核心素養導向下基于“數學思維”發展的教學實踐與探索

［ 摘 要 ］數學思維是數學核心素養的重要組成部分，核心素養導向下的數學教學應關注數學思維的培養.文章以“軸對稱視角下線段和的最小值”的教學為例，從“情境創設，初步喚醒思維”“明晰任務，逐層拔高思維”“延伸拓展，開闊數學思維”“總結歸納，完善思維結構”四個方面展開研究.

［ 關鍵詞 ］思維；核心素養；教學

數學是一門抽象的學科，對培育學生的思維具有重要價值.逐層遞進的問題序列，以及層次清晰的探究活動是推動學生思維發展的支點.隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱新課標）的落地，引導學生運用“在解決低階問題過程中所形成的思維去解決高階問題”成為眾多教師競相探討的熱點話題，此為拔高學生思維的重要舉措.“軸對稱視角下線段和的最小值”問題比較抽象，學生需在教師的引導下展開探究.本節課教學旨在提升學生的思維能力，促進學生數學核心素養的全面發展.

教學過程設計

1.情境創設，初步喚醒思維

情境1 如圖1，小明從家出發到學校一共有三條路可以走，請問他走哪條路更近一些？理由是什么？

情境2 如圖2，某廠家準備將污水從 A 處引到污水處理容器 PQ中，該怎樣鋪設排水管道最節省材料？嘗試將管道路線在圖中標注出來，并闡明原因.

分析 上述兩個情境與學生的生活以及教學內容都相關，如此設計可激活學生既有的部分認知，增強他們對生活與數學事實之間聯系的感知，為接下來的深入探索提供素材 . 情境 1 能有效激發學生的意識，使他們深刻理解“兩點間線段最短”的幾何原理，從而為后續探索“最小值”問題奠定堅實的基礎.對于情境 2，過點 A 作 PQ 的垂線，垂足為B，所獲得的線段 AB 即該情境的解.此設計旨在深化學生對點到直線距離最短問題的理解.這兩個情境均為知識的生長點，對發展學生的數學思維與理性精神具有重要意義.

2.明晰任務，逐層拔高思維

基于任務驅動展開課堂教學，可增進學生自主學習與協同合作的效率.學生帶著明確的目的去探索課堂教學內容，不僅能保持原有的探索興趣，還能進一步激發學習動機.本節課主要借助“兩點間線段最短”這一核心理念探索“飲牛”問題，學生的思維可在各個模型的探索與構建中螺旋式上升.

（1） 根據直線兩側的兩定點探尋一動點

如圖 3，已知 A，B 兩地之間有一條河流，牧童牽著牛由 A 地出發，到河邊飲水，而后將牛牽至 B 地，請幫他設計一條最短的路線，并說明理由.

本題可將 A，B 兩地視為位于直線 l 兩側的兩個定點，想要探尋直線l 上與這兩點距離最近的位置，僅需依據“兩點間線段最短”這一定理連接 AB ，與直線 l 的交點 P 就是所求的答案（見圖4）.

（2）借助類比分析法選址造橋接著上一個問題，若河流的寬度為 a 米，想在這條河面上建一座橋，保持橋面與河岸為垂直關系，牧童同樣從 A 地出發，牛飲完水后去往 B 地.將橋建在什么位置，可使牧童的行程最短？

要求學生先憑借想象畫出簡明的圖示，隨后再進行深入的分析.如圖 5，根據題設條件明確本題旨在探索如何使 AC + DC + BD 的值最小 . 鑒于 DC = a 為定值，故本題求的是 AC + BD 的最小值.類比將河流理 解 為 直 線 的 模 型 ， 需 將 線 段AC，BD 拆解并重新組合.忽略河寬，只需將河岸一側的線段直接平移，使之與對岸線段無縫對接即可.平移過程可借助幾何畫板來演示，將點A 平移至點 A 1 處，形成的圖形與圖4類似.此時要探索的是點 A 1 與點 B 之間的最短距離.

設計意圖 從根本上而言，此問旨在深化學生對“基于直線兩側固定點，探索直線上移動點，并通過線段和求解最小值”這一策略的領悟 . 在探索過程中，學生體驗了“平移不變量”的奧秘，并掌握了聚攏與分散線條策略的實際運用.這一過程猶如一把鑰匙，為學生打開了思維的大門，進一步充實并強化了他們的直觀想象能力.

（3） 由直線同側的兩定點探尋一動點

如圖 6，已知 A，B 兩地位于河流（直線 l ）的同一側，牧童準備由A 地出發到河邊飲牛，而后去往 B地，請在河流 （直線 l ） 上找一點P ，使牧童飲牛的行程最短.

如圖 7，作點 A 關于直線 l 對稱的點 A' ，連接 BA' 與直線 l 相交于點P .基于軸對稱的性質可知 AP = A'P ，則 AP + BP = A'B .另外，再取點 P' ，分別連接 AP'，BP' .同樣基于軸對稱的 性 質 可 知 AP' = A'P' ， 則 AP' +BP' = A'P' + P'B . 顯 然 ， A'P + BP最小.

分析 解決此問題主要運用了“作軸對稱，拉直線段”的方法，解題精髓在于“兩點間線段最短”的原理.學生在具體明確的任務中深入探索，借助變式應用與類比思想的雙重助力，自主提煉出數學模型，為數學思維的全面發展注入了強勁動力.

3.延伸拓展，開闊數學思維

核心素養導向下的數學教學，在注重學生知識與技能扎實掌握的同時，尤為強調對數學思維的啟迪、思想方法的引導以及價值觀的塑造.想要利用課堂激活學生的思維，發揮學生思維的創造性，教師可基于學生客觀存在的差異性，實施恰當的引導與點撥，旨在拓寬學生的視野，強化學生的學習能力.例題的應用，可達成這一目標.

例 1 如圖 8，若 ∠AOB 內拴著一頭牛，牧童準備先將牛牽到 OB 處吃草，而后再牽到 OA 處飲水，最后返回到 P 處，如何設計行程可使牧童行走的路程最短？

此例同樣需要引導學生畫出行程圖，并聯系課堂所學的探索方法，通過作軸對稱來拉直線段，再結合“兩點間線段距離最短”這一核心理念展開剖析，從翻折中探尋問題的解答路徑（過程略）.

例2 如圖9，已知 △ABC 為銳角三角形，且 AB＜AC ， AD 為 ∠BAC的平分線，與 BC 邊相交于點 D ，點M，N 分別為線段 AD，AB 上的動點，則 MB + MN 的最小值是多少？

本題難度略有增加，同樣需要學生畫出草圖，展開分析.在解決此題的過程中，學生展現了兩種解題思路：第一種，作點 B 關于 AD 對稱的點 B' ；第二種，預設點 N ，作點 N 關于 AD 對稱的點 N' .這兩種思路都立足于“角平分線的對稱性”這一原理，均可探尋到問題的答案.學生親歷解題過程，一致認為第一種思路更簡便，因為第二種思路中的預設點 N 為動點，其位置不確定，給解題過程增添了不必要的困擾與復雜性.值得注意的是，在作對稱點時，需關注“垂線段最短”這一定理.

分析 上述兩道例題所涉及的元素相當多，若想讓學生獨立完成，確實存在較大障礙.為此，教師引導學生先結合題設條件在草稿紙上畫出草圖，再根據本節課的核心知識點“垂線段最短”和“兩點間線段最短”展開探究，將未知的問題轉化為認知范圍內的模型.這種基于現象挖掘本質的教學模式，不僅能促使學生順利解決問題，還能提升學生的思維層次.

4.總結歸納，完善思維結構

學生在本節課親歷了動手操作、直觀想象與邏輯推理等過程，不僅自主探尋到解決問題常用的方法，還在解題過程中自主抽象出相應的數學模型，為構建普遍適用的解題策略奠定了堅實的基礎.同時，課堂還涉及數形結合、數學轉化、類比分析等思想方法，這些思想方法是促進學生思維長遠發展的根本.課堂尾聲，教師要求學生自主歸納本節課的核心知識點、思想方法等，并構建思維導圖.

在這個問題的驅動下，學生自主總結解決此類問題的基本方法：若兩個定點位于直線的同側，不論已知條件與未知條件怎么轉換，均可借助軸對稱的性質將問題轉化為兩定點分別位于直線兩側的情況進行分析（具體思維過程見圖10）.

分析 課堂教學過程的回顧、梳理與總結，促使學生學會從整體的視角來觀察與分析問題，并能基于不同的維度對教學過程進行反思與提煉.構建思維導圖，學生不僅能夠獲得結構化的思維方式，還能顯著提升自身的總結能力，并提煉出數學思想方法.這為學生增進學力、發展核心素養奠定了堅實的基礎.幾點感悟

1.問題導向可促進思維的生成問題對于一節數學課來說具有舉足輕重的作用，學生的思維常在問題的驅動下發展.教師在課堂上結合學情與教情，精心設計問題情境，不僅能拉近學生與探究內容的距離，還能促使學生學會用數學的思維思考現實世界，為發展概括與抽象能力夯實基礎.學生在課堂中的思維廣度、靈敏度以及深度，都可體現在數學概括上.因此，借助課堂訓練學生的數學抽象與概括能力是發展思維的基本途徑.新課標著重強調要讓學生親歷“數學化”的過程，這要求教師在充分了解學情的基礎上加強探究性引導的強度，以規避低效重復且缺乏教育價值的教學.

本節課，教師在課堂上提出的問題數量并不多，但每一個問題都承載著至關重要的作用.例如課堂伊始，借助低起點的問題引導學生用數學的眼光觀察現實世界，并將生活實際抽象為數學問題.隨著問題的逐步浮現，難度層層加碼，學生的思維緊隨著問題的深入剖析而逐級攀登.課堂尾聲，鼓勵學生對課堂教學活動進行歸納總結，凸顯了數學抽象概括的意義，此為思維的升華過程，對學力的發展具有重要意義.

2.搭建探究框架可完善學生的思維

新課標強調數學教學要引導學生學會用規范的語言描述數學現象、定義或模型等，要引導學生學會從一類題的解決中提煉一般性的解題方法，并理解相應的數學思想方法.帶領學生透過現象看本質，觀察問題背后的共性特征，不僅能讓學生對數學抽象的一致性產生深刻理解，還能進一步發展學生的抽象概括能力，聚合思維，為培育核心素養夯實基礎.

本節課探究的每一個問題都離不開兩個核心原理，即“兩點間線段最短”“垂線段最短”.在這兩個核心原理的引領下，學生通過畫圖、思考與總結，不僅成功抽象出了多個數學模型，還深入提煉了數學思想方法與解題技巧.這充分說明，教師在課前精心構建的探究框架，對于提升課堂教學效率具有顯著作用，并且能夠有效地促進學生思維的完善與發展.

3.打開思維束縛可凸顯教學智慧

核心素養導向下的數學教學，注重從整體視角及多維度引導學生理解知識間的聯系，并能從實例中明確推理規則.這要求教師為學生構建自主探索的平臺，采用多樣化的教學方法激發學生從不同角度深入思考與探索問題，從而有效避免照本宣科的教學模式.

本節課，雖然核心問題是由教師提出來的，但對問題的思考與探索，都由學生自主完成.教師在適當的時候加以點撥，以進一步開發學生的思維，避免出現鉆牛角尖的情況.例如例2的探索，教師給予學生充足的時間與空間，使他們自主探尋出了兩種解題思路，經類比分析發現第一種思路更簡便.整個教學過程是在自由、民主的課堂氛圍中展開的，這充分體現，在打破思維束縛之后，學生的思維寬度與深度均得到了顯著的拓展與深化.

數學是思維的體操，教師應將思維的發展作為教學目標之一.讓學生在課堂中扎實掌握基礎知識與技能，學會有效思考問題的策略，并培育出堅定的理性精神，這不僅是新課標對教師提出的明確要求，也是核心素養導向下，數學教學的根本任務.