例談旋轉變換在幾何最值問題中的應用

摘" 要：直觀想象是高中數(shù)學六大核心學科素養(yǎng)之一，較高水平的直觀想象素養(yǎng)能夠通過想象對復雜的數(shù)學問題進行直觀表達，反映數(shù)學問題的本質，形成解決問題的思路.文章通過實例展示幾何圖形的旋轉變換在幾何最值問題中的應用，旨在引導學生逐漸養(yǎng)成運用圖形和想象進行思考的習慣，綜合“形”與“數(shù)”兩個維度認識事物的本質，提升直觀想象素養(yǎng).

關鍵詞：直觀想象；核心素養(yǎng)；旋轉變換；幾何最值

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0060-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：王道金（1971—），男，本科，中學正高級教師，湖北省特級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

在解決幾何最值問題的時候經常采用三角函數(shù)、向量或解析法等手段，然而有時候采用幾何手段，回歸幾何本質，可以使問題的直觀性更好，運算量大為降低.下面舉例展示應用旋轉變換的方法解決幾何最值問題，簡潔直觀，數(shù)形結合思想展現(xiàn)得淋漓盡致，充分體現(xiàn)提升直觀想象素養(yǎng)的重要性.

1" 長度最值問題

例1" 如圖1，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，AC⊥CD，AC=CD，當∠ABC變化時，求BD的最大值.

解析"" 如圖2，△ACD為等腰直角三角形，考慮旋轉變換，將BC繞點C順時針旋轉90°到達CE，則ED=BA=1.

點D在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，則EB=6，BD≤BE+ED=1+6，

當B，E，D三點共線時，BD取得最大值1+6.

點評" 此題用旋轉變換探求出點D的軌跡，幾何直觀性就顯露無遺，解法自然簡潔［1］.

變式1" 如圖3，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，AD⊥CD，AD=CD，當∠ABC變化時，求BD的最大值.

解析" 如圖4，△ACD為等腰直角三角形，考慮旋轉位似變換，將BC長度縮短為原來的12倍，繞點C順時針旋轉45°到達CO，則△DOC，△ABC相似.

所以OD=12BA=22［2］.

點D在以O為圓心，22為半徑的圓上運動，則

OB=62，BD≤BO+OD=2+62，

當B，O，D三點共線時，BD取得最大值2+62.

2" 面積最值問題

例2" 如圖5，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，求△BCD面積的最大值.

解析" 如圖6，由△ACD為正三角形，考慮旋轉變換，將BC繞點C順時針旋轉60°到達CO，則OD=BA=1.

點D在以O為圓心，1為半徑的圓上運動，作OT⊥BC于點T，DH⊥BC于點H，則

OT=3，DH≤DO+OT=3+1.

當D，O，T三點共線時，△BCD的面積取得最大值3+1.

變式2" 如圖7，在平面凸四邊形ABCD中，AB=2，BC=1，AC⊥CD，∠CAD=π3，求△ABD面積的最大值.

解析" 如圖8，將AB繞點A順時針旋轉π3角度到達AE，且使得AE=2AB，可以得到△AED與△ABC相似［3］，DE=2BC=2.

點D在以E為圓心，2為半徑的圓上，所以當B，E，D三點共線時，點D到AB的距離最大，△ABD面積的最大值為2+23.

例3" 如圖9，在平面凸四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=75°，對角線BD=4，求四邊形ABCD面積的最小值.

解析" 如圖10，△ABC是正三角形，考慮旋轉變換，將△ADB繞點B逆時針旋轉60°，到達△BCT的位置，連接DT，則△BDT為正三角形，∠DCT=∠ADC+∠ABC=135°為定值，點C在以DT為弦，半徑為22的圓O上.

當OC⊥DT時，△DCT的面積最大為2（22-2）.

四邊形ABCD等于△BDT的面積與△DCT的面積之差，四邊形ABCD面積的最小值為43+4-42.

點評" 此題用旋轉變換將原四邊形的面積進行重組，在△BDT確定的條件下探尋點C的動態(tài)規(guī)律，等于是減少了動態(tài)因素，使得問題變得更加直觀.

3" 角度最值問題

例4" 如圖11，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，求∠BDC的最小值.

解析" 如圖12，由△ACD為正三角形，考慮旋轉變換，將BC繞點C順時針旋轉60°到達CE，則ED=BA=1.

點D在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，作EH⊥BC于點H，設經過B，C且與圓E相內切的圓與圓E相切于點F，則當點D在點F處時∠BDC最小，EF=1，EH=3，∠BDC的最小值為

2arctan13+1，即為arccos3+4313.

點評" 如果要求∠BDC的最大值，則需要找到經過B，C且與圓E相外切的圓，用幾何直觀求解.

4" 長度之比的最值問題

例5" 如圖13，在等邊△ABC中，P為△ABC內部一點，且∠BPC=2π3，求PAPC的最小值.

解析" 如圖14，將△ABC繞點C順時針旋轉π3到達△CAD，CP旋轉到CO，易知△CPO為正三角形，△COA≌△CPB，∠COA=2π3，∠COP=π3，∠AOP=π3，PAPC=APPO=sin（π/3）sin∠PAO≥sinπ3=32，當PA⊥AO時取得等號，

即PAPC的最小值為32.

點評" 原圖△PAC中角度都是未知量，不便于求PA，PC之比，通過圖形旋轉變換轉移線段的位置，在△PAO中，可以求出∠AOP，這有利于求解PA，PC之比［4］.

試題鏈接" （2019年佛山市青年教師解題比賽第15題）在平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=5，BD⊥BC，BD=2BC，求AD的最小值.

答案" AD的最小值為5.

5" 結束語

由上面的問題可見，有些幾何最值問題的條件涉及三角形具體形狀，我們可以利用三角形的形狀實施旋轉變換，通過探求動點的軌跡或者調整圖形的位置，利用幾何直觀性來解決問題.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構建抽象結構的思維基礎.在高中幾何內容模塊教學中，要堅持回歸幾何本質，用數(shù)形結合的思想分析問題和解決問題，提升學生的直觀想象素養(yǎng).

參考文獻：

［1］

中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 王孝波.旋轉變換在幾何解題中的作用［J］.中學數(shù)學雜志，1999（10）：18-19.

［3］ 李鍵，李永忠.例談旋轉變換在幾何試題中的應用［J］.中學生數(shù)學，2023（20）：11-13.

［4］ 馬加升.圖形的旋轉變換在數(shù)學解題中的應用［J］.課程教材教學研究，2020（Z1）：29-31.

［責任編輯：李" 璟］