基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的產(chǎn)品質(zhì)量預(yù)測(cè)方法

孫 曼

（南京航空航天大學(xué)，江蘇 南京 210000）

1 問(wèn)題提出

問(wèn)題1：根據(jù)2022-01-13至2022-01-22的生產(chǎn)加工數(shù)據(jù)，應(yīng)用原礦參數(shù)和系統(tǒng)設(shè)定溫度數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，給出利用系統(tǒng)溫度預(yù)測(cè)產(chǎn)品質(zhì)量的方法，并且用2022-01-23原礦參數(shù)和系統(tǒng)設(shè)定溫度，得出產(chǎn)品質(zhì)量預(yù)測(cè)的結(jié)果（注：本題數(shù)據(jù)來(lái)源于2022年五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題）。

問(wèn)題2：根據(jù)問(wèn)題1的結(jié)果，建立數(shù)學(xué)模型，估計(jì)產(chǎn)品目標(biāo)質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)溫度，并且用給定的2022-01-24原礦參數(shù)和目標(biāo)產(chǎn)品質(zhì)量，得出系統(tǒng)設(shè)定溫度。

2 問(wèn)題分析

2.1 問(wèn)題1的分析

問(wèn)題1屬于預(yù)測(cè)問(wèn)題。解決此類問(wèn)題，通常情況下利用變量選擇算法從樣本中提取除最優(yōu)的變量子集，再利用預(yù)測(cè)理論與方法來(lái)構(gòu)建預(yù)測(cè)模型，從而利用所得的回歸方程進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)[1]。我們選擇通過(guò)給定生產(chǎn)加工數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型以研究系統(tǒng)溫度對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的影響，進(jìn)而給出用系統(tǒng)溫度預(yù)測(cè)產(chǎn)品質(zhì)量的方法。

由于以上原因，我們首先建立一個(gè)系統(tǒng)溫度之間的數(shù)學(xué)模型I，以觀測(cè)兩者可能存在的潛在關(guān)系，其次建立一個(gè)系統(tǒng)溫度與指標(biāo)的模型II對(duì)結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)法進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將結(jié)果進(jìn)行比較。

2.2 問(wèn)題2的分析

問(wèn)題2屬于追溯問(wèn)題，求從給定數(shù)據(jù)中找到加工條件及環(huán)境和目標(biāo)參數(shù)間的數(shù)學(xué)模型，分析礦石得到所給目標(biāo)質(zhì)量時(shí)的系統(tǒng)溫度參數(shù)。為得到可能性較大的參數(shù)，建立模型前我們用多元線性回歸分析，再用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)，得到原數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值，通過(guò)比對(duì)原數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)得到預(yù)測(cè)方法的準(zhǔn)確性，再由所確定的預(yù)測(cè)方法得到系統(tǒng)所需參數(shù)。

3 模型假設(shè)

（1）假設(shè)1：系統(tǒng)溫度與調(diào)溫指令設(shè)定的溫度相同。

（2）假設(shè)2：每次溫度調(diào)節(jié)之后的2小時(shí)內(nèi)不會(huì)傳入新的調(diào)溫指令。

（3）假設(shè)3：由于采樣間隔不一樣，我們將溫度由原先一分鐘采樣一次變?yōu)榕c產(chǎn)品質(zhì)量采樣頻率一致的一小時(shí)采樣一次。

（4）假設(shè)4：原礦參數(shù)和目標(biāo)產(chǎn)品質(zhì)量已知，僅溫度未知。

（5）假設(shè)5：每單位時(shí)間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量相同。

4 數(shù)據(jù)處理

4.1 問(wèn)題1數(shù)據(jù)處理要求和結(jié)果

首先，我們進(jìn)行了數(shù)據(jù)處理與配對(duì)。由于所給系統(tǒng)溫度數(shù)據(jù)為一分鐘一測(cè)量而系統(tǒng)指標(biāo)為一小時(shí)一測(cè)量，因此我們選擇抽取每天每小時(shí)的第五十分鐘的溫度值來(lái)配合各個(gè)時(shí)刻的指標(biāo)測(cè)量值。但我們?cè)谔幚磉^(guò)程中發(fā)現(xiàn)，2022-01-20-6:50/7:50/8:50的三組溫度數(shù)據(jù)完全缺失，經(jīng)過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)前后時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)相差不大，因此我們?nèi)拥暨@三組數(shù)據(jù)并用MATLAB繪圖得到圖1。

圖1 系統(tǒng)溫度隨時(shí)間的變化

由圖1可見，系統(tǒng)一和系統(tǒng)二的溫度（分別用T1和T2表示）隨時(shí)間的走向變化趨勢(shì)基本一致，因此我們猜想T1和T2有線性關(guān)系。經(jīng)過(guò)線性回歸最小二乘法擬合，我們發(fā)現(xiàn)T1和T2的線性擬合高達(dá)80.5%。

建立線性回歸分析的一般模型為

式中，β都是與x無(wú)關(guān)的未知參數(shù)z，其中β0、β1稱為回歸系數(shù)。將T1作為自變量，而將合格率作為因變量進(jìn)行線性回歸分析，在這里采用最小二乘法進(jìn)行多元回歸模型的擬合。

表1 線性回歸分析結(jié)果

從F檢驗(yàn)的結(jié)果分析可以得到，顯著性P值為0.000，在水平上呈現(xiàn)顯著性，拒絕回歸系數(shù)為0的原假設(shè)，這個(gè)回歸模型的復(fù)判定系數(shù)R2=0.805，調(diào)整復(fù)判定系數(shù)R2=0.804。意味著系統(tǒng)一和系統(tǒng)二存在線性關(guān)系。

因此模型基本滿足要求，對(duì)于變量共線性表現(xiàn)，VIF全部小于10，因此模型沒有多重共線性問(wèn)題，模型構(gòu)建良好，模型的公式如下：

4.2 問(wèn)題2數(shù)據(jù)處理結(jié)果

（1）同問(wèn)題1，賽題附件1中的系統(tǒng)溫度的數(shù)據(jù)存在缺漏及誤差，例如，1月20日晨間的數(shù)據(jù)存在缺漏，此時(shí)無(wú)法通過(guò)設(shè)定的已知參數(shù)變量進(jìn)行運(yùn)算，將數(shù)據(jù)舍棄。

（2）已知的系統(tǒng)溫度參數(shù)存在一定的誤差，系統(tǒng)溫度-時(shí)間曲線連續(xù)性較差，將誤差較大的數(shù)據(jù)剔除。

5 模型的建立與求解

5.1 問(wèn)題1的模型建立與求解

5.1.1 指標(biāo)預(yù)測(cè)模型的建立

我們需要解決的問(wèn)題是應(yīng)用已有的數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，給出利用系統(tǒng)溫度預(yù)測(cè)產(chǎn)品質(zhì)量的方法并在給定的原礦參數(shù)和系統(tǒng)設(shè)定溫度下，給出產(chǎn)品質(zhì)量預(yù)測(cè)結(jié)果。我們首先進(jìn)行指標(biāo)的回歸分析：

（1）選擇T1、T2作為自變量，將各個(gè)指標(biāo)作為因變量進(jìn)行回歸分析。經(jīng)分析，僅對(duì)于指標(biāo)A，R2=0.081就遠(yuǎn)小于1，因此我們猜想應(yīng)當(dāng)增加自變量的次數(shù)以求得更高程度的擬合。

（2）選擇T1、T2、T1×T1、T2×T2、T1×T2的排列組合作為自變量，各個(gè)指標(biāo)作為因變量進(jìn)行回歸分析。

當(dāng)選擇T1、T2、T1×T1、T2×T2、T1×T2這5個(gè)自變量時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)R2得到極大改善，對(duì)于指標(biāo)A，R2就已經(jīng)上升了十倍，達(dá)到了0.18，此時(shí)，我們分別去除T1×T1和T2×T2兩個(gè)變量之后發(fā)現(xiàn)，T1×T1去除時(shí)，R2減小到0.157，而當(dāng)T2×T2去除時(shí)，R2增加到0.185，因此，我們舍棄自變量T2×T2。同理可得其余指標(biāo)的回歸分析。指標(biāo)的回歸分析如表2所示。

表2 指標(biāo)的回歸分析

（3）經(jīng)過(guò)回歸分析，得出各個(gè)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的模型分別為：

5.1.2 指標(biāo)預(yù)測(cè)模型的求解

根據(jù)問(wèn)題所給參數(shù)，由上一步模型得出表3預(yù)測(cè)。

表3 多元回歸分析指標(biāo)預(yù)測(cè)

5.1.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的求解

應(yīng)用MATLAB進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)，經(jīng)過(guò)多次訓(xùn)練可以得到圖形擬合曲線，再經(jīng)過(guò)函數(shù)調(diào)用，即可得出預(yù)測(cè)值，如表4所示。

表4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指標(biāo)預(yù)測(cè)

表5 系統(tǒng)溫度預(yù)測(cè)結(jié)果

5.1.4 結(jié)果

通過(guò)對(duì)兩個(gè)模型的對(duì)比分析可知，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)更加簡(jiǎn)潔直觀并且精確，同時(shí)易于操作和計(jì)算，因此我們最終采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的求解結(jié)果。

5.2 問(wèn)題2的模型建立與求解

5.2.1 系統(tǒng)溫度確定模型的建立

從已知中可以猜想礦石的目標(biāo)參數(shù)是由礦石原性能參數(shù)（原礦參數(shù)）和溫度共同影響得出的，因而可將求解過(guò)程看作猜想的逆過(guò)程，即以原礦參數(shù)和目標(biāo)參數(shù)為自變量，探求系統(tǒng)溫度的最大可能指標(biāo)，此時(shí)可以通過(guò)多元線性回歸在原礦參數(shù)1、原礦參數(shù)2、原礦參數(shù)3、原礦參數(shù)4、指標(biāo)A、指標(biāo)B、指標(biāo)C、指標(biāo)D中求取與溫度控制關(guān)系較大的參數(shù)，但由于關(guān)聯(lián)都相對(duì)較大，達(dá)不到舍棄的關(guān)聯(lián)度，所以保留。由于自變量個(gè)數(shù)較多，不便于采用Excel繪圖求取函數(shù)關(guān)系以及MATLAB的regress函數(shù)求解線性系數(shù)（自變量間關(guān)系非線性），進(jìn)而采用神經(jīng)預(yù)測(cè)系統(tǒng)預(yù)測(cè)性能指標(biāo)，輸入、輸出矩陣通過(guò)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練得到擬合度較高的預(yù)測(cè)方式，選取誤差（err）范圍較小的方式完成預(yù)測(cè)。

5.2.2 系統(tǒng)溫度確定模型的擬合結(jié)果

5.2.3 系統(tǒng)擬合度分析

由圖2可知，系統(tǒng)相關(guān)性較好。

圖2 檢驗(yàn)預(yù)測(cè)值和目標(biāo)值的線性化程度

6 模型的評(píng)價(jià)及優(yōu)化

6.1 誤差分析

由于最開始在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理時(shí)，在可允許的范圍內(nèi)刪除了偏差過(guò)大和缺失的數(shù)據(jù)，使整體模型建立與分析存在一定的系統(tǒng)誤差。不過(guò)，此類誤差影響極小，可以忽略。

6.1.1 針對(duì)于問(wèn)題1的誤差分析

（1）擬合誤差。

（2）回歸分析誤差：選擇自變量時(shí)進(jìn)行一定的取舍造成一定條件的誤差。

6.1.2 針對(duì)于問(wèn)題2的誤差分析

該模型中存在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理數(shù)據(jù)的誤差，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型層數(shù)影學(xué)習(xí)到樣本的特征，在層數(shù)較少時(shí)，會(huì)有一定的偏差。

6.2 模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）我們根據(jù)問(wèn)題分別建立了模型，合理利用工具算得結(jié)果，對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)，準(zhǔn)確性可以接受，并且模型建立可自引用，能夠得到滿意的解。

（2）通過(guò)兩個(gè)模型的分別建立及比較優(yōu)化循序漸進(jìn)，結(jié)合兩個(gè)模型各自的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，較好地解決了因?yàn)榉椒▎我欢鴰?lái)的誤差問(wèn)題，并且利用MATLAB自帶的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)，使模型得到簡(jiǎn)化，減少大的計(jì)算量。

6.3 模型的缺點(diǎn)

（1）模型的建立有一定局限性，需要明確影響生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量的因素，并且控制不研究的變量保持，而需要進(jìn)行研究的變量需要有足夠數(shù)量的樣本，并且有相等的采樣間隔。對(duì)環(huán)境要求和設(shè)備要求都比較嚴(yán)格。

（2）盡管我們建立模型已經(jīng)盡力地將龐大繁多的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，過(guò)程歸一化，盡量減小誤差、提高準(zhǔn)確度，但是不可避免地存在不確定性。預(yù)測(cè)結(jié)果還可在現(xiàn)有的準(zhǔn)確性上進(jìn)一步量化，提高精度。同時(shí)后續(xù)可以改進(jìn)置信區(qū)間。

6.4 模型的推廣

（1）本模型中所使用的問(wèn)題針對(duì)性較強(qiáng)，可以推廣于生產(chǎn)過(guò)程中。一般產(chǎn)品的質(zhì)量復(fù)雜，由多因素共同決定，本模型給出了一個(gè)，假設(shè)無(wú)關(guān)變量保持不變，建立某一或者某幾個(gè)因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的影響，可信度較高。

（2）建立的預(yù)測(cè)模型邏輯嚴(yán)密，從兩種不同方法出發(fā)求得最優(yōu)解，可以為分析生產(chǎn)變量提供借鑒思路。