初中數學最值問題的解法

摘要：初中數學中，最值問題是一類非常基礎，也是經常出現的問題.在初中數學的學習過程中，學生需要熟練掌握最值問題的各種解法，并能夠根據具體題目的情況選擇合適的解法進行求解.本文中主要針對幾何最值問題、絕對值最值問題、與圓有關的最值問題、方程最值問題等具體解法進行探究.

關鍵詞：初中數學；最值問題；解法

最值問題是初中數學教學中學生普遍感覺困難的問題，由于其范圍較廣，命題角度較為寬泛，學生常常無從下手，無法找到合適的切入點，而且這也是近些年來中考的重要考點.為了打開學生思維，提升解析和解題能力，幫助學生從困境中解脫出來，以下針對初中數學中幾何最值問題、絕對值最值問題、與圓有關的最值問題、方程最值問題等的解法進行探究.

1 幾何最值問題的解法

針對初中數學中的幾何最值問題，在解題過程中，根據不同特征進行轉化是解決這一問題的關鍵.解決方法包括：①三角形的三邊關系——兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；②兩點之間線段最短；③連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；④圓的所有弦中，直徑最長[J].

例1P是∠AOB內一個定點，點M和點N分別在邊OA和邊OB上運動，假如∠AOB為45°，OP的長為32，那么△PMN的周長最小值為多少？

解：分別以邊OA和邊OB為對稱軸，作出點P的對稱點C和D，連接OC和OD，那么點M、點N分別是CD和OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，即CD的長.

因為P，C關于OA對稱，所以

∠COP=2∠AOP，OC=OP.

同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD.

所以∠COD=∠COP+∠DOP=2∠AOB=90°.

又OC=OD，所以

△COD為等腰直角三角形.

所以=CD=2OC=2OP=6.

故△PMN的周長的最小值為6.

在初中數學幾何最值問題中，除了應用幾何圖形的性質之外，還可以將函數思想融入其中加以解決，但是這種方法存在一定難度，可以結合實際情況進行應用.

2 絕對值最值問題的解法

在初中數學中，絕對值最值問題也是學生較為熟悉的問題.這類問題在求解的過程中，最常用的方法是利用絕對值的幾何意義和數形結合思想進行分析.在教學過程中，教師要想幫助學生更好地解答絕對值最值問題，可以指導學生看到問題之后，結合題意畫出草圖，實現數字向圖形的轉化，讓解題過程變得更加直觀、形象，進而從草圖中找到解決問題的關鍵，最終獲取正確答案[J].

2.1 直接推理法

例2已知alt;－b，ab＞0，則|a|－|b|+|ab|+|a+b|等于（）.

A.2a+2b+abB.－ab

C.－2a-2b+abD.－2a+ab

解：由abgt;0，得

a，b同號.

又alt;-b，所以

a+blt;0.

所以a，b同為負數.

所以|a|－|b|+|a+b|+|ab|=－a－（－b）－

（a+b）+ab=－2a+ab.

故選答案：D.

評析：本題是直接應用有理數加法法則和有理數乘法法則確定字母符號.

2.2 巧用數軸法

例3假設有理數a，b，c在數軸上對應的點如圖1所示，化簡|b－a|+|a+c|+|c－b|.

解：由圖可知，agt;0，blt;0，clt;0，

且|c|gt;|b|gt;|a|.

所以b－alt;0，a+clt;0，c－blt;0，由此可得

|b－a|=a－b，|a+c|=－（a+c），

|c－b|=b－c.

故|b－a|+|a+c|+|c－b|=a－b－（a+c）+b－c=a－b－a－c+b－c=－2c.

評析：本題是利用數軸通過數形結合的方式明確字母的大小順序，進而去掉絕對值.

3 與圓有關的最值問題的解法

針對與圓有關的最值問題，求解方法包括：①根據“三角形三邊關系”求解；②動中有靜，抓住不變量求解；③旋轉比產生圓，多數情況下在相切時產生最值；④四點共圓（補充）.

解題策略包括：①直觀感覺，畫出圖形；②特殊位置，比較結果；③理性分析動點運動過程中的不變條件，通過幾何構建，尋找動量和定量之間的關系，建立等式，進行轉化[J].

3.1 相切的應用（有公共點、最大或最小夾角）

例4如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上一點O為圓心，OA為半徑作⊙O，假如⊙O和邊BC一直存在交點（包括B，C兩點），求線段AO的取值范圍.

分析：首先，結合題意畫出圖形，然后解直角三角形，求出AC的長度，在這里分兩種情況討論就可以得到答案.

解：當⊙O過點C時，AC為直徑，BC與圓切切.

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，所以

AC=cos 30°[J]5AB=23，則

OA=3.

當⊙O經過點B時，如圖3所示，作OD⊥AB于點D，則

AD=12AB=2.

由∠A=30°，得

cos A=ADOA=32，所以

OA=433.

若⊙O與邊BC始終存在交點，那么線段AO的取值范圍為3≤OA≤433.

3.2 正弦定理

例5如圖4所示，△ABC中，∠ABC=45°，

∠BAC=60°，AB=4，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑，作⊙O分別與AB，AC相交于點E，F，連接E，F，求線段EF長度的最小值.

分析：由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短.

過點O作OH⊥EF于點H，連接OE，OF時，EF=2OE [J]5sin∠EOH=2OE[J]5sin 60°，當半徑OE最短時，EF的長度也最短.

解：由垂線段的性質可知，在△ABC中，AD是BC邊上的高時，直徑AD最短.如圖5，連接OE，OF，過點O作OH⊥EF，垂足為H.

因為在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4，所以

AD=BD=22，此時圓的直徑為22.

根據圓周角定理可得

∠EOH=∠HOF=∠BAC=60°.

所以，在Rt△EOH中，

EH=OE[J]5sin∠EOH=

2×32=62.

根據垂徑定理，可得EF=2EH=6.

所以EF長度的最小值為6.

4 代數式最值問題的解法

針對代數式的最值問題，可以應用非負數的性質進行解答.在實數范圍內，m2+n2+p≥p，當且僅當m=n=0時等號成立，也就是m2+n2+p的最小值為p[J].

例6假設a，b為實數，求a2+ab+b2－a－2b的最小值.

解：a2+ab+b2－a－2b=a2+（b－1）a+b2－2b=a+b－122+34b2－32b－14=a+b－122

+34（b－1）2－1≥－1，即a2+ab+b2-a-2b≥-1.

當a+b－12=0，b－1=0，即a=0，b=1時，上述不等式等號成立.

因此，a2+ab+b2－a－2b的最小值為－1.

總之，最值問題在初中數學教學中屬于重點內容，不管是平時考試還是中考，都會出現這種最值問題.因此，在初中數學解題教學過程中，教師要重視這類問題的總結、梳理與歸納，幫助學生明確最值問題的處理策略，了解不同最值問題的解決辦法，進而靈活加以應用.

參考文獻：

[1]葛于衡.如何解答初中數學最值問題[J].理科愛好者，2023（1）：125-127.

[2]孫偉迪.初中數學二次函數面積最值問題教學初探[J].數理天地（初中版），2022（22）：27-28.

[3]江桃.立足多元方法 凸顯數學思維——初中數學函數最值大單元復習探索[J].試題與研究，2022（30）：25-27.

[4]田海霞.初中數學幾何圖形中有關最值問題的解題思路分析[J].數學學習與研究，2022（25）：155-157.