核心素養背景下初中數學滲透數學文化的策略研究

［ 摘 要 ］數學文化是記錄與傳播數學思想的重要方式，也是傳遞信息的主要載體.將數學文化滲透在“三角形內角和定理”的證明教學中，一方面，有助于深化學生對證明方法的認識，并激發他們的學習熱情；另一方面，能有效促進學生的數學核心素養的發展.

［ 關鍵詞 ］核心素養；數學文化；數學史

數學文化是人類智慧的結晶，它以獨特的方式保留并記錄了特定階段的數學發展史 . 將數學文化有機地滲透在初中數學課堂中，不僅能激發學生對新知的探索興趣，還能進一步發展學生的數學思維，提升學生的關鍵品質，培育學生的綜合素養 .“三角形內角和定理”的孕育與成長歷程豐富多彩，歷史上諸多數學家的驗證方法并未因歲月的流轉而失去光彩，反而如同陳年佳釀，在時間的長河中愈發醇厚，閃耀著智慧的光芒 . 將這些史料滲透在課堂中，可發展學生的核心素養.

教學過程設計

1.新課引入

借助多媒體展示形狀大小不一的若干個三角形，要求學生說一說這些不同三角形具有怎樣的共同點.生 1：所有三角形都具備的特點有：①兩條邊之和大于第三條邊；②兩條邊之差小于第三條邊；③內角和為180°.

師：不錯 . 對于平面幾何的探索，通常從邊和角這兩個維度入手.關于三角形的三邊關系，以前已經探索過.本節課，我們共同探討“三角形的內角和恒為180°”的幾何原理.有什么辦法可以確定三角形的內角和為180°呢？

生 2：可以用量角器直接測量每個角的度數，將三個角的度數相加即可明確三角形的內角和為180°.

生3：通過拼圖法同樣能驗證，即將三角形的三個角都截取下來，拼在一起形成一個平角.

師：眾所周知，人們親眼所見的事物并非是真實的，大家所提的度量法或拼圖法也不能說明三角形的內角和一定為180°.那么，我們究竟該如何準確判定呢？

生（眾）：用證明法.

師：不錯，嚴謹的證明能夠闡釋一切.每個人的思維方式不一樣，證明方法也各有特色.接下來，咱們就一起探索具體的證明方法吧.

設計意圖 借助多媒體展示不同的三角形，旨在引導學生探尋其共同的特征，此為研究數學問題的重要方法之一.學生從多種圖形中得到恒定不變的結論，不僅喚醒了對三角形邊角關系的認知，還思考并嘗試運用多種不同的方法來證明三角形的內角和為180°.

2.證法探究

問題：如圖 1，已知 ∠A ， ∠B ，∠C 為 △ABC 的三個內角，請證明∠A，∠B，∠C 的和為180°.

生 4：我是根據三角形的外角性質進行證明的.

交流后發現，該學生所述的外角性質是基于三角形內角和為180°的推論，屬于一種循環論證，顯然這種證明方法不可取.

生5：如圖2，過點 A 作 CB 邊的平行線，因為平角等于180°，所以∠A，∠B，∠C 的和為180°.

師：太棒了！你用畢達哥拉斯學派的證明方法獲得了三角形內角和的度數 . 你是怎么想到這種方法的？

生 5：若兩直線平行，則內錯角必定相等 . 我是通過這個性質想到的.

師：生 5 將三角形三個離散的角聚集在一起形成平角而獲得三角形內角和的度數，這個過程主要采用了平行線轉換角度的方法.簡單來說，就是“由果索因”，這是找到基本證明思路的好方法.當然，還可以通過分析已知條件或引入輔助線的方法逐步推導出“果”，利用“由因推果”的思路解題.

師：生 5 的證明方法帶給了我們一些啟示，即證明過程要“有理有據”，即從理性的角度來分析問題 . 一般情況下，真命題被稱為定理，這是用來證明其他命題或進行運算的重要依據之一.本命題還有其他證明方法嗎？

生 6：我聯想到了平行線同旁內角互補這個定理.

師：這也是“由果索因”的思路 . 按照這個思路，我們應怎么證明呢？

生6：如圖3，過點A作BC邊的平行線，根據“兩直線平行，同旁內角互補和內錯角相等”證得△ABC的內角和為180°.

師：非常好！此為18世紀克萊羅提出的證明方法.

生 7：我的證明方法與前兩位同學都不一樣.

師：哦？具體說說.

生7：如圖4，過點C作 AB 邊的平行線，由兩直線平行確定同位角、內錯角相等，證得 △ABC 的內角和為180°.

師：不錯，此為歐幾里得記載在《幾何原本》中的證明方法.

設計意圖 學生按照自己的想法來證明問題，結果發現和數學家們的證明方法是一樣的.學生驚覺自己竟然能與數學家的思維產生共鳴，這讓他們感到無比驕傲和自豪.經由師生間活躍的互動，學生的潛在思維逐漸顯化.輔助線的制作不僅體現了“由果索因”與“由因推果”的思路歷程，還引領學生達到了“知其然且知其所以然”的境界，從而有效推動了學生邏輯推理能力和數學思維能力的發展.歷史上，數學家們提出的證明方法，深刻地融入了數學文化的精髓，引領學生領略數學古今交融的魅力.

3.古今融通

在兩千多年前，聰明的人們就發現了三角形內角和為180°這個結論 . 為了更生動地展現這一數學奇跡，教師借用短視頻精彩演繹以下內容：泰勒斯從拼圖中發現了端倪，帕斯卡在折疊中獲得了啟示，提波特在旋轉中獲得了結論，畢達哥拉斯學派以及諸多數學家用多種方法證明了三角形內角和為180°.

師：泰勒斯從拼圖中發現了端倪，并驗證了猜想，為何提波特和帕斯卡等人還要用不一樣的方法來驗證這個結論呢？而且后來仍有大量的數學家去追求更多的證法.這些現象體現了什么？

在上述問題的啟迪之下，學生自主提煉出“探索”“嚴謹”“鉆研”“創新”及“挑戰”等關鍵詞匯，這些詞匯共同體現了理性思維的深化與積極信念的樹立.

設計意圖 數學的發展歷經了悠長的歲月，通過小視頻向學生傳播數學史，不僅能夠增添課堂的趣味性，拓寬學生的視野，還能激勵學生主動從多樣的證明方法中提煉出“利用平行線轉換角度”的共通之處.同時，此舉也極大地促進了學生數學思維的發展，為培養學生邏輯推理素養奠定了堅實的基礎.學生在證法探究環節積極運用了多位數學家的經典證明方法，這不僅激發了他們對數學發展歷程的獨到見解，還使他們在深入探索多種證法的過程中，對數學的本質有了更深刻的認識.

4.應用新知

想要讓學生真正理解新知，最佳途徑莫過于將所學知識付諸實踐.

題 1 如 圖 5， 已 知 ∠DCA 為△ABC 的一個外角， ∠A ， ∠B 的度數分別為 70°，40° ，那么 ∠DCA 的度數是多少呢？

題 2 若直角三角形的一個銳角度數為 35° ，那么該直角三角形的另一個銳角度數是多少？

題 3 如圖 6，已知線段 AC 與BD 于 點 O 處 相 交 ， 請 證 明 ∠A +∠B = ∠C + ∠D .

題 4 如果一個三角形的三個內角度數之比為 5 ∶ 2 ∶ 2 ，那么這個三角形的三個內角度數分別是多少？

設計意圖 前兩道題目以定理作為運算依據，通過角度數的變化引導學生自主發現并描述結論，從中提煉出特殊到一般的數學思想.后兩道題目，一方面凸顯定理在推理中的作用，另一方面揭露定理亦可作為構造方程相等關系的依據.

5.總結提升

師：通過本節課的學習，大家覺得哪些思想方法可以幫助我們確定一個命題是正確的？

生8：作輔助線來證明.

生 9：用“由果索因”或“由因推果”的思路來證明.

生10：用轉化思想來證明.

……

師：當你看到“證明”二字時，首先映入腦海的是什么？生11：定理、周密、公理、嚴謹、言必有據等詞語.

生 12：我想到的是“由因推果”以及“由果索因”.

生13：不能循環論證，論證方法應具有多樣性.

師：很好！“證明”是本節課教學的關鍵詞.經過本節課的探索，同學們對證明過程與技巧有了更為豐富且深刻的體驗.關于同一個問題有多種證明方法的探索，給你們帶來了什么啟示？生14：多種巧妙的證法，讓我對三角形的內角和有了更為深入透徹的理解，仿佛瞬間豁然開朗，茅塞頓開.

生15：我發現，要證明一個問題，關鍵在于精準地把握其核心要點，例如本節課就緊扣“180°”展開探索.

生17：我發現，數學是一門又美又有文化的學科，我們所探索的證明方法竟然與歷史上數學家們的證明方法一致，太神奇了！這讓我對數學學習更有信心了.

生18：是啊，是?。∥叶加X得自己成了數學家（大家笑）.

生19：通過本節課的學習，讓我充分感知了人類的探索與創新精神，尤其是各種數學思想方法的應用，增加了數學的魅力.

從學生的課堂反饋來看，本節課的學習讓學生對數學證明產生了濃厚的興趣與信念.這不僅為學生增添了學習動力，更為他們日后的個人發展奠定了堅實的基礎.

教學思考

1.以史為綱，靈活滲透

為了促使學生在學習過程中更加關注數學史，教師需要自身對數學史有深入且全面的了解.在備課階段，教師可有針對性地搜集與教學內容相關的數學史料，從中挑選出符合教學實際的內容有機地滲透到課堂中.本節課，三角形內角和的形成歷程頗為豐富，眾多數學家參與其中.盡管教師無法在課堂上詳盡講述每一個“小故事”，但可以巧妙地結合學生在課堂上的思考路徑，適時地引入證明方法的典故.這樣做不僅能在一定程度上鼓勵和認可學生的思維能力，還能有效增強他們學習的自信心.

2.以史為鑒，辨析證法

同一個問題可能存在多樣化的證明方法，有些方法在歷史的長河中永盛不衰，它們為當今的課堂注入了豐富的教學素材與深刻的啟發 . 想要讓學生在課堂學習中不僅掌握知識，更能深入理解其背后的原理，最佳途徑便是激發學生的思維活力，為他們打造一個開放的探究空間 . 本節課的“古今融通”環節，教師利用小視頻的形式，向學生生動地展現了三角形內角和的歷史探索之旅，不僅讓學生深刻體會到了數學家們嚴謹治學、不懈探索的精神風貌，還為學生敲響了警鐘 — —在面對證明類問題時，務必謹防循環論證的陷阱 . 這種以史為鏡的教學策略，能成功啟發學生的辯證思維，促使學生理性觀察每一件事物.

3.以史為泉，發展素養

課堂上能滲透的數學史有限且淺顯.若想進一步滲透數學文化，發展學生的數學核心素養，教師可以課堂為契機，引導學生將對數學史的了解延伸到課外.如本節課所呈現的帕斯卡折疊與提波特旋轉等內容尚顯淺顯，教師可激勵對此有濃厚興趣的學生，在課后自主深入探究折疊與旋轉的奧秘，以此錘煉實踐技能，進一步培育核心素養.

總之，數學文化能夠有效激發學生對數學的濃厚興趣.事實證明，古今交融，為課堂注入了智慧與人文的活力，這正是新課改背景下課堂的理想追求.