初中數學數與式及圖形的規律問題剖析及教學啟示

摘要：數與式及圖形的規律問題是初中數學教學的重點和中考的難點之一.文章分析了數與式的規律問題以及圖形的規律問題的考查特點、考查要求和解題路徑等，并得出相應的教學啟示.

關鍵詞：初中數學；規律試題；教學啟示

1 數與式的規律問題

觀察下列按順序排列的等式：a1=1-13，a2=12-14，a3=13-15，a4=14-16，……，試猜想第n個等式（n為正整數）：an=.

該題屬于數與式的規律問題.下面對此類問題進行剖析.

（1）題型分類

數與式的規律類問題的題型可以分為以下幾類：①數列問題.考查數列中數的排列規律，通常包括等差數列和等比數列的性質，如給出部分項或規律，要求求出指定項或下一項的值.②數的變換問題.類似于圖形的變換問題，但是涉及的是數的變換規律，可能涉及加、減、乘、除等運算，要求根據規律找出下一個數.③方程式的規律問題.考查的是方程式或等式中的規律，可能涉及代數式的變換、等式的性質等，要求根據規律解方程或等式.④函數的性質問題.這類問題考查的是函數的性質和特點，可能涉及函數的奇偶性、周期性、增減性等，要求根據給定的條件確定函數的性質或找出符合條件的函數.

（2）解題路徑

仔細閱讀題目，理解問題所描述的情境和要求，確保對問題有清晰的理解；觀察已知數據或情境中的規律，這可能涉及數、方程式等方面的規律.嘗試找出數、方程式之間的關系，可能會出現等差數列、等比數列等規律；根據觀察到的規律，嘗試歸納出規律性的特點或性質，建立解題的思路和方法；基于歸納總結的結果，建立解題的假設或猜想，這個假設可以是對規律的描述或對下一個數或方程式的預測；利用假設所描述的規律性特點，驗證其是否符合已知條件或題目要求，并通過舉例、計算、推理等方法來驗證假設的正確性；一旦驗證了假設的正確性，就可以將所得的規律推廣應用到解決其他類似的問題中，進而更好地理解問題的本質，并提高解題的能力.

2 圖形的規律問題

如圖1，是由若干個邊長為1的小正三角形組成的圖形，第2個圖比第1個圖多一層，第3個圖比第2個圖多一層，依次類推.

（1）第9個圖中陰影三角形的個數為，非陰影三角形的個數為；

（2）第n個圖中，陰影部分的面積與非陰影部分的面積比是441∶43，求n.

該題屬于圖形的規律問題.此類問題的考查要求、考查特點與解題路徑如下：

（1）考查要求

初中數學圖形的規律問題是培養學生觀察、歸納、總結能力的重要途徑之一，圖形規律問題命題考查要求：①形狀變換規律.給出一系列圖形，要求學生觀察其中的規律，推測出每個圖形的變換規律，這可能涉及到平移、旋轉、鏡像等操作.②圖形數量規律.給出一組圖形，要求學生根據已有的圖形推測出下一個或幾個圖形，這可能涉及到圖形的增減、重復等規律.③圖形組合規律.給出一些簡單的圖形，要求學生將它們組合成一個復雜圖形，并找出組合規律.④圖形序列規律.給出一系列圖形，要求學生找出其中的規律，并根據規律補充或調整序列中的圖形.⑤圖形對稱規律.給出一些圖形，要求學生找出其中的對稱性質，這可能是軸對稱、中心對稱等.⑥圖形嵌套規律.給出一些圖形，要求學生觀察其中的嵌套關系，推測出嵌套規律.

（2）考查特點

①多樣性.這類問題涵蓋了多種圖形，如點、線、多邊形等，以及它們的組合和變換，涉及不同類型的幾何圖形，考查學生對不同幾何形狀的特征和性質的理解.

②邏輯性.圖形規律問題通常要求學生發現圖形之間的規律，并據此進行推理和歸納.學生需要通過分析圖形的變化規律，進行邏輯推理，以確定序列中下一個圖形的形態.

③創造性.解決圖形規律問題需要學生具備一定的創造性，需要能夠靈活運用幾何知識和規律，提出可能的解決方案，并驗證其正確性.

④抽象性.圖形規律問題有時涉及抽象的圖形變換或圖形序列，學生需要能夠理解和處理這種抽象性.例如，給定一個圖形序列，要求學生找出其中的規律，并根據規律繪制下一個圖形，但序列中的圖形并非常見的幾何圖形.

⑤實用性.雖然圖形規律問題通常是以抽象的形式出現，但解決這些問題的方法和思維過程在實際生活中也具有一定的應用性.通過解決這類問題，學生可以培養發現規律、分析問題和解決問題的能力.

（3）解題路徑

圖形的規律問題具體解題路徑如圖2所示.

具體來看：①理解問題.仔細閱讀問題，確保理解問題陳述中提到的所有條件和要求.理解問題的關鍵是確定給定的圖形序列或圖形變換的特點和規律.②觀察圖形序列.仔細觀察給定的圖形序列或圖形變換，注意圖形的形態、大小、位置等方面的變化，嘗試找出其中的規律性.③尋找規律.在觀察圖形序列的過程中，尋找圖形的規律.④驗證規律.通過對圖形序列中的幾個圖形進行驗證，確認自己找到的規律是否適用于整個序列.⑤推測下一個圖形.基于找到的規律推測出下一個圖形的形態.這需要對規律進行推理和歸納，從而確定下一個圖形的特征.⑥檢查答案.繪制或構造出推測的下一個圖形，然后與原始序列中的下一個圖形進行比較，檢查推測的圖形是否符合規律，確保推測的圖形與已知的規律一致.⑦解釋規律.如果可能的話，嘗試解釋所發現的規律.可以嘗試用文字、圖表或其他形式清晰地表達所發現的規律，并思考這些規律在數學或實際生活中的應用.⑧拓展思考.如果時間允許，可以考慮拓展，探索更復雜或更抽象的圖形規律問題，或將所學的規律應用到其他領域或問題中.

3 教學啟示

3.1 挖掘教材中資源，提高學生的歸納推理能力

教師要深入挖掘和高效使用教材中的資源，不斷提高學生的歸納推理能力.具體方式包括：①案例分析.在教材中選擇具有代表性的案例，引導學生分析案例中的規律和共性.②圖形分析.利用教材中的圖形問題或案例，讓學生觀察圖形的特征和變化規律，從中推斷出規律性，并進行歸納總結.③故事情境.利用教材中的故事情境或實際問題，讓學生從中提取信息、總結規律，并進行歸納推理.

3.2 把握不同題型考查要點，加強針對性指導

教師可以引導學生靈活運用各種解題方法，例如數學歸納法、遞推法、代數求解等，針對不同類型的規律問題選擇合適的方法進行解答；在解題過程中，教師可以引導學生思考類似的問題，通過對比、類比等方式加深對規律的理解和應用，讓學生在解決一個問題的基礎上，進一步拓展思維，進而解決更加復雜或抽象的問題；教師應重視學生解題的思考過程，而不僅僅關注答案正確與否.鼓勵學生詳細描述解題思路和方法，展示解題的邏輯性和合理性，幫助學生發現問題解決中的思維誤區和改進空間.

3.3 教師加強命題設計，提高教學質量

教師在設計相關試題時應當注意以下幾點：①設計豐富多樣的規律問題，涵蓋不同類型的數列、等式、不等式、圖形序列等.包括基本的等差數列、等比數列等，也可以涉及復雜的函數關系、圖形變換規律等.②根據學生的學習水平和能力，合理設置問題的難度.命題既要考查基礎知識的掌握情況，又要有一定的拓展性和深度，能夠引導學生進行思考和探索.③設計與實際生活相關的應用性問題，讓學生將數與式及圖形規律與實際情境相結合，提高問題解決的實用性和綜合運用能力.④針對不同水平和能力的學生，設計不同難度和類型的問題，以滿足不同學生的學習需求.