二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)常見題型考查特點分析

摘要：文章分析了二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題，以及二次函數(shù)圖象判斷共4種題型的考查特點，并得出相應(yīng)的教學(xué)啟示.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；教學(xué)啟示

1 二次函數(shù)與不等式

例1（2024年廣東省廣州市中考第8題）函數(shù)y1=ax2+bx+c與y2=kx的圖象如圖1所示，當(dāng)（）時，y1，y2均隨著x的增大而減小.

A.xlt;-1

B.-1lt;xlt;0

C.0lt;xlt;2

D.xgt;1

試題分析：根據(jù)二次函數(shù)圖象可知，當(dāng)xgt;1時，y1隨著x的增大而減小.同樣，當(dāng)xgt;1時，反比例函數(shù)y2隨著x的增大而減小．故選項D正確.本題考查反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．

考查特點：①理解二次函數(shù)和不等式的基本概念.考題通常要求學(xué)生理解二次函數(shù)的基本概念，如頂點、開口方向，以及不等式的基本性質(zhì)和解法.例如，題目可能會給出一個二次函數(shù)的表達式，要求學(xué)生判斷其開口方向與頂點坐標(biāo)，然后結(jié)合不等式求解特定條件下的取值范圍.②解決實際問題.考題往往設(shè)計為與實際問題相關(guān)，考查學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際情境中的能力.③綜合運用二次函數(shù)與不等式.考題可能要求學(xué)生綜合運用二次函數(shù)和不等式的知識，例如通過分析二次函數(shù)的性質(zhì)來解不等式，或者利用不等式來限制二次函數(shù)的取值范圍.④探索性質(zhì)與應(yīng)用.有些題目可能要求學(xué)生通過探索二次函數(shù)和不等式的性質(zhì)來解決問題，例如研究二次函數(shù)的最值點與不等式的關(guān)系，或者通過不等式描述某種條件下的解決方案.⑤解題思路靈活多變.考題設(shè)計靈活，要求學(xué)生具備靈活的解題思路，既能夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治鰡栴}，又能夠靈活運用數(shù)學(xué)工具解決實際問題.

2 二次函數(shù)的對稱性

例2（2024年福建省中考第10題）已知二次函數(shù)y=x2-2ax+a（a≠0）的圖象經(jīng)過Aa2，y1，B（3a，y2）兩點，則下列判斷正確的是（）.

A.可以找到一個實數(shù)a，使得y1gt;a

B.無論實數(shù)a取什么值，都有y1gt;a

C.可以找到一個實數(shù)a，使得y2lt;0

D.無論實數(shù)a取什么值，都有y2lt;0

試題分析：因為二次函數(shù)的解析式為y=x2-2ax+a（a≠0），所以二次函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為x=a，頂點坐標(biāo)為（a，a-a2）.當(dāng)x=a2時，y1=a24-a2+a=a-34a2.當(dāng)agt;0時，0lt;a2lt;a，則agt;y1gt;a-a2;當(dāng)alt;0時，alt;a2lt;0，則a-a2lt;y1lt;a，故選項A，B錯誤.因為當(dāng)agt;0時，0lt;alt;2alt;3a，由二次函數(shù)對稱性可知，y2gt;agt;0.

當(dāng)alt;0時，3alt;2alt;alt;0，由二次函數(shù)對稱性可知，y2gt;a，但y2不一定大于0，故選項C正確，選項D錯誤.

考查特點：①利用頂點與圖形的對稱性求解問題.學(xué)生需要理解二次函數(shù)圖象的頂點及對稱性質(zhì)，題目設(shè)計可能要求學(xué)生利用這一性質(zhì)解決問題.②利用軸對稱性求解問題.二次函數(shù)的圖象關(guān)于其軸線對稱.學(xué)生需要理解這一性質(zhì)，并能夠利用軸對稱性解決問題.③探索性質(zhì)與應(yīng)用.有些題目可能要求學(xué)生通過探索二次函數(shù)的對稱性質(zhì)來解決問題.④綜合運用對稱性求解問題.有些題目可能要求學(xué)生綜合運用頂點對稱性和軸對稱性來解決問題.

3 二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題

例3（2024年連云港市中考第8題）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a＜0）的頂點為（1，2）．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：

①abc＜0；

②當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小；

③若ax2+bx+c＝0的一個根為3，則a=-12；

④拋物線y＝ax2+2是由拋物線y＝ax2+bx+c向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的．其中一定正確的是（）.

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

試題分析：根據(jù)頂點坐標(biāo)判斷b，c的正負(fù)性，由此判斷①；根據(jù)開口方向和對稱軸判斷②；用a表示b，c，再解方程判斷③；根據(jù)平移法則判斷④.

平移問題：（1）考查內(nèi)容.考查學(xué)生對二次函數(shù)圖象在平面上平移的理解和應(yīng)用能力.（2）特點.學(xué)生需要理解平移的概念，即函數(shù)圖象在平面上沿著某個方向移動一定的距離.題目可能要求學(xué)生根據(jù)平移后的函數(shù)圖象確定平移前的函數(shù)表達式，或者根據(jù)平移前后的函數(shù)圖象確定平移的方向和距離.

翻折問題：（1）考查內(nèi)容.考查學(xué)生對二次函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)軸的翻折變換的理解和應(yīng)用能力.（2）特點.學(xué)生需要理解翻折的概念，即函數(shù)圖象關(guān)于某條直線對稱.題目可能要求學(xué)生根據(jù)翻折后的函數(shù)圖象確定翻折前的函數(shù)表達式，或者根據(jù)翻折前后的函數(shù)圖象確定翻折的軸.

旋轉(zhuǎn)問題：（1）考查內(nèi)容.考查學(xué)生對二次函數(shù)圖象在平面上旋轉(zhuǎn)的理解和應(yīng)用能力.（2）特點.學(xué)生需要理解旋轉(zhuǎn)的概念，即函數(shù)圖象在平面內(nèi)以某個點為中心旋轉(zhuǎn)一定的角度.題目可能要求學(xué)生根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象確定旋轉(zhuǎn)前的函數(shù)表達式，或者根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的函數(shù)圖象確定旋轉(zhuǎn)的中心和角度.

4 二次函數(shù)圖象判斷

例4（2023年安徽省中考第9題）已知反比例函數(shù)y=kx（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y=-x+b的圖象如圖2所示，則函數(shù)y=x2-bx+k-1的圖象可能為（）.

試題分析：設(shè)P（1，k），Q（k，1），則kgt;1，將點Q的坐標(biāo)代入y=-x+b，得k=b-1，代入二次函數(shù)的解析式，可知當(dāng)x=1時，y=-1.又y=x2-bx+k-1的對稱軸為直線x=b2gt;1，則拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，再結(jié)合與y軸的交點情況即可作出判斷.

性質(zhì)判斷：①考查內(nèi)容.考查學(xué)生對二次函數(shù)圖象性質(zhì)的判斷，如開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸等.②特點.學(xué)生需要根據(jù)函數(shù)表達式或圖象特征來判斷函數(shù)圖象的性質(zhì)，需要綜合運用二次函數(shù)的相關(guān)知識進行推理.

圖象比較：①考查內(nèi)容.考查學(xué)生對不同二次函數(shù)圖象的比較和分析，包括形狀、位置和性質(zhì)等方面.②特點.學(xué)生需要通過比較兩個二次函數(shù)的函數(shù)表達式或圖象特征來判斷它們的關(guān)系，如大小、相對位置等.

應(yīng)用分析：①考查內(nèi)容.考查學(xué)生對二次函數(shù)圖象在實際問題中的應(yīng)用分析能力，如最值問題、圖象的變換等.②特點.題目可能結(jié)合實際問題，要求學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖象的特點來解決，需要學(xué)生將二次函數(shù)的理論知識與實際情境相結(jié)合.

5 教學(xué)啟示

5.1 加強分類訓(xùn)練

教師在二次函數(shù)的教學(xué)中要加強分類訓(xùn)練，具體做法包括：①分類整理題目.教師可以根據(jù)題目的類型、難度等特點，將二次函數(shù)試題進行分類整理，這有助于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)和掌握各種題型的解題方法.②分層次訓(xùn)練.將試題按照難度分為不同層次，從簡單到復(fù)雜逐步進行訓(xùn)練.③針對性練習(xí).針對學(xué)生掌握程度和存在的問題，有針對性地設(shè)計練習(xí)題目，幫助學(xué)生加強薄弱環(huán)節(jié)，提高解題能力.④拓展延伸.在基礎(chǔ)訓(xùn)練之外，設(shè)置一些拓展性較強的綜合性題目，幫助學(xué)生將所學(xué)知識進行整合和應(yīng)用.

5.2 總結(jié)解題策略

求解初中二次函數(shù)題時，可以采用一系列解題策略，以幫助學(xué)生理解并解決不同類型的問題.具體策略包括：①習(xí)題分類.將二次函數(shù)的習(xí)題按照題型分類，對每種類型的題目進行系統(tǒng)講解，使學(xué)生能夠清晰地理解每種類型題目的解題方法.②強調(diào)基本方法.針對不同類型的題目，明確解題的基本方法，幫助學(xué)生理解每種方法的適用條件和步驟，并進行示范演練.③實例演練.提供大量的習(xí)題實例，涵蓋不同難度和類型的題目，以鞏固學(xué)生的解題能力.④引導(dǎo)問題求解.提供一些實際問題，讓學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際情境中，培養(yǎng)其探索和創(chuàng)新意識.