基于問題鏈的高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)
——以平面向量為例

鄭仕福

? 福建省廈門市集美中學(xué)

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本活動(dòng)形式,通過解題可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維能力.問題鏈教學(xué)以問題為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生思考、分析問題,掌握解題思路,幫助他們掌握知識并培養(yǎng)解題能力.

1 高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)問題鏈設(shè)計(jì)

基于問題鏈的高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)以問題為導(dǎo)向,讓學(xué)生通過思考和求解問題來提升解題能力.因此需要按照表1中的解題教學(xué)原則來設(shè)計(jì)問題鏈,培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.

表1 高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)原則和問題鏈設(shè)計(jì)

2 基于問題鏈的高中平面向量項(xiàng)目化解題教學(xué)

2.1 原題呈現(xiàn)

A.[-5,3] B.[-3,5]

C.[-6,4] D.[-4,6]

2.2 主干問題

問題1題目中給定了哪些幾何關(guān)系?

審題時(shí),首先要明確題目中所給定的已知條件,根據(jù)已知條件進(jìn)行相關(guān)關(guān)系的確定.本題中所給定的已知條件是在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,P為△ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),且PC=1,由已知條件可以確定△ABC是以AB為斜邊的直角三角形,同時(shí)知道兩條直角邊的長度分別是AC=3,BC=4,并且能夠確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心,半徑為1的圓[1].

圖1

表示向量就需要將幾何關(guān)系進(jìn)行代數(shù)化轉(zhuǎn)換,所以需要建立平面直角坐標(biāo)系,利用幾何關(guān)系構(gòu)建如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)幾何位置關(guān)系確定點(diǎn)的坐標(biāo),即A(3,0),B(0,4),進(jìn)而利用點(diǎn)的坐標(biāo)來表示向量.

問題2-2點(diǎn)P的坐標(biāo)如何表示?

評析：這種解題思路是通過建立平面直角坐標(biāo)系,充分利用PC=1,利用三角函數(shù)將點(diǎn)P的坐標(biāo)表示為P(cosθ,sinθ),再表示出向量,最后利用三角函數(shù)的定義域來確定取值范圍.

2.3 延伸問題

問題3本題由于PC=1,通過上述解題方式求解不會存在較大的計(jì)算問題,但是如果PC的值是變化的,就會增加本題的難度.是否存在一種解題思路,使運(yùn)算過程不會因PC值的變化而受到太大的影響?

解法1：利用極化恒等式求解.

圖2

解法2：利用解析幾何方式求解.

2.4 提煉問題

問題4結(jié)合上述三種解題策略,總結(jié)平面向量的一般解題策略(如圖3).

圖3 平面向量問題解題策略

圖4

評析：本題是以平面向量的一般解題策略來求解的.通過幾何描述表示題目中已知的條件,從而確定題目所展示的幾何關(guān)系,判斷位置關(guān)系,進(jìn)而設(shè)計(jì)解題策略實(shí)現(xiàn)問題的求解.

3 教學(xué)反思

平面向量問題涉及學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和學(xué)科素養(yǎng).首先,可以考查學(xué)生的直觀想象能力,通過幾何圖形展示問題并根據(jù)圖形特征選擇解題策略.其次,可以考查學(xué)生的邏輯推理能力,如對極化恒等式進(jìn)行演繹推理.最后,可以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,因?yàn)檫\(yùn)算錯(cuò)誤可能導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.解題教學(xué)應(yīng)該回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)和通用方法.在平面向量問題中,解析法和基底法是常用的解題方法,而極化恒等式是一種特別的向量分解方法[5].這些方法是解決平面向量問題的關(guān)鍵.高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)應(yīng)該回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì),并結(jié)合實(shí)際問題尋找解題的一般策略.通過分析主干問題來找到解題的突破口,然后結(jié)合延伸問題確定解題策略,實(shí)現(xiàn)問題的求解.平面向量問題的解題一般策略可以有效解決相關(guān)問題.

綜上所述,平面向量問題的解題教學(xué)應(yīng)該注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng),采用合適的解題策略,回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)和通性通法.結(jié)合實(shí)際問題尋找解題一般策略是高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)的關(guān)鍵.