史密斯圓圖簡化傳輸線教學研究*

徐鵬 呂輝 胡玥 姚育成 李勁 呂清花 馬新國

湖北工業大學芯片產業學院 武漢 430068

0 引言

傳輸線理論是典型場路結合、將“場”的問題用“路”的方法簡便處理的電磁理論，將抽象的電磁波傳輸轉化為通俗的電壓波、電流波傳輸以及輸入阻抗的動態起伏，傳輸線的電磁物理參數、幾何結構參數相應地轉化為傳輸線特性參數[1-2]。其中，史密斯圓圖得到廣泛的工程應用[3-9]，但鮮見將史密斯圓圖作為紐帶，把傳輸線一系列知識點串聯，與理論公式相互映襯，激發學生把控傳輸線理論框架，降低教學難度的處理方法。本文從物理圖像視角重新審視史密斯圓圖，并應用史密斯圓圖輕松化解阻抗匹配原理、諧振腔等效電導取值范圍判據等闡釋繁瑣的教學難點，使學生不經意間掌握傳輸線波動的脈搏，提高課堂教學效果。本文所用時諧因子為exp(jωt)。

1 另眼看史密斯圓圖

不同于短線，傳輸線上物理量是分布參數，不僅與時間相關，而且與傳輸線的空間位置有關[1-2]。傳輸線的特性參數可類比均勻空間電磁波傳播來體味[2,10]。單位長度上的分布電感L和分布電容C分別與磁導率μ和介電常數ε有內在線性關聯，如無耗同軸傳輸線的分布電感和分布電容用其物理參數和幾何參數可分別表示為[2]：

其中a和b分別是同軸腔內外半徑。所以，一般傳輸線相位常數都可類似電磁波波數來理解：

即分布電抗與分布電納積的平方根。推廣到分布阻抗與分布導納積的平方根，則為有耗傳輸線傳播常數：

上式右邊單位與傳播常數量綱吻合，揭示出其內在的邏輯性。無耗傳輸線特性阻抗類似波阻抗來認識：

即分布電抗與分布電納商的平方根。類似地推廣到分布阻抗與分布導納商的平方根，則為有耗傳輸線特性阻抗：

上式右邊單位與特性阻抗量綱吻合，同樣表明其內在邏輯性。波阻抗一般是常數，觀察上式，特性阻抗又有不同之處，它還與傳輸線的幾何參數有關，并且可能曾現出色散性。

如圖1所示，史密斯圓圖就是為方便描述傳輸線特性而應運而生的，其本質是由兩套坐標系疊置構成：一套是反射系數Γ實軸和虛軸構成的隱性直角坐標系，其坐標線無需標出，可通過與單位圓半徑的相對長度比對而讀取；另一套是歸一化輸入阻抗（或歸一化輸入導納）實部和虛部構成的顯性曲線坐標系，兩套坐標一一對應關系由（6）式確定：

圖1 史密斯圓圖

上式物理意義清晰：傳輸線任意位置的歸一化輸入阻抗就是歸一化總電壓（入射電壓1＋反射電壓Γ）除以歸一化總電流（入射電流1＋反射電流(-Γ)，注：反射電流與反射電壓反相）。通過（6）式實部虛部各自映射關系，在反射系數Γ的直角坐標系中，疊置歸一化輸入阻抗實部和虛部圓弧坐標系，從而將輸入阻抗直觀化。考慮在傳輸線上走位，可直接在曲線坐標系中讀出傳輸線任意點的歸一化輸入阻抗，避免了通過負載阻抗求取其他位置上輸入阻抗的復雜計算：

（7）式是（6）式在無耗時的特例，可從（6）式直接導出。它表明，傳輸線上歸一化輸入阻抗按λ/2周期性變化。（7）式可退化為特殊的短路和開路負載傳輸線上輸入阻抗（即退化為純電抗）：

所以短路和開路負載附近的感抗和容抗交錯特性一目了然，（7）式和（8）式可相互提示、映襯。在圖1所示單位圓上，也清晰地顯示短路和開路負載傳輸線輸入阻抗的周而復始變化規律。如（7）式任意負載傳輸線，其輸入阻抗也在史密斯圓圖不同半徑的圓周上動態起伏。

受能量守恒的約束，反射系數模值不能大于1，所以圖1所示史密斯圓圖被限制在反射系數坐標系的單位圓內。從傳輸線上任意一點向源/負載方向移動，對應史密斯圓圖上繞Γ坐標系原點順時針/逆時針旋轉，考慮無耗傳輸線，則表現為順時針/逆時針圓周旋轉，此對應關系與（9）式相呼應：

上式暗含三層物理背景：傳輸線關注負載附近參數，所以一般以負載處為z軸原點，正向指向源；故反射電壓沿+z軸傳播，而+z軸傳播時，空間引起相位變化應與時間引起相位變化exp(jωt)相反，故符號取負，入射電壓則沿-z軸傳播，符號取正，相應地，反射系數的空間相位因子為exp(-j2βz)；此因子表明，向源移動即沿+z軸方向移動，相位變小，對應順時針旋轉，反之則逆時針旋轉。Γ的重復周期也為λ/2，與（7）式相呼應。

無耗傳輸線λ/2的重復性也可直觀地從史密斯圓圖上看出來，從任意一點沿圓周旋轉一圈，對應在傳輸線上移動了λ/2的整數倍，阻抗參數重回起點。另外，從任意一點旋轉半圈，對應在傳輸線上移動了λ/4的奇數倍，兩處的反射系數剛好互為相反數，依據（6）式，它們的歸一化輸入阻抗互為倒數，此即λ/4的變換性。利用史密斯圓圖可方便地讀出變換位置后的輸入阻抗，避免了（6）式或（7）式的復雜計算。眾所周知，任意位置的導納與阻抗也是互為倒數關系，所以也可方便地利用史密斯圓圖讀出當前位置的歸一化導納，阻抗圓圖即轉化為導納圓圖，需注意，是當前位置而不是相隔λ/4不同處的歸一化導納。

在無耗傳輸線上的移動反映為史密斯圓圖上沿圓周旋轉，其中有兩種特殊的圓周：半徑為0的圓（即退化為原點）和單位圓。前者傳輸行波，參數不隨傳輸線位置移動而變化，即把無反射的Γ=0代入（6）式，或將匹配負載代入（7）式，均有；后者為純電抗圓，其負載為短路、開路或純電抗（短路和開路可視為極端的純電抗），負載不吸收能量，故能量被全反射，即≡1，所以傳輸駐波。從最左端的短路點出發沿單位圓順時針旋轉，其曲線坐標值即反映了公式（8a）的純感抗變化規律；從最右端的開路點出發也沿單位圓順時針旋轉，即反映了公式（8b）的純容抗變化規律；從任意負載出發順時針旋轉，則反映了公式（7）中在傳輸線上的周期變化。行波與駐波之間的區域即為混波，行波與駐波不僅是混波的邊界，也可視為混波的極限特例。在史密斯圓圖上每旋轉一周，都會穿過Γ實軸（純電阻坐標線，或視為0電抗半徑無窮大的圓弧坐標線）兩次。正實軸上反射電壓與入射電壓同相，為傳輸線上電壓最大的一系列波腹點；負實軸上反射電壓與入射電壓卻反相，為傳輸線上電壓最小的一系列波節點。右端開路點為波腹極限點，左端短路點為波節極限點，兩者往中間靠齊，波腹波節起伏趨于平緩，直至中間原點處，波腹波節趨于一致，變成波腹波節消失的行波。波腹電壓與波節電壓比值構成電壓駐波比概念：

對于無耗傳輸線，任一點的復反射系數Γ，都可通過圓周旋轉到Γ正實軸的交點，獲取同相值而計算駐波比。但實際中通過史密斯圓圖則無需計算，比較（10）式和（6）式就會發現，駐波比就是特殊的歸一化輸入阻抗，Γ退化為正實數時，駐波比即波腹處的歸一化阻抗，且為純電阻。同理，行波系數是波節處的歸一化阻抗（也為純電阻）：

逆向來看，外接純電阻負載（含∞和0）一定處在波腹或波節上，歸一化后即可得到駐波比或行波系數。需要注意的是，盡管駐波比和行波系數在數值上都等于特殊的歸一化輸入阻抗，但物理意義不同，前兩者都是不同位置的歸一化總電壓之比，而后者是同一位置的歸一化總電壓與歸一化總電流之比，在教學時需交代清楚。這樣，傳輸線的駐波比和行波系數可方便地通過純電阻線上的曲線坐標值讀取。顯而易見，駐波比和行波系數也具有λ/4的變換性，短路（K=0）和開路（S=∞）是一對極端變換，匹配點（行波）處駐波比和行波系數都趨于1，是另一對極端變換。另外，行波系數K∈[0,1]，但并不完全反映行波成分的權重。

2 從史密斯圓圖看阻抗匹配

厘清了史密斯圓圖的脈絡，再來審視阻抗匹配。負載與傳輸線匹配，將吸收全部入射波能量，傳輸線上載行波。阻抗失配會產生反射波，降低傳輸線效率，支節匹配器本質上是在負載附近加載逆向電抗/電納器件，使得在負載和加載器件之間形成內部反復充放電過程，即反射波在內部進行，從而減少對主線傳輸入射波的影響。一般在微波技術類課程講授支節匹配器原理中，文字闡釋較復雜，理解變得困難。若輔以史密斯圓圖，揭示從負載導納趨向匹配負載（即Γ坐標系原點處行波）的軌跡，將使得匹配原理圖像化，令課堂教學更輕松、學生更易于理解和接受。

圖2a所示單支節匹配器，BB處負載ZL不匹配，擬在主線合適的位置AA處加載一短路或開路支節（提供純電抗/電納蓄能池），吸收BB處反射能量，在下半個周期又釋放給ZL，使得AA之前的主傳輸線傳輸行波，需設計支節長度LS和在主線上的位置L。并聯支節的導納可直接相加減，此處使用導納比阻抗更簡便，故在圖3a中，歸一化負載阻抗經過180°旋轉到達歸一化負載導納，接下來史密斯圓圖化為導納圓圖，短路點和開路點對調，分別位于圓圖的最右端和最左端。

圖2 傳輸線支節匹配器

圖3 史密斯圓圖顯示阻抗匹配軌跡

單支節匹配結構簡單，但支節在主線上移動定位，需焊接易致接觸不良。圖2b所示雙支節匹配器克服了這種缺陷，兩支節固定在主傳輸線上并不移動，支節1的位置L直接鎖定，兩支節相距λ/8（也可λ/4或3λ/8），需要設計的僅是兩個支節的長度LS1和LS2，短路還是開路支節可從節省材料角度取舍。

3 從史密斯圓圖看諧振腔品質因數測量

諧振腔的并聯等效電路在諧振頻率附近具有三個特點：等效電導為常數，電納隨頻率線性變化，且在諧振頻率f0時為0。其品質因數可表示為[1,11]：

上式可作為一種測量Q值的依據，但需判斷電導的取值范圍，以便通過測量駐波比得到電導：

在實驗教學中[11]，不少學生理解<1還是>1的判據有困難。利用史密斯圓圖卻能一目了然地闡釋。

如圖4所示導納圓圖，諧振時，駐波比最小，負載和波節均在Γ實軸上（即純電導坐標線上），隨著頻率降低，依（12）式電納為負，負載即在如圖所示的等電導弧線上向右滑落，而波節仍在Γ實軸（也是0電納線）上平移。圖中標出了不同頻率下諧振腔負載L0、L1、L2和L3依次到最近波節的距離（圓圖上顯示為順時針旋轉的弧線電長度）。L0、L1、L2和L3實際是同一個實體，其空間位置不變，最近的電壓波節點則是不斷移動的。然而在史密斯圓圖上顯示為，負載不斷在等電導線上變換虛坐標位置，而波節卻有在電刻度0.25λ處固定不動的錯覺，所以需想象傳輸線實際波動與在史密斯圓圖上抽象跳躍的關聯。

圖4 史密斯圓圖判斷等效電導取值范圍

圖5導納圓圖顯示了如何通過駐波比測量品質因數。用上述方式判定電導，若<1，再通過測出諧振頻率時的駐波比，確定傳輸線上走位所對應的旋轉圓周找到電導，圖中取=0.3值。微調頻率后重測駐波比，負載導納同時滿足在等駐波比圓周上旋轉，和在等電導圓=上滑動，每次相交兩點，頻率低于諧振頻率則電納取負值（如點f?＜f諧振和點f↓＜f諧振），反之則取正值（如點f↑＞f諧振），圖5清晰地反映了從駐波比，到等駐波比圓，再到與等電導圓相交，讀取電納的物理圖像過程。利用最小二乘法處理電納與頻率線性變化的斜率，可比較精確地測出諧振腔的品質因數。

圖5 史密斯圓圖揭示諧振腔品質因數測量原理

學生在實際測量中，往往會流于照搬實驗操作步驟，知其然而不知其所以然，盡管完成了諧振腔品質因數的測量，但對原理的理解和物理圖像的把握上會有欠缺，教學效果也會打折扣。

4 結束語

傳輸線廣泛應用于雷達、通信和半導體技術，而史密斯圓圖暗藏傳輸線諸多原理，且便于工程應用。史密斯圓圖與理論公式相結合，串起了傳輸線那點事，揭示出傳輸規律和物理圖像框架，形象勾勒出傳輸線參數在史密斯圓圖上的起伏跳躍。不僅達到微波技術課程教學難度降維的顯著效果，而且使學生張開想象的翅膀，輕松掌握傳輸線基本概念、傳輸規律、和應用方法，極大激發了該類課程的學習興趣和激情。