考慮長距離輸電纜特性的逆變器并網系統諧波不穩定分析及抑制

解潤生，張國榮，解 寶

（1.合肥工業大學電氣與自動化工程學院，安徽省 合肥市 230009；2.光伏系統教育部工程研究中心（合肥工業大學），安徽省 合肥市 230009）

0 引言

風能和太陽能等可再生能源廣泛分布于海島、戈壁和山區等偏遠地區［1-2］，以新能源并網逆變器為代表的接口裝置通常需采用長距離輸電纜（long transmission cable，LTC）并入交流電網，而沿LTC的分布寄生電容使得并網系統中發生諧波不穩定性現象［3-4］，其振蕩頻率從數百到數千赫茲不等，這種諧波振蕩可能會傳播到大電網中，進一步惡化系統的電能質量。因此，有必要對考慮LTC 特性的逆變器并網系統諧波振蕩特性及其抑制方法展開研究。

目前，關于諧波不穩定的研究方法主要有2 種：阻抗分析法［5-9］和狀態空間法［10-14］。文獻［6］建立了靜止坐標系下變流器端口和電網端口的序阻抗模型，分析了控制器帶寬和電網強度對系統諧波不穩定的影響，文獻［7-8］考慮了電纜線路分布參數特性，基于歐拉公式和奈奎斯特判據判定系統諧波穩定性，但其忽略了dq軸耦合影響。文獻［9］建立了計及dq軸耦合的并網系統阻抗模型，提出基于廣義奈奎斯特判據的系統極點分布間接判定方法，但該判據計算繁雜，且較難定位引起系統失穩的相關因素。與阻抗法相比，基于狀態空間模型的特征根、參與因子等可以確定諧波穩定性的主導模態及關鍵參與變量［10-13］。文獻［14-15］建立逆變器并網系統的狀態空間模型，分析時延、控制系統和電網強度等參數對諧波不穩定的影響，并通過參與因子分析評估了不同狀態變量對振蕩模式的貢獻。目前，狀態空間法在并網逆變器與電網間交互作用研究中僅將電纜線路表示為集總參數模型，缺乏考慮電纜線路分布參數特性的并網系統狀態空間模型及相關特征值分析的研究工作。

電力電纜不僅具有分布參數特性，同時其在不同頻率下呈現出不同的阻抗特性，然而目前計及線路參數頻變特性的并網系統穩定性研究較少。文獻［16-17］利用改進貝杰龍模型模擬線路高頻段衰減特性，但僅利用時域仿真分析法來復現高頻段不穩定現象，無法給出系統穩定性的判定方法及影響規律。文獻［18］建立考慮電纜線路參數頻率特性的并網系統開環傳遞函數，但其重點是分析電力電纜對諧波放大的影響，未判斷系統的穩定性。

電纜分布參數模型中未計及線路參數頻變特性時，會影響系統諧波穩定性評估的準確性［16，19］。然而在諧波穩定性評估中，電纜分布參數模型引入了復數雙曲線函數使得阻抗分析法存在極點分布難以確定的問題［7-9，20］。此外，當計及線路參數頻變特性時，基于廣義奈奎斯特判據判定系統穩定性具有一定局限性。因此，需要對計及線路參數頻變特性的電力電纜狀態空間模型進行深入研究。

與頻域阻抗模型相比，基于時域狀態空間模型的參與因子、靈敏度等量化評價指標可以為振蕩抑制措施提供指導，但現有文獻中基于時域狀態空間模型提出諧波不穩定抑制策略的研究較少。基于此，本文通過狀態空間法研究了考慮LTC 特性的逆變器并網系統諧波振蕩特性，計及電纜線路分布參數特性和頻變特性，提出了基于矢量匹配法對含LTC 的交流系統進行等值，并考慮內外環控制、鎖相環、控制延時等環節，建立dq坐標系下表征并網系統全部動態特征的高頻狀態空間模型，通過參與因子分析辨識引起諧波振蕩的關鍵影響因素，采用根軌跡法分析線路參數頻變特性及關鍵因素對諧波穩定性的影響。進一步，基于系統狀態空間模型，提出一種結合靈敏度分析和矩陣相似變換的系統穩定性改善方法，并利用根軌跡對改進控制策略后系統進行了穩定性分析。最后，基于RT-LAB 構建硬件在環實驗平臺，驗證了本文理論分析的正確性。

1 逆變器并網系統及其狀態空間模型

圖1 為典型的三相LCL 逆變器并網系統的接線圖。圖中：可再生發電單元經過電能變換后匯入直流母線，再經過并網逆變器、LCL 濾波器、變壓器以及LTC 等結構并入交流電網。為簡化分析，將系統各參數統一折算到變壓器低壓側，圖2 給出了逆變器并網系統的等效拓撲及控制框圖。圖中：逆變側濾波電感L1、濾波電容Cf和網側濾波電感L2構成LCL 濾波器；R1和R2分別為L1和L2的等效電阻；ic為橋臂側電感電流；if為LCL 濾波電容電流；ig為并網電流；uc為濾波器電容支路電壓；Cdc為直流母線電容；Id為理想電流源；udc為直流母線電壓；Pin為直流側輸入有功功率；uinv為逆變側輸出電壓；up為公共連接點（point of common coupling，PCC）電壓；變壓器漏感計入電網阻抗Lg；ug為電網三相電壓；ω1為電網基波角頻率；θ為鎖相環輸出相角；并網逆變器采用定直流電壓和定無功功率的雙閉環矢量控制策略；和Q*分別為直流母線電壓和無功功率的參考值；Hdc為直流母線電壓控制器；Idref、Iqref分別為并網電流d軸和q軸分量的參考值；Hc為電流內環控制器，考慮了有源阻尼系數kc及數字控制引入的延時環節Hd；md、mq分別為d軸和q軸上的調制信號；PWM 表示脈寬調制；PI 表示比例-積分控制器。

圖1 三相LCL 型逆變器并網系統接線圖Fig.1 Wiring diagram of three-phase LCL-type gridconnected inverter system

圖2 逆變器并網系統等效拓撲及控制框圖Fig.2 Equivalent topology and control block diagram of grid-connected inverter system

1.1 并網逆變器模型

本文基于dq坐標系對逆變器并網系統進行建模，由主電路、控制內外環、鎖相環、控制延時等環節構成，本節將對各部分進行建模。

1.1.1 主電路模型

LCL 濾波器的動態方程為：

式中：下標d、q分別表示相應物理量在其各自坐標系下的d軸和q軸分量，下同；uinvd=swdudc/2，uinvq=swqudc/2，其中，sw表示控制系統輸出的調制信號。

將式（1）線性化，選取狀態變量為xe=[icdq，igdq，ucdq]T，其中，icdq=[icd，icq]T，igdq=[igd，igq]T，ucdq=[ugd，ugq]T，控制變量為updq=[upd，upq]T、swdq=[swd，swq]T和udc，忽略系統頻率的變化，主電路LCL 濾波器的線性化狀態空間模型為：

式中：Δ 表示小信號量，下同；Ae、Be1、Be2和Be3具體如式（3）所示。

式中：A11、A13、A22、A23、A31、A33、G11、G22和G33可通過式（1）線性化得到。

根據功率平衡原理［21］，忽略Id擾動的影響，則逆變器直流側的線性化狀態空間模型如式（4）所示。

式中：UdcN為逆變器額定直流電壓；Icd0、Icq0、Swd0、Swq0、Udc0分別為icd、icq、swd、swq、udc的穩態量。

1.1.2 鎖相環模型

鎖相環結構如圖2 所示。當端口電壓發生擾動時，控制系統中將出現兩個旋轉坐標系，一個為電氣系統dq坐標系，相關物理量不進行標識；另一個為控制器dq坐標系，用上標c 表示。本文以電網電壓ug電氣系統dq坐標系為參考基準，控制系統坐標系定向于電壓up方向，則鎖相環的s域線性化模型為：

式中：θ0為PCC 電壓相對電網電壓的相位差；Hpll為前向通路增益；kppll、kipll分別為控制器的比例和積分系數；Up0為PCC 處相電壓幅值。

由式（6）可得鎖相環線性化狀態空間模型，選取狀態變量Δxpll=[Δxb，Δθ]T，其中，xb為PLL 控制器積分狀態變量，θ為輸出變量，則有

式中：Cpll=[0，1]；Apll=[0，-kipllUp0；1，-kppllUp0]；Bpll=[-kipllsinθ0，kipllcosθ0；-kppllsinθ0，kppllcosθ0]。

進一步，可以得到電氣dq坐標系中電壓和電流在控制系統中的表達式為：

式中：Tp1=[cosθ0，sinθ0；-sinθ0，cosθ0]；Tp2=[Igq0，-Igd0]T，其中，Igq0和Igd0分別為igq和igd的穩態量；Tp3=[Icq0，-Icd0]T；Tp4=[Upq0，-Upd0]T，其中，Upq0和Upd0分別為upq和upd的穩態量。

1.1.3 控制內外環模型

外環采用定直流電壓和定無功功率的控制策略，其中，定無功功率模式采用直接功率控制方式。假定=0 和ΔQ*=0，外環控制器輸出的線性化狀態空間模型為：

內環采用基于輸出電流ig和LCL 濾波電容電流if的雙反饋閉環控制，忽略交叉耦合項的電流內環可表示為：

式中：電流內環控制器Hc=kp+ki/s，其中，kp和ki分別為比例和積分系數，則線性化狀態空間模型如式（11）所示。

式中：xcdq=[xcd，xcq]T，其中，xcd、xcq分別為d軸和q軸電流內環積分環節狀態變量；Ac=[ki，0；0，ki]；Bc=[kc-kp，0；0，kc-kp]；Bc1=[-kc，0；0，-kc]；Bc2=[kp，0；0，kp]。

1.1.4 控制延時模型

圖2 中數字控制延時環節可表示為：

式中：n為Pade 近似中分子和分母的階數；i=0 ，1， …，n；di= [(2n-i)!n!]/[(n-i)!i!]；ei=(-1)i[(2n-i)!n!]/[(n-i)!i!]。

文獻［11］分析指出，為了準確地分析高頻段穩定性問題，應至少選擇3 階以上的Pade 近似代替延時環節。因此，本文采用4 階Pade 近似，則根據Pade 近似可得控制延時環節的線性化狀態空間模型為：

式中：xdelay=[xd1，xd2，…，xd8]T，xd1至xd8為Pade 近似轉換過程中引入的8 個狀態變量；Ad=[Ade，0；0，Ade]，Bd=[Bde，0；0，Bde]，Cd=[Cde，0；0，Cde]，Dd=[Dde，0；0，Dde]，其中，元素Ade、Bde、Cde和Dde可通過式（13）得到。

式中：Tp5=[-Swq0，Swd0]T。

1.2 交流系統模型

建立含LTC 的交流系統高頻狀態空間模型的基本思路是：計及電纜線路參數的分布特性和頻變特性，根據電纜首末端口電氣參數頻域關系式，可推導得并網點電壓與其電流、電網電壓的關系，在此基礎上，基于矢量匹配法對表達式中等效阻抗和電壓系數的頻域響應進行有理函數擬合，進而得到狀態空間模型。

1.2.1 矢量匹配法

矢量匹配法是一種快速有效的有理函數擬合方法，假設用矢量匹配法擬合函數f(s)，則可得有理函數部分分式和的形式為：

式中：N為擬合階數；Ti和Pi分別為第i個留數和極點，兩者可以是實數或者共軛復數對；D、E為實數，視情況選用。

將函數式（16）中f(s)轉換為狀態空間形式，假設y=f(s)u，其中，u為輸入量，y為輸出量，則

式中：x為引入的狀態變量，A=diag[P1，P2，…，PN]，C=[T1，T2，…，TN]，B為元素均為1 的列向量；D和E值同式（16）。

1.2.2 狀態空間模型建立

附錄A 圖A1 給出了交流系統的等效模型，當輸電纜過長時一般采用考慮分布參數特性的分布參數模型，其主要思路是假設傳輸線由無窮小的包含電阻、電抗、電導和電納的微元組成，圖A1 中虛線框內代表一個微元。

一般線路的絕緣良好，可忽略并聯電導，由此可建立輸電線路的傳輸方程，根據傳輸線模型中相應的邊界條件可對傳輸方程進行求解，得到電纜首末兩端電氣參數在頻域中的關系式為：

式中：u2、i2分別為電纜末端電壓和電流；L為輸電線的長度；γ=為傳播系數；Zc=為特征阻抗，其中，單位長度的阻抗Z(ω)=r0+jωl0和單位長度的導納Y(ω)=jωc0，r0、l0和c0分別為單位長度的電阻、電感和電容；ω為角頻率。

式（18）考慮了線路參數分布特性，但沒有計及線路參數頻變特性。文獻［17］表明單位長度的電阻和電感參數均與頻率有關，其中，電阻隨著頻率的增加而增加，電感隨著頻率的增加略微減少。因此，輸電線路在不同頻率下將呈現出不同的傳輸特性，有必要對電纜線路的Z(ω)進行修正，得：

式中：Z0(ω)為導體內阻抗；r0(ω)為頻率相關的單位長度電阻；li(ω)為磁通作用于導體內部產生的頻率相關的單位長度內電感。r0(ω)、li(ω)都隨頻率變化而變化。

根據文獻［22］，Z0(ω)的表達式為：

式中：rdc為頻率f0時電纜線路的單位長度電阻。

根據附錄A 圖A1，對電纜線路末端的交流側串聯阻抗支路列寫方程，得：

式中：Zg=sLg。

結合式（18）和式（21），得PCC 電壓up與電流ig和電網電壓ug間的關系式為：

式中：ZL、HL分別為含頻變LTC 的交流系統的等效阻抗和電壓系數頻域傳遞函數。

假設up1=ZLig，up2=HLug，利用矢量匹配法對頻域傳遞函數ZL、HL進行擬合，得有理函數g1(s)和g2(s)，則

式中：g1（s）和g2（s）的具體形式可參照式（16）。

根據式（17），可認為up1為輸出量，ig為輸入量，同理，up2為輸出量，ug為輸入量，則將式（24）轉換為狀態空間方程：

式中：xL1=[xL11，xL12，…，xL1i，…，xL1N]T，xL11至xL1N為ZL擬合過程中引入的N個狀態變量；xL2=[xL21，xL22，…，xL2i，…，xL2N]T，xL21至xL2N為HL擬合過程中引入的N個狀態變量；AL1、BL1、CL1、DL1和AL2、BL2、CL2、DL2的具體形式可參照式（17）中A、B、C和D。

在以電網電壓ug為定向的電氣系統dq坐標系下，Δugd=Δugq=0，結合式（22）和式（25），可選取狀態變量xL1dq=[xL1d，xL1q]T和xL2dq=[xL2d，xL2q]T，控制變量igdq=[igd，igq]T，輸出變量updq=[upd，upq]T，忽略系統頻率的變化，則可得電氣系統dq坐標系下含LTC 的交流系統線性化模型為：

式中：AL1dq=[AL1，ω1IN；-ω1IN，AL1]，其中，IN為N階 單 位 矩 陣 ；BL1dq=[BL1，0；0，BL1]；AL2dq=[AL2，ω1IN；-ω1IN，AL2]；CL1dq=[CL1，0；0，CL1]；CL2dq=[CL2，0；0，CL2]；DL1dq=[DL1，0；0，DL1]。

為了分析是否存在高頻段的穩定性問題，并且能夠模擬交流系統在3 kHz 范圍內幅值和相位特性，當Lg為0.2 mH 且電纜參數如表1 所示，選取ZL、HL擬合的階數分別為20 階和16 階，附錄A 圖A2 為ZL、HL擬合的幅值和相位曲線。由圖可知，矢量匹配法可以很好地擬合ZL、HL的幅值和相位特性。

表1 電纜參數Table 1 Parameters of cable

1.3 考慮LTC 的并網系統狀態空間模型

整合式（2）、式（4）、式（7）、式（9）、式（11）、式（14）和式（26），消去中間變量后可得電氣系統dq坐標系下整個閉環系統的狀態空間模型為：

式中：xs=[icdq，igdq，ucdq，udc，xu，xcdq，xdelay，xpll，xL1dq，xL2dq]T；AT表達式詳見附錄B 式（B1）。

1.4 考慮LTC 的并網系統線性化模型驗證

為驗證所建立的并網系統線性化模型的正確性，在MATLAB/Simulink 仿真系統中搭建電磁暫態仿真模型，電纜參數和并網逆變器參數如表1 和表2 所示，系統工頻為50 Hz，直流電壓參考值為750 V。

表2 并網逆變器參數Table 2 Parameters of grid-connected inverter

初始時系統運行在額定狀態，有功功率為15 kW，無功功率為0 var，在0.3 s 時，有功功率參考值階躍至18 kW，通過將線性化模型計算波形與電磁暫態模型仿真結果進行對比，系統的動態響應如附錄A圖A3 所示，從上至下分別為d軸電流、q軸電流和a相LCL 濾波電容電壓。由圖A3 可知，線性化模型計算曲線基本從中間穿過電磁暫態模型仿真曲線，由此驗證了所建系統線性化模型的正確性。

2 逆變器并網系統的穩定性分析

并網逆變器和輸電纜設計的參數往往能夠保持自身穩定，即兩者的參數對自身來說均設置合理，為分析影響穩定性的關鍵因素，需進行根軌跡和參與因子分析。考慮到外環帶寬較低，外環控制對諧波不穩定的影響較小，本文將通過調整有功功率來定量識別各個影響環節對諧波不穩定的參與程度。

本文是基于正序dq坐標系建立的狀態空間模型，如果建立的理論模型中存在虛部為fh1和fh2的不穩定特征根，且這2 對不穩定特征根的虛部相差在100 Hz 附近，則可認為abc 坐標系下的諧振頻率為（fh1+fh2）/2。根據表1 和表2 所示參數，經計算，當系統的有功功率Pin為21.2 kW 時，出現2 對不穩定共軛復根λ27，28=70.6±j12 068.2 和λ31，32=36.3±j11 473.5，振蕩頻率約為1 873.5 Hz。

對上述的失穩模態進行參與因子分析（歸一為最大值），可以得到如附錄A 圖A4 所示的狀態變量的參與因子，所給數據均為參與因子的模。由圖A4可知，交流系統中擬合的d軸和q軸變量xL1、延時環節的d軸和q軸擬合變量及電感L1的d軸和q軸電流對諧波振蕩貢獻較大，而鎖相環及外環控制器對應的狀態變量基本沒有貢獻，表明系統諧波振蕩的主要影響環節為含頻變LTC 的交流系統、延時環節和電流內環。因此，表明了失穩模態是由并網逆變器和交流系統兩者共同相互作用導致。

2.1 線路參數頻變特性對穩定性的影響

根據表1 和表2 所示參數，附錄A 圖A5 為電纜線路參數考慮頻變特性和未考慮頻變特性的系統特征根分布圖。由圖可知，當線路參數未考慮頻變特性時，系統的主導特征根向虛軸移動，這表明與考慮頻變特性相比，系統的穩定性范圍將縮小，使得系統易引發高頻諧波振蕩。因此，未考慮線路參數頻變特性會導致系統諧波不穩定評估中得到錯誤的結論。下文將詳細分析考慮線路參數頻變特性下各關鍵環節對穩定性的影響。

2.2 逆變器控制參數對穩定性的影響

為研究控制延時、電流環控制器和鎖相環帶寬對系統運行穩定性的影響，圖3 給出了系統的根軌跡，其中，有功功率為15 kW，圖3（a）為控制延時對穩定性的影響，延時Td逐漸從125 μs 增加至145 μs；圖3（b）為電流環控制器參數對穩定性的影響，積分系數ki=40 保持不變，比例系數kp從0.19 以步長0.001 增加至0.215；圖3（c）為鎖相環帶寬對穩定性的影響，其中，積分系數不變，通過調節比例系數來實現鎖相環帶寬的變化，根據文獻［23］提供的方法計算鎖相環帶寬，鎖相環帶寬從10 Hz 以步長5 Hz增加至55 Hz。

圖3 控制器參數對穩定性的影響Fig.3 Influence of controller parameters on stability

圖3（a）中，隨著延時時間Td的增加，2 對主導特征根先向左移動再向右移動，并最終到達右半平面，當延時Td接近137 μs 時，系統臨界不穩定。因此，控制延遲時間較高將導致系統不穩定。圖3（b）中，電流環控制器的比例系數kp從0.19 增加到0.215，當控制器比例系數小于0.201，系統能夠穩定運行，隨著kp的增加，系統的2 對主導特征根從左向右移動，當kp=0.202，2 對主導特征根穿過虛軸進入右半平面，即系統臨界不穩定。因此，增大控制器比例系數，系統的穩定性降低。圖3（c）中，隨著鎖相環帶寬的增大，系統特征值基本不改變，說明當系統振蕩頻率達到數千赫茲頻段時，鎖相環參數幾乎不影響系統諧波不穩定，與參與因子分析中鎖相環對穩定性的影響較小一致。

2.3 交流系統對穩定性的影響

并網系統的諧波不穩定是由逆變器和交流系統共同產生的，本節將從交流系統角度分析電纜長度和電網阻抗對系統穩定性的影響。

設置電纜長度L從25 km 增加至56 km，步長為0.5 km。將L分為兩段進行分析：Ⅰ段，25～40 km，L從25 km 增加至40 km；Ⅱ段，40.5～56 km，L從40.5 km 增加至56 km。將L分為兩段來分析是由于電纜長度在Ⅰ段區間和Ⅱ段區間對應的失穩特征根不同，Ⅰ段區間對應的失穩特征根為λ25，26、λ29，30，而Ⅱ段區間對應的失穩特征根為λ27，28、λ31，32。

附錄A 圖A6（a）為Ⅰ段區間L變化時的系統根軌跡，圖A6（b）為Ⅱ段區間L變化時的系統根軌跡。由圖A6 可知，在Ⅰ段和Ⅱ段的區間內隨著L的逐步增大，系統的2 對主導特征根先從左向右移動，然后再從右向左移動，由此表明隨著電纜長度增加，系統的穩定性并不是逐漸降低，而是存在一種不連續穩定區域，先是從穩定區域穿越到不穩定區域，之后再次從不穩定區域回到穩定區域。該工況下Ⅰ段和Ⅱ段的電纜長度不穩定區間分別為［28.5 36.5］和［44.5 52.5］。此外，在不穩定區間內電纜線路越長，潛在的振蕩頻率越低。

通過改變網側等效電感Lg的大小來分析電網阻抗對系統穩定性的影響，設置Lg從0.2 mH 逐漸增加至20 mH，步長為0.4 mH，系統的根軌跡如附錄A 圖A7 所示。從圖A7 可以發現，2 對主導特征根先從左向右進入右半平面，然后又從右向左進入左半平面。由此可知，系統的穩定性存在一種不連續區域，先從穩定狀態變化到不穩定狀態，再從不穩定狀態回到穩定狀態，同時，當電網阻抗越大時，潛在的振蕩頻率越低，該工況下網側電感Lg的不穩定區間為［3，15.8］mH。

3 靈敏度分析及穩定性改善方法

本章在所建系統時域狀態空間模型基礎上，通過參與因子分析辨識出對不穩定模式貢獻較大的狀態變量，在該狀態變量對應的行列位置添加參數以改變系統特征值分布。利用靈敏度分析，分析振蕩模式對所添加參數的靈敏度，確定可提高系統穩定性的參數，并進一步基于矩陣相似變換將其轉換到控制行，從而使得得控制環路中添加了額外的阻尼控制。

3.1 靈敏度分析

靈敏度分析是量化系統參數與振蕩模式間相互關系的有效工具，可直觀反映系統參數變化對穩定性的影響。定義矩陣J的第i個特征根λi對矩陣中某一參數b的一階靈敏度為：

式中：mi和ni分別為第i個振蕩模式的標準化左特征向量和右特征向量。假設?λi/?b=p+jp，其中，p、q分別為靈敏度實部和虛部，若p＜0，有利于提高系統穩定性；若p＞0，不利于改善系統穩定性。

選取系統狀態空間模型矩陣中貢獻較大的狀態變量對應行列位置添加元素，根據第2 章的參與因子分析可知，狀態變量icdq對系統諧波不穩定貢獻較大，故選取矩陣AT中狀態變量icdq對應的二階方陣對角線位置分別添加擾動元素±b1/L1(b1＞0)和±b2/L1(b2＞0)，即矩陣AT中A11+DdBc1Tp1的位置添加元素F=[±b1/L1，0；0，±b2/L1]（b1＞0，b2＞0），得矩陣ATb如附錄B 式（B2）所示。

矩陣ATb中關于參數b1、b2的偏導數分別如附錄B 式（B3）和式（B4）所示，式（B3）和式（B4）中f1=[±1/L1，0；0，0]，f2=[0，0；0，±1/L1]。由第2 章可知，λ27，28是系統諧波不穩定的主導特征根，故需重點關注其受參數b1和b2的影響。分別對矩陣ATb中所添加元素進行靈敏度分析，如表3 所示。

表3 b1和b2的參數靈敏度分析Table 3 Parameter sensitivity analysis of b1 and b2

為實現等效控制，僅考慮添加的元素同號情況，故添加元素F1=[b1/L1，0；0，b2/L1]（b1＞0，b2＞0）的參數總靈敏度實部為：

添加元素F2=[-b1/L1，0；0，-b2/L1]（b1＞0，b2＞0）的參數總靈敏度實部為：

綜上可知，添加F1=[b1/L1，0；0，b2/L1]（b1＞0，b2＞0）時，參數總靈敏度實部為正，使得特征根λ27，28向右半平面移動，不利于系統穩定性改善；而添加F2=[-b1/L1，0；0，-b2/L1]（b1＞0，b2＞0）時，參數總靈敏度實部為負，使得特征根λ27，28向左半平面移動，有利于系統穩定性改善，提高了穩定裕度。

3.2 穩定性改善的控制策略推導

在矩陣AT中添加元素F2=[-b1/L1，0；0，-b2/L1]（b1＞0，b2＞0）得矩陣ATb1，為推導穩定性改善控制策略，根據矩陣相似變換將添加元素F2變換到控制行，即狀態變量xcdq所在行，選取初等行變換矩陣R和列變換矩陣R-1分別如附錄B 式（B5）和式（B6）所示，式（B5）和式（B6）中I為與其行列對應階數的單位矩陣，由于控制延時環節取四階Pade 近似模擬，故Dd=[1，0；0，1]，從而可得U1=[2b1/Udc0，0；0，2b2/Udc0]，利用RATb1R-1得到相似變換后的矩陣ATb2，如附錄B 式（B7）所示。

定義矩陣ATb2中電流內環積分系數對應狀態變量為與附錄B 式（B1）對比，得到以下關系式：

上文已說明鎖相環對諧波振蕩影響較小，故可忽略Δθ，將新變量x'cdq代入式（11），則可得為：

將式（33）反映到電流內環控制電路中，假設b1=b2=b，則故可知，通過添加元素F2后，得到的新變量相當于在原變量mdq基礎上增加icdq的反饋環節，即在控制電路中添加了逆變側電感電流ic的反饋信號，比例系數為2b/Udc0，如附錄A 圖A8 所示。

3.3 改善控制策略對諧波不穩定的影響

以電流環參數kp=0.208、ki=40 為例分析比例系數中b增大時系統的穩定性，圖4 為相應的根軌跡，其中，b以步長1 從0 增加至30。從圖4 可以看出，隨著b的增大，系統的2 對主導特征根從右向左移動，當b=19 時，主導特征根穿過虛軸進入左半平面，系統處于穩定狀態。由此可知，添加逆變側電感電流反饋控制可抑制系統諧波不穩定。

圖4 b 變化時的系統根軌跡Fig.4 Root locus of system when b changes

通過對比電網阻抗和電流環控制參數的穩定區域來分析添加逆變側電感電流反饋控制對系統穩定性的影響。當b=19，Lg從0.2 mH 以步長0.4 mH 逐漸增加。附錄A 圖A9 為添加逆變側電感電流反饋后Lg變化時的系統根軌跡。由圖A9 可知，隨著Lg的增大，系統的2 對主導特征根從左向右移動，當Lg=11.8 mH 時，2 對主導特征根穿過虛軸進入右半平面，而當Lg=18.4 mH 時，2 對主導特征根返回到左半平面，對比未添加逆變側電感電流反饋時Lg的不穩定區間，表明添加逆變側電感電流反饋控制后縮小了Lg的失穩范圍。

附錄A 圖A10 為添加逆變側電感電流反饋前后kp和ki的穩定域。圖中：綠色區域表示未添加逆變側電感電流反饋的穩定域；紅色區域表示添加逆變側電感電流反饋后增加的穩定域。由圖A10 可知，當添加了逆變側電流反饋控制時，電流內環控制參數kp和ki的穩定范圍增大，為電流環控制器參數的調整提供了更大自由度。

4 實驗驗證

為了驗證上述理論分析的正確性，本文基于實時仿真機RT-LAB 構建了硬件在環實驗平臺，所述實驗平臺照片如附錄A 圖A11 所示，在RT-LAB 中搭建了圖2 所示的含LTC 的三相并網逆變器系統主電路拓撲，其中，具有頻變特性的輸電纜模型由OPAL-RT 中 ARTEMIS-SSN 庫提供。 采用MC56F84789 DSP 為核心的控制器硬件架構，實際控制器和RT-ALB 之間通過采樣信號的交互和控制脈沖信號的發送完成閉環控制，實驗機箱為OP4510，通過RT-LAB 的I/O 口測量實驗波形，具體的實驗參數與表1 和表2 相同。

設置模型1 和2 分別表示為分布參數模型和分布-頻變參數模型。為了對比分析兩個模型在不同電網阻抗條件下的穩定性，論文設置了2 種場景：

1）場景1：L=12 km 時，Lg分別取2.6、4.2、7.8 mH。

2）場景2：L=42 km 時，Lg分別取1.5、2.8、5.3 mH。

進一步，根據第2 章的理論分析其穩定性，如附錄A 圖A12 所示，場景1 和場景2 對應不同Lg的穩定性判定結果如表4 所示。由表4 可知，2 種場景下，唯一區別是僅當Lg=2.8 mH 或Lg=4.2 mH 時，模型1 和2 分別對應的系統是不穩定和穩定的，故實驗結果只需與該理論分析結果一致，即可驗證本文理論分析的準確性，同時也說明忽略線路參數頻變特性，將導致系統穩定性的誤判。

表4 2 個場景下不同Lg的穩定性Table 4 Stability of different Lg in two scenarios

圖5 為2 個仿真場景下模型不同時并網逆變器的輸出電流波形。由圖5（a）可知：場景1 取Lg=2.8 mH，當線路采用模型2 時，并網電流波形穩定；但切換到模型1 后，并網電流波形發生振蕩，系統失穩。類似地，由圖5（b）可知：場景2 取Lg=4.2 mH，當線路采用模型2 時，并網電流波形穩定；但切換到模型1 后，并網電流波形發生振蕩，系統失穩，實驗結果與附錄A 圖A2 所得理論結果相一致。

圖5 2 個場景下的并網電流波形Fig.5 Waveforms of grid-connected current in two scenarios

圖6 為不同有功功率下的并網電流波形及諧波分析，其中，圖6（a）為并網逆變器的有功功率由15 kW 變化到21.5 kW 時的實驗結果。從圖6 中可以看出，當有功功率為15 kW 時，并網電流波形良好，系統穩定，但切換到21.5 kW 后，并網電流波形發生振蕩，系統失穩。圖6（b）為切換到有功功率21.5 kW 后，系統發生諧波不穩定時a 相電流頻譜（快速傅里葉變換（FFT）基頻為5 Hz，THD 表示總諧波畸變率），a 相電流FFT 分析表明振蕩頻率為1 870 Hz，與理論分析所得諧振頻率基本一致，由此說明了理論模型構建的正確性。

圖6 不同有功功率下的并網電流波形及諧波分析Fig.6 Waveforms of grid-connected current and harmonic analysis with different active power

附錄A 圖A13 為延遲時間Td=139 μs 時系統不穩定的實驗結果，其中，圖A13（a）至（b）分別為并網電流和PCC 電壓的穩態波形。可以看出，當Td=139 μs 時，并網電流和PCC 電壓的波形嚴重惡化，系統處于不穩定狀態，驗證了圖3（a）中Td大于137 μs會導致系統出現失穩現象的理論結果。

附錄A 圖A14 為ki=40 時kp變化的并網電流波形，結果表明隨著kp從0.190 增加至0.214，并網電流波形質量逐漸惡化。當kp為0.19 時，并網電流波形良好，而當kp為0.198 時，如圖A14（b）所示，并網電流波形開始稍有畸變，但系統處于穩定狀態；當kp為0.206 和0.214 時，并網電流波形質量嚴重惡化，系統失穩。實驗結果表明，隨著kp的增大，系統逐漸進入不穩定狀態，同時也驗證了圖3（b）中kp大于臨界值0.202 時會導致系統失穩的理論分析結果。

附錄A 圖A15 為Ⅰ段區間不同電纜長度L的并網電流波形，當L=27 km 時，如圖A15（a）所示，并網電流波形良好，系統穩定；當L=33 km 時，如圖A15（b）所示，并網電流波形質量嚴重惡化，系統失穩，驗證了L大于28.5 km 會導致系統不穩定的理論分析。如圖A15（c）所示，當L=38 km，大于臨界值36.5 km 時，并網電流波形良好，系統重新處于穩定狀態。實驗結果與圖A6（a）所得理論分析結果相吻合，驗證了隨著電纜長度增加時，系統穩定性并不是逐漸降低，而是存在一種不連續穩定區域的結論。電纜長度在Ⅰ段和Ⅱ段區間對系統諧波不穩定影響規律類似，由于篇幅有限，本文不作分析。

附錄A 圖A16 為不同網側等效電感Lg的并網電流穩態波形。如圖A16（a）所示，當Lg=2 mH 時，并網電流波形良好，系統穩定；當Lg=5 mH 時，如圖A16（b）所示，并網電流波形質量嚴重惡化，系統失穩，驗證了Lg大于3 mH 時會導致系統不穩定的理論分析；從圖A16（c）可以看出，當Lg=17 mH，大于臨界值15.8 mH 時，并網電流波形良好，系統重新處于穩定狀態，實驗結果與圖A9 所得理論分析結果相吻合。

附錄A 圖A17 為鎖相環帶寬變化時并網逆變器輸出電流波形，其中，鎖相環帶寬從10 Hz 變為50 Hz，并網電流均保持穩定，與圖3（c）所得理論分析結果相吻合。外環控制器帶寬變化時并網電流波形如圖A18 所示，其中，外環控制器帶寬從30 Hz 變為80 Hz，并網電流均保持穩定，從而說明外環控制器對系統諧波振蕩影響很小。

基于RT-LAB 平臺搭建如附錄A 圖A8 所示的逆變器并網系統主電路拓撲，并在控制程序中實現逆變側電感電流反饋控制。當電流內環控制參數kp=0.208 和ki=40 時，圖7 為不同參數b下的并網電流波形。當參數b=17，如圖7（a）所示，此時并網電流質量嚴重惡化，系統失穩，當參數b增大到22 時，如圖7（b）所示，系統波形良好，處于穩定狀態。實驗結果與圖4 所得理論分析結果相符。

圖7 不同參數b 下的并網電流波形Fig.7 Waveforms of grid-connected current with different values of parameter b

5 結語

本文建立了考慮LTC 特性的逆變器并網系統高頻狀態空間模型，通過參與因子和根軌跡法研究了系統諧波不穩定機理及關鍵影響因素，進一步基于系統狀態空間模型提出了改善系統穩定性的方法，并通過與RT-LAB 實驗結果進行對比，驗證了本文穩定性分析及所提出穩定性改善方法的正確性。得到如下結論：

1）本文所提出的含頻變LTC 的交流系統高頻狀態空間模型能夠準確反映逆變器并網系統的高頻諧波振蕩特性。

2）電纜線路參數的頻變特性對系統穩定性影響不容忽視。此外，電纜長度變化會影響系統諧波穩定性，當電纜長度增加時，系統的穩定性并不是逐漸降低，而是存在一種不連續穩定區域，且電纜長度在Ⅰ段和Ⅱ段區間對系統穩定性的影響規律基本相同。

3）基于根軌跡變化規律，增大控制延時及電流內環比例系數會引發系統諧波不穩定現象，而電網阻抗逐漸增加時，系統穩定性與電網阻抗之間并不具有線性關系，存在不連續穩定區間。

4）提出了基于靈敏度分析和矩陣相似變換的諧波不穩定抑制方法，可有效降低系統諧波不穩定的風險。

本文的研究僅針對電網電壓平衡情況下分析LTC 特性對并網系統諧波不穩定的影響，后續工作將基于電網電壓不平衡或輸電纜線路參數不對稱情況，開展相關的逆變器并網系統諧波不穩定性問題研究。

附錄見本刊網絡版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網絡全文。