巧用逆向思維，提升初中數(shù)學教學效果

錢娟

在初中數(shù)學教學指導中，逆向思維的運用能夠啟發(fā)學生的思考，促使學生從新的角度去理解知識、解答問題，鍛煉學生的思維能力。

逆向思維就是從與常規(guī)思維相反的方向去認識問題，從對立的角度去思考問題，尋求解題途徑，解決問題的一種思想方法。新修訂的義務(wù)教育數(shù)學課程標準對學生的學科核心素養(yǎng)發(fā)展提出了明確要求，強調(diào)要讓學生“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”，基于此，在義務(wù)教育數(shù)學課程教學中引入逆向思維、提升學生的思維品質(zhì)，則成為課程教學的重要任務(wù)。初中數(shù)學教材中體現(xiàn)逆向思維的材料很多，如概念、定義、定理、公式、法則、運算與逆運算、分析與綜合等，這些都為逆向思維的滲透提供了豐富的素材，因此在課程改革背景下，教師應(yīng)加強課堂建設(shè)，并引入逆向思維，以促進學生思維品質(zhì)發(fā)展，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、設(shè)疑激思，在概念教學中運用逆向思維

數(shù)學概念是數(shù)學學科的基石，準確掌握數(shù)學概念是學生形成學科核心素養(yǎng)的前提。在初中階段，數(shù)學教材中包含著許多內(nèi)涵相反或互為關(guān)系的概念，例如有理數(shù)與無理數(shù)、正數(shù)與負數(shù)、整式方程與分式方程、等式與不等式、平行與相交等內(nèi)涵相反的概念，以及互為倒數(shù)、互為相反數(shù)、互相平行等互為關(guān)系的概念。這些概念本身就是逆向思維的具體展現(xiàn)。因此，在初中數(shù)學課堂教學中，教師可以結(jié)合概念的含義來滲透逆向思維，促使學生遷移建構(gòu)數(shù)學知識，并提升思維品質(zhì)。

例如在“互為相反數(shù)”相關(guān)內(nèi)容的課堂學習中，教師有意突出概念中的逆向思維，對學生進行如下指導：第一，鏈接知識，提出相反數(shù)的概念。學生在之前已經(jīng)學過了數(shù)軸，并且對于數(shù)軸上數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系有了一定的認識。教師基于此創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)置疑問：請看課件數(shù)軸上，你能指出5和-5的點嗎？學生準確找出5和-5的點后，教師繼續(xù)提問：這兩個點到原點的距離有什么關(guān)系？學生通過觀察、分析很容易發(fā)現(xiàn)這兩段距離相等，且關(guān)于原點對稱。教師肯定了學生的回答后，繼續(xù)延伸：在數(shù)軸上，你還能找出像5和-5這樣關(guān)系的數(shù)嗎？這樣的數(shù)一共有多少對？學生通過舉例和思考，認為這樣的數(shù)有無數(shù)對，教師則根據(jù)學生的舉例引出了“相反數(shù)”的概念。在這一環(huán)節(jié)教師從學生熟悉的知識入手，并從概念本身設(shè)問，讓學生通過觀察、思考、答疑，初步感知相反數(shù)的概念，進而體會互為相反數(shù)的兩個數(shù)對中展現(xiàn)出的逆向思維。第二，示范舉例，理解概念。教師利用數(shù)軸列舉出7和-7、58和-58、10.5和-10.5、1/2和-1/2等不同的數(shù)對，讓學生通過數(shù)形結(jié)合的方法再次重申互為相反數(shù)的兩個數(shù)的特點，最后引導學生解讀這些數(shù)對中包含的互為關(guān)系，并嘗試運用思維的方法找到一個數(shù)的相反數(shù)。第三，變式訓練，強化概念。教師為學生出示習題：（1）4的相反數(shù)是多少？19的相反數(shù)是多少？（2）-17是什么數(shù)的相反數(shù)？23和哪個數(shù)互為相反數(shù)？（3）設(shè)a表示一個數(shù)，它的相反數(shù)是多少？-a一定是負數(shù)嗎？這些習題是對之前所學習內(nèi)容的變式，其中（1）和（2）雖然提問的方法不同，但是其中包含的逆向思維卻是相同的，其重點訓練學生在數(shù)軸上運用逆向思維尋找一個數(shù)的相反數(shù)的能力；（3）的難度較大，需要學生對a的具體情況進行思考，即當a是正數(shù)和負數(shù)時，相反數(shù)是-a，當a是0時相反數(shù)就是它本身。當然，在這一問題中，教師也應(yīng)提醒學生不要想當然地認為-a就一定是負數(shù)，而是應(yīng)該從數(shù)軸上進行具體分析。在這一環(huán)節(jié)，教師通過習題引導學生鞏固相反數(shù)的概念，體會其中的互為關(guān)系，同時在學生理解概念的同時鍛煉其逆向思維能力。

綜上，在互為關(guān)系的概念指導中，教師挖掘滲透概念中的逆向思維，有效奠定了學生數(shù)學知識基礎(chǔ)，同時也提升了其思維品質(zhì)。在初中數(shù)學課程教學中，教師應(yīng)對學生需要掌握的數(shù)學概念有一個整體認識，理解概念之間包含的逆向思維，并有意識地進行引導，促使學生通過概念學習構(gòu)建知識體系，同時從逆向思維的角度理解數(shù)學的本質(zhì)。

二、引導探究，在命題教學中運用逆向思維

在數(shù)學學科中，命題涵蓋了公式、法則、公理、定理等內(nèi)容，而這些內(nèi)容也是學生構(gòu)建數(shù)學知識體系的核心。在初中階段，教師需要引導學生了解、理解各種數(shù)學命題的題設(shè)與結(jié)論，能夠根據(jù)一個命題推導出其逆命題，更能夠?qū)ζ溥M行判斷和驗證。從這一教學任務(wù)來看，教師有必要引入逆向思維，促使學生從正向、反向兩個方面深入理解數(shù)學命題，進而在正逆交替中一探究竟，提高學習效果。

例如在“線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定”這部分教學指導中，由于學生剛剛學習了軸對稱的性質(zhì)，且對線段的垂直平分線有了初步的認識，所以教師在課堂上通過舊知識導入，并引導學生動手探究，探索原命題以及逆命題的表述和證明，以強化學生的逆向思維，提高數(shù)學學習效果。在課堂上教師對學生進行了如下指導：第一，復習舊知，引入課題。教師利用多媒體出示題目，引導學生復習對稱軸相關(guān)知識，促使他們鞏固舊知，同時引出垂直平分線的概念，為學生探究線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定做好準備。第二，主動探究，動手感悟。教師設(shè)計“我說你畫”的活動，要求學生根據(jù)描述按步驟繪制出相應(yīng)的圖形：（1）任意畫一條線段AB，利用尺規(guī)畫出這條線段的垂直平分線。（2）在垂直平分線上任取一點C，連接CA，CB。（3）沿垂直平分線對折，繪出折線，并觀察CA，CB的數(shù)量關(guān)系。在學生完成操作后，教師則適時提出問題：CA和CB呈現(xiàn)出怎樣的數(shù)量關(guān)系？你能用一句話來描述剛剛觀察得出的結(jié)論嗎？在學生的觀察、猜測和教師的啟發(fā)指導下，“線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等”這一命題逐漸生成，教師則以此設(shè)計證明題：請驗證“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”這一命題。為了促進學生突破難點，教師組織合作學習，并通過課堂巡視幫助學生完成證明，學生分別運用文字語言、圖形語言和符號語言來表示命題。第三，設(shè)疑激思，再次探究。在學生證明并理解了上述命題后，教師繼續(xù)引導：學習每個命題的時候我們都要探索它的逆命題是否也成立，這樣有利于我們掌握性質(zhì)定理，有助于我們進行思辨。既然如此，我們就來說一說“線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等”這一命題的逆命題是什么？逆命題是否成立呢？面對問題，許多學生對于如何寫出逆命題陷入了困惑，教師適時點撥，引導逆向思考，即分析、調(diào)換原命題的條件和結(jié)論，完成逆命題的表述。經(jīng)過嘗試、修改，學生逐漸形成了相對準確的描述：與線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上。教師將原命題和逆命題以表格的方式展現(xiàn)在課件上，引導學生進一步梳理分析，深入認識二者之間的互逆關(guān)系。接下來則引導學生仿照原命題的證明方法來驗證判斷逆命題，并再次用文字語言、圖形語言和符號語言進行表述。在這一環(huán)節(jié)，學生經(jīng)歷了從原命題到逆命題的過程，認識到了兩個命題之間的互逆關(guān)系，同時在驗證過程中也真切體會到了二者在思維上和運用上的差別，感受正向思維與逆向思維“思維路徑”的不同，而這對于學生逆向思維的培養(yǎng)是十分有益的。最后，教師結(jié)合上述表格，指導學生進行梳理和歸納，在掌握命題的同時，深入理解其中的互逆關(guān)系。

綜上，在命題教學指導中，教師結(jié)合原命題和逆命題之間的關(guān)系，引導學生實現(xiàn)從正向思維向逆向思維的過渡，讓他們逐步打破了定勢思維，從新的角度來理解和把握數(shù)學命題。

三、鞏固拓展，在解題教學中運用逆向思維

在完成新知講解后，教師通常會基于知識鞏固的目的有計劃、有針對性地設(shè)計一些練習題，并通過解題課進行講解，以加深學生對所學知識、技能的理解和認識，及時糾正學生學習中的錯誤，促使學生聯(lián)系舊知，完善知識體系，并提升認知結(jié)構(gòu)。在初中數(shù)學解題中，逆向思維是一種十分常見的解題方法。教師在解題課上一方面要引導學生運用逆向思維突破框架，找到更加便捷有效的解題方法，另一方面還應(yīng)加強逆向思維的滲透，促使學生理解舊新知識之間的關(guān)系，進而完善知識結(jié)構(gòu)。

例如在“平行四邊形的性質(zhì)和判定”的解題課上，教師對學生進行如下指導：第一，啟發(fā)回顧，梳理知識。教師利用多媒體課件展現(xiàn)思維導圖，以此呈現(xiàn)導圖中的關(guān)鍵詞，即平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定、平行線的距離以及三角形中位線定理，然后引導學生回顧所學，根據(jù)關(guān)鍵詞進行解釋。通過課堂互動，學生很快總結(jié)出這一階段所學的重要知識點，并進行了較為準確的闡述。因為平行四邊形的性質(zhì)和判定這兩部分內(nèi)容在條件和結(jié)論上就存在一定的互逆性，且在證明題的運用中也是相輔相成。所以，教師在解題課上將平行四邊形性質(zhì)和判定進行一番對比，對于學生發(fā)現(xiàn)二者之間的關(guān)系、強化知識的理解和記憶、構(gòu)建知識體系是十分必要的。同時平行四邊形的性質(zhì)和判定在運用過程中常常涉及思維互逆，這也能夠為學生解題提供明確的思路，提升學生的思維能力。第二，典例剖析，強化訓練。例如習題：E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的對角線AC上的點，CE=AF，猜想：BE與DF有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？并對你的猜想加以證明。這一題目綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)，題目要求學生先猜想后證明，這樣的提問方式能夠引導學生從問題進行逆向思考，即根據(jù)結(jié)論倒推證明過程，這是逆向思維的重要體現(xiàn)。根據(jù)本節(jié)課的知識以及對圖形的觀察，學生很容易猜想BE與DF是平行關(guān)系且長度相等。為了證明這一點，教師啟發(fā)學生可以基于BE和DF作為對邊構(gòu)建圖形，并通過確定這一圖形為平行四邊形來完成驗證猜想。學生通過連接DE和BF兩條輔助線，很快運用內(nèi)錯角相等的兩條線平行等相關(guān)知識證明了BEDF為平行四邊形，驗證了猜想。學生完成猜想與驗證后，教師及時總結(jié)，引導學生認識逆向思維，并學會用其解答問題。第三，變式訓練，拓展提高。在講解了典型例題后，教師還應(yīng)進行變式訓練，促使學生舉一反三，深入掌握數(shù)學知識，提高靈活運用逆向思維解答問題的能力。根據(jù)上一例題，教師設(shè)計了變式1：已知在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD、CB的延長線上，DF交AB于G，BE交CD于H，且∠E=∠F，求證：EH=FG。這一問題的條件雖然相較于原題做出了較大的改動，且考查內(nèi)容也更加復雜，即融合了平行四邊形的性質(zhì)和判定定理，但是解題的思路卻十分相似。教師啟發(fā)學生運用逆向思維，從問題入手來尋找答案。最后學生通過做輔助線構(gòu)建平行四邊形，并結(jié)合三角形全等的知識完成了證明。教師在學生解題后繼續(xù)出示變式2：已知O為平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，EF經(jīng)過點O，且與AB交于E，與CD交于F，求證：四邊形AECF是平行四邊形。在這一題目中教師啟發(fā)學生根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定定理的互逆性進行分析，并從問題倒推證明過程，最終通過證明EF和AE平行且相等來解答問題。教師繼續(xù)增加習題難度，突出逆向思維的訓練。變式3：在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，AE=CF，M、N分別ED、FB的中點。求證：四邊形ENFM是平行四邊形。教師將這一學習的主動權(quán)交給學生，讓學生自主解答，并闡述其中運用的逆向思維。這樣則可以幫助學生理清解題思路，培養(yǎng)逆向分析問題的能力，提升其運用所學解題的能力。第三，整理知識，歸納總結(jié)。教師針對學生在解題中出現(xiàn)的問題進行梳理，幫助學生歸納總結(jié)逆向思維運用中存在的誤區(qū)，并探究方法規(guī)律，找到運用平行四邊形性質(zhì)和判定定理解決問題的關(guān)鍵，最后建構(gòu)知識體系。

綜上，在解題課上，教師根據(jù)數(shù)學知識內(nèi)容有意識編排習題，對學生逆向思維進行針對性訓練，可以鞏固他們對知識的掌握，也可以提高其思維的靈活性。在解題指導中教師還應(yīng)注意正、逆兩種思維的轉(zhuǎn)化，利用習題有意識地指導學生實現(xiàn)從正向思維過渡到逆向思維，以提升其思維的敏捷性，提高解答問題的能力。

總之，巧用逆向思維對于提升初中數(shù)學課堂教學效果有著重要的作用。上文結(jié)合初中數(shù)學課程的相關(guān)內(nèi)容對如何在課堂上啟發(fā)學生的逆向思維提出了幾點建議，為相關(guān)研究提供了參考，但是其中依然存在諸多不足。所以在新課程標準逐步落實的過程中，教育工作者應(yīng)進一步加強教研，圍繞數(shù)學課程的特點進行探究，以更加有效的方式引入逆向思維，促進學生學科核心素養(yǎng)的發(fā)展。