠?”轉化為“不等式ax+b·2x-1<0在區間[-1,0]上有解”即f(x)=ax+b·2x-1在[-1,0]上最小值小于0.一旦學生完成了該轉換,接下來問題就迎刃而解了.

3.4 改變式子搭配方式

數學式子的表達形式是多樣的,有時題中給出的式子不能夠幫助學生快速發現問題的核心,這就需要學生能夠靈活變通,不斷改變式子結構,找到關鍵點.

3.5 改變思考角度

在遇到問題時,當很難將其作為一個整體來看待,或者“當一個問題包含了很多可能的情況或結果時,我們通常會將每一個方面或情況的復雜問題分解成更簡單、更一般的問題[4],”即分類討論.分類討論是一種化歸策略,我們可以用它把問題進行分解,然后逐一解決.

案例4設函數f(x)=ex-1-x-ax2,若當x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.

分析：本題可采取分離變量或分類討論兩種方式解決.但是,前者需要多次求導,且需要應用到高等數學中的知識,超過了學生的知識范疇;后者則需要正確分類,此時就要求學生能注意到題目中的隱含條件,即f(0)=0,而本題的重點其實就是求f(x)≥0對x≥0均成立的充分必要條件.因此可以從側面入手,由f(x)在(0,+∞)單調遞增即充分條件,求出a的取值范圍,再驗證其必要性即可得解.

3.6 改變研究對象

從化歸思想的角度使“陌生的研究對象”向“熟悉的研究對象”進行轉化,運用的換元法歸屬于化歸方法,學生在函數問題中運用換元法的解題能力亦稱作構造能力.

分析：題干中的a是指數形式,b是分數形式,c是對數形式,三個字母所代表的數值形式不統一,可以利用化歸思想通過構造函數來統一.此時,可以構造函數f(x)=x+ln(1-x)且x∈(0,0.1]來判斷a與b的大小關系,構造函數g(x)=xex+ln(1-x)且x∈(0,0.1] ,來判斷a與c的大小關系.本題通過構造與原問題密切相關的數學模型,從而把問題轉化為比較簡單或易于求解的新問題, 使得問題在該模型的作用下實現轉化,迅速獲解.