數(shù)學(xué)推理的可視化教學(xué)策略

唐紅霞

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有抽象、推理和建模。其中，抽象主要是引導(dǎo)學(xué)生從生活到數(shù)學(xué)的橫向數(shù)學(xué)化過(guò)程，而推理主要是引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)的世界中進(jìn)行符號(hào)的生成、重塑和被使用。通過(guò)數(shù)學(xué)的抽象、數(shù)學(xué)的推理，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化，進(jìn)而建構(gòu)有意義、有價(jià)值的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)推理類型是豐富的，形式是多樣的，它不僅包括演繹推理，也包括合情推理。其中，合情推理可以分為歸納推理和類比推理，歸納推理包括完全歸納推理和不完全歸納推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要借助可視化手段、策略等引導(dǎo)學(xué)生的推理，助推學(xué)生的推理，借助學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察、猜想、證明等活動(dòng)，讓學(xué)生的推理具有合理性、合情性、邏輯性等品質(zhì)。

可視化教學(xué)的手段是豐富的，主要包括圖形的可視化、動(dòng)作的可視化、語(yǔ)言表達(dá)聲音的可視化等。可視化教學(xué)能有效啟迪學(xué)生的合理猜想，啟發(fā)學(xué)生的直覺(jué)思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理。借助可視化教學(xué)，能讓學(xué)生的思維觸手可及，讓學(xué)生的認(rèn)知有據(jù)可查。作為教師，要善于借助可視化圖形，將抽象的數(shù)學(xué)直觀地確證與表征出來(lái)，以便引發(fā)學(xué)生推理、引導(dǎo)學(xué)生推理。借助可視化圖形引導(dǎo)學(xué)生推理，其根本依據(jù)是學(xué)生的認(rèn)知、感性的思維、獨(dú)特的心理等。

例如，教學(xué)《圓的周長(zhǎng)》這一部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生依據(jù)《圓的認(rèn)識(shí)》學(xué)習(xí)內(nèi)容中的“畫(huà)圓”操作，能有效推出“圓的大小與圓的半徑或者直徑有關(guān)”。因?yàn)?，圓規(guī)兩個(gè)腳張開(kāi)得越大，畫(huà)出的圓也就越大，圓規(guī)的兩個(gè)腳展開(kāi)越小，所畫(huà)出的圓也就越小。而圓規(guī)兩個(gè)腳之間的距離就是圓的半徑。為了進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想、驗(yàn)證學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想，教師可在教學(xué)中借助下圖創(chuàng)設(shè)可視化的情境，引導(dǎo)學(xué)生猜想：圓的周長(zhǎng)大約是直徑的多少倍？

借助圖1，學(xué)生能直觀地進(jìn)行邏輯猜想、推理：正方形的邊長(zhǎng)是圓的直徑，正方形的周長(zhǎng)是邊長(zhǎng)的四倍，圓在正方形的里面，圓的周長(zhǎng)比正方形的周長(zhǎng)小，所以圓的周長(zhǎng)應(yīng)該是直徑的四倍少一些；借助圖2，學(xué)生能在其中增添一些輔助線，采取同樣的演繹推理，有效地推理、猜想出圓的周長(zhǎng)應(yīng)該是直徑的三倍多一些。通過(guò)這樣的可視化圖形，可以引導(dǎo)學(xué)生給圓的周長(zhǎng)和直徑的倍數(shù)關(guān)系科學(xué)設(shè)定一個(gè)閾限，即圓的周長(zhǎng)應(yīng)該是直徑的三倍多一些、四倍少一些，進(jìn)而為學(xué)生有效進(jìn)行圓的周長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)、圓的周長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的演算，以及圓的周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系的精確性探究，奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

可視化圖形是學(xué)生數(shù)學(xué)推理可視化的重要策略。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于建構(gòu)可視化圖形，用可視化圖形激發(fā)學(xué)生的猜想、催生學(xué)生的推理。圖形是學(xué)生推理的依據(jù)、證據(jù)，它能有效激活學(xué)生的推理思維、催生學(xué)生的推理想象，讓學(xué)生的推理從模糊走向清晰、走向精準(zhǔn)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過(guò)可視化操作、可視化動(dòng)作等為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)推理的支架，引導(dǎo)學(xué)生基于可視化操作進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。小學(xué)生的數(shù)學(xué)推理不同于成人的數(shù)學(xué)推理，他們往往需要借助一定的媒介、以一定的操作作為支撐，展開(kāi)一種準(zhǔn)邏輯性或半邏輯性的推理。作為教師，要尊重學(xué)生的半邏輯性甚至非邏輯性的推理，同時(shí)要以學(xué)生的可視化操作引導(dǎo)其推理，繼而增強(qiáng)學(xué)生的推理感受、體驗(yàn)，讓學(xué)生的推理更深刻、更有效。

例如，教學(xué)《平行四邊形的面積》這一部分內(nèi)容時(shí)，有的學(xué)生猜想平行四邊形的面積等于底乘斜邊，因?yàn)樗J(rèn)為，平行四邊形可以推拉成長(zhǎng)方形，而長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的斜邊，長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘斜邊。據(jù)此，教師引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)具體直觀的操作。學(xué)生通過(guò)操作，能親身感受、體驗(yàn)到平行四邊形在推拉成長(zhǎng)方形的過(guò)程中面積發(fā)生了變化。在該學(xué)生否認(rèn)了自我的迷思概念、相異構(gòu)想以及毫無(wú)根基的數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用剪拼法操作。首先將平行四邊形沿高剪開(kāi)，分成兩個(gè)直角梯形或一個(gè)直角梯形與一個(gè)直角三角形，然后拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形。在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生思考、推理：平行四邊形在剪拼成長(zhǎng)方形的過(guò)程中，面積有沒(méi)有發(fā)生變化？長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于平行四邊形的什么？長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的什么？長(zhǎng)方形的面積怎樣算？所以平行四邊形的面積可以怎樣計(jì)算？通過(guò)這種類似數(shù)學(xué)推理中的“三段論”的方式，可以引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)、創(chuàng)造平行四邊形的面積公式。通過(guò)可視化操作，學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到，圖形面積的轉(zhuǎn)化前提是圖形的等積變形。只有在“等積”的前提下進(jìn)行圖形的面積推理，圖形的面積推理才是有效的。

可視化操作不僅僅是學(xué)生數(shù)學(xué)推理的一種手段、方式，也是學(xué)生數(shù)學(xué)推理的重要組成。作為教師，要不斷地尋找證據(jù)、捕捉證據(jù)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)推理開(kāi)辟更多的可能性空間。此外，可視化操作既可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)推理提供引子，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理，也可以直接助推學(xué)生的數(shù)學(xué)推理。借助可視化操作，學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能更合理、更科學(xué)、更有效、更精準(zhǔn)。

可視化教學(xué)手段主要訴諸學(xué)生的感知，這種感知不僅包括學(xué)生的視覺(jué)感知、觸覺(jué)感知，也包括聽(tīng)覺(jué)感知。在引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的過(guò)程中，語(yǔ)言的聲音表達(dá)同樣是一種可視化手段。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引入信息技術(shù)，充分利用其聲色光影，助推相關(guān)的語(yǔ)言表達(dá)。換言之，語(yǔ)言表達(dá)可以是純粹的話語(yǔ)聲音，也可以借助其他相關(guān)的輔助手段，讓可視化語(yǔ)言表達(dá)更豐富、更生動(dòng)、更有說(shuō)服力。

例如，教學(xué)《多邊形的內(nèi)角和》這一部分內(nèi)容時(shí)，教師放手讓學(xué)生探究四邊形的內(nèi)角和、五邊形的內(nèi)角和等，并讓學(xué)生用語(yǔ)言表述自己的探究過(guò)程。在探究四邊形的內(nèi)角和時(shí)，有的學(xué)生還沿襲三角形的內(nèi)角和的探究方法，用剪拼法、折角法、量角法等展開(kāi)探究；在探究五邊形的內(nèi)角和時(shí)，不少學(xué)生發(fā)現(xiàn)折角法、剪拼法等已經(jīng)不能有效探究其內(nèi)角和了。同時(shí)，很多學(xué)生也認(rèn)為用量角法探究多邊形的內(nèi)角和誤差太大。因此，學(xué)生開(kāi)始轉(zhuǎn)變思路。有的學(xué)生認(rèn)為，可以將多邊形轉(zhuǎn)化成若干三角形；有的學(xué)生認(rèn)為，可以從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始將這個(gè)多邊形分成若干三角形，然后借助三角形的內(nèi)角和探究多邊形的內(nèi)角和。據(jù)此，學(xué)生從四邊形開(kāi)始探究，并用語(yǔ)言積極表述。如：“四邊形可以分成兩個(gè)三角形，因?yàn)槊總€(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°，所以四邊形的內(nèi)角和就是180°乘2”“五邊形可以分成三個(gè)三角形，因?yàn)槊總€(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，所以五邊形的內(nèi)角和就是180°乘3”，等等。通過(guò)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)，他們能快速進(jìn)行推理：六邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是180°乘4，一百邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是180°乘98，進(jìn)而學(xué)生類比推理出“n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°”。

可視化語(yǔ)言是可視化教學(xué)的重要組成部分。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言表達(dá)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)推理過(guò)程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)。數(shù)學(xué)表達(dá)能助推學(xué)生的數(shù)學(xué)推理，而數(shù)學(xué)推理則能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)更嚴(yán)謹(jǐn)、更精準(zhǔn)。

總之，可視化教學(xué)手段是學(xué)生數(shù)學(xué)推理的重要支撐。在小學(xué)數(shù)學(xué)推理教學(xué)中，教師要豐富可視化教學(xué)手段，以此激發(fā)學(xué)生的推理意識(shí)、提升其推理能力、優(yōu)化其推理品質(zhì)、豐富其推理樣態(tài)，充分發(fā)揮可視化教學(xué)手段的育人功能，助推學(xué)生數(shù)學(xué)推理素養(yǎng)的全面發(fā)展，彰顯其育人價(jià)值。

（作者單位：山東省沂源縣沂河源學(xué)校）

（責(zé)任編輯金燦）