基于逆向思維培養的高中數學教學探索

【摘要】高中數學知識呈現出典型的復雜性和系統性，這就對學生數學思維能力提出更高的要求.逆向思維的培養能夠使學生改變認知和思考知識的角度，能夠在潛移默化的狀態下促進學生思維的創新，有助于發展學生的學科綜合素養.基于此，文章簡述了高中數學教學中培養學生逆向思維的意義，并從概念教學、公式教學、數學分析、數學應用四個方面探索了在高中數學教學中培養學生逆向思維的策略.

【關鍵詞】高中數學；數學教學；逆向思維

在高中數學教學中，一些教師仍然沿用傳統的教學模式，按部就班地展開教學，而這必然會導致學生形成固化思維、機械化定式，既不利于學生緊抓知識本質，也難以提高學生的學科素養.在這樣的情形下，要培養學生的思維能力，教師就需要突破原有的教學思路，在學生習慣了的順向思維的基礎上，有意識地培養學生的逆向思維.已有的研究表明，逆向思維的培養，能夠使學生改變認知和思考知識的角度，能夠在潛移默化的狀態下促進學生思維的創新，有助于發展學生的學科綜合素養.逆向思維存在于數學知識的建構與運用過程中，相比較而言，數學知識運用尤其是解題過程中的逆向思維往往體現得更加明顯.一般認為，逆向思維屬于常見的高中數學解題思維，與以往解題思路不同，往往為從答案到問題的解題思路.學生應用逆向思維可以通過完全否定、推理、假設等多種形式完成解題，從而探索更多解題方式.但這并不意味著在知識建構過程中沒有逆向思維培養的契機，事實上，教師在認識到逆向思維培養的意義之后，無論是在新知識建構過程中還是在已有知識運用的過程中，都能夠激活逆向思維培養的動機，從而在實際教學中發現更多的契機.下面就從高中數學教學中培養學生逆向思維的意義以及具體策略方面，談談筆者的一些初步思考.

一、高中數學教學培養學生逆向思維的意義

認識逆向思維培養的意義非常重要，這決定了數學教師能否在課堂上將逆向思維的培養打開局面并堅持下去.認識逆向思維培養的意義，需要站在學生的角度，筆者在理論學習與實踐探索的基礎上總結出如下幾點：

（一）提高學生的智力水平

長久以來，滲透學習方法的方式就是以正向思維解決問題，很顯然這是一種思維慣性，如果僅限于此，不僅會極大地遏制學生思維的發展，也不利于他們吸取更廣泛的知識內容.在高中數學教學實踐中，教師需要緊抓教學契機，有意識、有目的地培養學生的逆向思維，有效彌補上述不足.當具備較高的逆向思維意識以及思維能力之后，學生可以更好地把握解題技巧，高效找到正確的解題舉措.此外，還需要輔以相應的實踐應用，以訓練學生的思維能力，這是提高學生智力水平的關鍵保障.

（二）培養學生的創新能力

對于逆向思維而言，從其本質層面來看，應當歸屬于創新思想，其不僅可以突破常規思維，也能夠改變固化的思考模式，使學生在面對問題時能夠找到不同的解讀視角，從中提煉出新的觀點，發現新的規律，才能夠使學生深入觸及知識本質，高效掌握數學知識.所以逆向思維能力，對學生而言具有極其重要的現實意義，其既能幫助學生開拓解題思路，還能夠使學生創造性地找到更有效的解題舉措，樹立創新精神.

（三）激發學生的自學意識

對于數學問題的解決，很多時候都需要引入逆向思維，由學生展開細致觀察以及深入思考，才能夠使學生準確把握其淺顯條件，并以此為突破口展開更深層面的挖掘，找到更具有價值的隱藏條件.這一過程是對逆向解題思維的有效訓練，同時能夠為學生帶來個性化解讀靈感，使他們可以掌握不同的解題方法，提高自學意識，發展學科綜合素養.

通過上面的分析可以發現，在當下的高中數學教學中培養學生的逆向思維，本質上在于優化學生的智力結構，培養學生的學習品質，奠定數學學科核心素養發展的基礎.實際上研究高中數學的核心素養的內涵要素就可以發現，無論是數學抽象還是邏輯推理又或者是數學建模，其中都包含著豐富的思維要求，而逆向思維就是其中不可或缺的一部分，所以逆向思維能力的培養還有助于學生發展數學核心素養.

二、高中數學教學中培養學生逆向思維的策略

在數學思維體系中，逆向思維是一大關鍵原則，也是創造性思維不可或缺的重要構成.培養學生的逆向思維，實際上也能夠同步提高學生的思維敏捷性和靈活度.學生如果掌握了正確的逆向思維方法，擁有一定的逆向思維能力，就能夠找到問題的反面，以此展開剖析、理解、推理和設想，這不僅可有效克服思維定式，還能夠找到不同的解題突破口，或者展現一種全新的解題路徑，使解題過程更簡單明了，同時進一步發展學生的辯證思維能力.

基于教學實踐可以發現，一些學生之所以仍然處于較低的學習水平以及思維層次，主要原因在于其逆向思維能力相對薄弱，在學習公式和定理的過程中仍然以定向作為主導，生硬地識記，死板地套用，既缺乏觀察能力、分析能力，也難以實現創造能力的提升.為了有效落實素質教育，為了發展學生的學科綜合素養，教師需要加大對逆向思維的重視，結合有效的舉措使其得到訓練和培養.

眾所周知，數學是一個特別注重思維能力與思維邏輯的學科，學生在學習數學知識和思考數學問題時需要時刻保持清晰的頭腦，將對現實問題的思考與對數學定理的學習融合到一起，順著既定或未定的思維鏈條來展開整體視角下的解讀與分析，真正實現數學知識的內化與遷移.因此，有關思維的培養和訓練永遠是數學學科教學中十分重要的一個模塊.當人們在日常生活中作出“數學學得好的一定是思維能力強的”這樣的樸素判斷時，實際上就是在強調思維對于數學學習的重要性.在數學知識建構的過程中培養學生的逆向思維，是數學思維培養的重要契機.具體闡述如下：

（一）在概念教學中培養逆向思維

在數學知識體系中概念是一大關鍵構成.教材中所有的概念都以現實中的數量關系以及基本形式作為本質屬性，其本身具有較高的凝練性、抽象性.在講解數學概念的過程中，較為普遍的方式就是直接呈現概念，要求學生識記每一個文字的意義.實際上，應當以逆向的角度引導學生展開思考，這樣才有可能提高概念教學的效能，促使學生對概念展開深入探究，找到隱含其中的條件和性質，幫助學生形成更深刻的解讀.

例如，在教學“映射”的過程中可以設計提問：A→B是集合A到集合B的映射，則集合A與集合B中的各元素的對應情況會是什么樣的？實際上這一提問也是為了對學生的思維進行引導.結合交流探討環節，學生很快就能夠找到正確的答案.

概念是數學知識的基礎，也是學生數學學習的重要內容.數學概念的教學不是將數學概念的定義直接提供給學生，而是要讓學生在自主思考的基礎上生成數學概念，并理解相應概念的定義.在上面這樣一個案例中，“映射”是集合知識中的一個重要概念，可通過問題來引導學生的思維，讓學生有逆向運用思維的空間，從而真正把握“映射”的本質.

（二）在公式教學中培養逆向思維

在數學知識體系中，對于數學公式的學習，一般情況下都是由左到右展開，但是當前也出現了較為普遍的由右向左的運用過程.顯然這也是一個逆向思考的方式.在解答數學問題的過程中，常常需要對公式進行轉化，但是對于大多數學生來說，在此方面明顯缺乏足夠的自覺性，也不具備相應的基本功.所以，在具體教學過程中，為了培養學生的逆向思維，需要立足于公式和法則展開逆向思考，對其進行逆向處理，使學生掌握正確的利用方法，這樣不僅能夠為學生留下深刻的印象，也能夠為此類問題的解決提供有力的支持和幫助.

例如，在學習三角公式的過程中，由于其所涵蓋的知識面很廣，需要輔以逆向思維方式展開有效訓練.這樣既可鍛煉學生的思維能力，也可激發學生參與學習的興趣，使學生充分發揮主觀能動性.

一些學生在數學學習的過程中會機械地運用一些公式去解題.學生之所以會對公式進行機械運用，很大程度上是因為思維固化.日復一日的解題讓學生總遵循著從已知向未知的推理過程，而如果本著培養學生思維能力的初衷來實施教學，就可以打破學生的思維定式，讓學生在運用公式的時候有更加靈活的選擇.

（三）在數學分析中培養逆向思維

分析法所關注的重點是結論，然后執果索因，步步回溯，以此尋求能夠使結論得以成立的條件.以分析法展開思考，其核心在于以求證的結論作為出發點，這樣學生才能夠了解應該以哪些地方著手，才能就此展開積極主動的思考，增強解決問題的信心.由因導果這種方法一般也稱其為綜合法.其與分析法各有優勢，能夠有效彌補對方的不足.例如，在證明某個命題的過程中，可以首先使用分析法，發現能夠作為論證出發點的真命題；其次再使用綜合法，用于闡釋完整的證明過程.在當前的教學實踐中，二者的相互配合非常廣泛，而且分析法大都用于不等式等方面的證明.

對于逆證法而言，雖然其出發點同樣為結論，但是其與分析法之間仍然存在顯著差別.逆證過程中，兩個論斷應當互為充要條件.在使用逆證法的過程中，首先需要對不等式以及恒等式進行變形處理，然后推導出一個已知的不等式或者恒等式.一般情況下，逆證法并不簡單，其重點在于引導學生掌握并靈活運用分析法.

如果某個數學問題是以命題的形式出現的，要判斷其錯誤，首先應當舉出一個例證，能夠滿足這一命題的條件，但是在這一條件下結論不成立，這就是反例.在實際教學過程中，應幫助學生掌握構造反例的方法，使學生既能夠深入理解定義定理，也能夠加深記憶、有效糾錯，這也是培養逆向思維能力的有力手段.例如，“一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形為平行四邊形”，可以判定這是一個假命題，因為只需要給出一個等腰梯形即可驗證.

（四）在數學應用中培養逆向思維

在當前的高中數學教學中，數學應用主要是指運用數學知識去解題.從實際情形來看，高中生已經形成了自身的主觀因素，解決數學問題時也會有自己的數學認知，這就導致高中生在嘗試解決一些數學難題時會出現思維定式，導致高中生思維邏輯能力發展受到阻礙.因此，高中數學教師在教學過程中，要加強學生思維邏輯能力的鍛煉，要讓學生從逆向思維邏輯方面進行解析，打破學生的思維定式，提高學生的數學解題能力，增強學生對高中數學難題的認知，這樣才能真正培養出符合國家需求的創新型人才.高中數學知識體系最突出的特點就是公式較多，然而對于學生來說，只有熟練掌握公式，準確把握其內涵，才能夠做到靈活運用，才有助于提高解題效率.這里所說的公式運用與上面提到的公式教學有所不同，公式運用更多的是面向學生的，教師要站在學生的角度去思考他們對公式的選擇與運用，這樣才能夠借助公式運用打開逆向思維培養的空間.在此過程中，教師需要結合實踐幫助學生樹立正確的公式互逆運算意識.

例如，sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.對于高中生而言，這一公式并不陌生，但是在實際練習的過程中，如果只給出試題“sin24°cos36°+cos24°sin 36°=？”，學生雖然能夠產生似曾相識之感，但是仍然不知所措.之所以會出現這樣的問題，就是因為學生長期陷于慣性思維中，缺乏對公式的逆向掌握和聯系.筆者認為，應當在教學公式的過程中輔以逆向理解以及練習，以發展學生的逆向思維.

在練習過程中，需要帶領學生梳理已經學習過的知識以及解題技巧，這樣才能幫助學生掌握一類例題的解決方法，提高解題效率.此外，還應當關注逆向思維的培養，這樣才能夠做到正難則反.例如，在面對某些數學題時，如果按照常規思路不能解答，就需要轉化思路，以逆向的視角展開思考，或者也可以結論作為出發點展開逆推.如（a+2）x2-8x+a=0，求a的取值應該為多少，方程的根至少有一個為正實數.針對此題，如果選擇常規思維，學生必然會發現，出現了很多結果.實際上，最適合的方式就是逆向思考，了解a在怎樣的情況下會出現兩個負根，這樣解題會更輕松、更便捷.

高中數學知識的學習呈現出較高的挑戰性以及思維性，也因此對師生提出了更高的要求.現在的高中數學教學面臨著“雙減”、核心素養培養以及新高考等背景，從宏觀現實來看，“雙減”政策落實的背景下，減負、提質、增效的呼聲越來越高，而深度學習關注學生學習思維的發展，致力于提高教學的有效性，打破了“題海戰術”的僵化學習模式，在減輕學生負擔的同時保證了教學質量.如果以教師的視角來看，需要立足于實踐，關注思維能力的培養，特別是逆向思維能力的滲透，這樣才有助于學生掌握高效的解題技巧，提高學習效能，發展數學核心素養.

結 語

總體而言，要將逆向思維能力的培養落到實處，高中數學教師就要認同逆向思維培養的意義，要在教學中開辟出時間與空間，來讓學生有更多體驗逆向思維運用的機會，從而形成屬于學生自己的逆向思維生長體驗，這是逆向思維能力培養的必由之路.

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