初中數學教學中幾何模型的建立、應用與強化

摘 要：初中數學“圖形與幾何”領域學習內容，重點培養學生從條件到結論的思維方式和推理方法，使學生經由嚴謹的推理過程形成綜合運用“圖形與幾何”領域知識與方法解決初中數學問題和相關生活實際問題的能力。在教學實踐中，教師可以從課前準備階段的學情分析與教學思考入手，明確課堂教學目標和基本教學方法；課堂上通過帶領學生分析前期所學知識提煉“圖形與幾何”領域的研究路徑，基于幾何模型的建立、應用與強化穩步推進教學，讓學生經歷猜想、驗證、獨立思考、小組合作學習等多樣化的學習過程，從中培養模型觀念，發展數學建模思維。

關鍵詞：初中數學；幾何模型；三角形；中位線定理；平行四邊形；逆命題

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）13-0072-05

初中數學“圖形與幾何”領域學習內容，重點培養學生從條件到結論的思維方式和推理方法，使學生經由嚴謹的推理過程形成綜合運用“圖形與幾何”領域知識與方法解決初中數學問題和相關生活實際問題的能力。而這對于剛剛接觸邏輯推理的初中生而言，不僅思維難度較大，而且綜合運用所學知識與方法解決問題的能力要求也相對較高。基于學生的認知規律和多年的教學經驗，我們認為，運用幾何模型幫助學生總結已有的邏輯推理經驗，引導學生學會利用已有的經驗構建幾何模型，可以有效強化學生的模型意識、培養學生的模型觀念，促進其形成幾何直觀和空間觀念等數學核心素養［1］。

初中數學幾何模型是幫助學生理解和解決“圖形與幾何”領域相關問題的有效工具。借助模型，學生可以更加直觀地掌握圖形的形狀、大小、位置等概念，提升對圖形的理解以及對相關問題的解決能力。初中數學“圖形與幾何”領域所涉及的定義、性質、判定、定理等，多數都有對應的幾何模型。可以說，初中數學“圖形與幾何”領域的教學實際上就是讓學生認識幾何模型、探索幾何模型性質、拓展幾何模型相關聯的衍生模型、在數學問題和實際問題中運用幾何模型解決問題的過程。因此，針對該領域的教學，教師應根據教與學的需要創設適合的情境，適當增加幾何模型及衍生模型的教學過程，引導學生樹立模型意識、培養模型觀念，使他們對已學知識和方法有更深入的認識和理解，進而發展數學建模思維［2］。下面我們以人教版數學八年級下冊“三角形中位線定理”一課為例，探討在初中數學教學中通過實踐幾何模型的建立、應用和強化培養學生模型觀念、提高學生邏輯推理能力、促進學生形成幾何直觀和空間觀念等數學核心素養的具體做法。

一、課前準備階段的學情分析與教學思考

（一）學情分析

在學習本課之前，學生已經經歷了運用全等三角形的相關知識探索并證明平行四邊形的性質定理、判定定理的學習過程，能夠運用平行四邊形的性質定理、判定定理進行簡單的推理并對這個推理過程做出說明，能夠計算求解簡單的角、線段、面積、周長等問題，演繹推理能力得到了進一步培養和發展。這些推理經驗和活動經驗的積累及相關解題能力的發展，為學生在本課探索并證明三角形中位線定理打下了扎實的思維方法基礎。

根據以往的教學經驗，學生在學習三角形中位線定理的過程中，遇到的最大困難是不知如何將“中位線定理”這一新問題向之前所學的平行四邊形知識轉化，也就是不知道如何添加輔助線將中位線問題變成平行四邊形問題。盡管部分學生在預習教材內容后知道了怎樣添加輔助線，但對于為什么要添加輔助線、為什么要這樣添加輔助線、還可以怎樣添加輔助線、以后遇到新的類似問題又該如何添加輔助線等問題依然感到困惑。而要解決這一系列衍生問題，幾何模型的建立起著至關重要的作用。因此，教師在教學過程中，需要引導學生對平行四邊形這一特殊的幾何模型進行深度探究，促進其深度理解，重點是讓學生從中感悟到模型的作用和魅力，進而發展其邏輯推理能力，促進其形成模型思維［3］。

（二）目標分析

本課教學，學生需要理解并掌握三角形中位線的定義，能夠通過定義畫出三角形的中位線。在探索和證明三角形中位線定理的過程中，學生需要了解輔助線添加的目的，先通過合情推理直觀感受中位線的位置特點，再通過演繹推理證明中位線的位置關系，進而得出其中的數量關系。此外，學生還需要學會先通過幾何直觀進行判定、再通過邏輯推理來驗證判定的數學思維方法，并通過把三角形中位線定理的題設與結論互換證明其逆命題的真實性，鞏固通過添加輔助線構造數學模型解決新問題的思維方法。本課教學對學生的能力培養集中在培養學生的識圖能力、抽象能力、推理能力以及對所學知識的應用能力等方面。

（三）教學分析

三角形中位線定理是三角形的重要性質定理。本課在探索和證明三角形中位線定理的過程中，應考慮學生原有的知識積累和認知水平，特別是學生已經掌握的解決問題的方法和技巧，并在此基礎上對學生加以引導，使學生通過新舊經驗的相互作用形成新的認知經驗，豐富和調整已有的認知結構，同時讓學生學會總結經驗，幫助學生完成三角形中位線定理的證明過程。本課教學，教師還要引導學生學會從用三角形解決平行四邊形問題過渡到用平行四邊形解決三角形中位線問題，強化學生對轉化思想的認識并引導學生靈活運用，使學生通過獨立思考、合作探究，有效突破借輔助線添加實現定理證明的學習難點。

為幫助學生突破學習難點，教師可以設計一個建立幾何模型、運用幾何模型、強化幾何模型的教學過程，讓學生經歷提煉“圖形與幾何”領域基本研究路徑，面對新問題經歷猜想、驗證最終建立、運用和強化新的幾何模型的學習過程。其間需要在三角形中位線定理基本圖形基礎上衍生出做輔助線的方法，以及用全等三角形和平行線四邊形知識解決問題的方法等方法性知識，教師在教學中還可以引導學生通過將兩種方法進行對比，讓學生感受到運用平行四邊形的性質定理和判定定理解決問題的簡潔性；通過對三角形中位線定理逆命題的證明，讓學生進一步感受“圖形與幾何”領域的研究路徑以及問題解決方法的多樣性［4］。

二、課堂教學階段幾何模型的建立、應用與強化

（一）以舊引新提煉研究路徑

主問題：這段時間我們學習了哪些內容？

在學生自由作答的同時，教師可強化以下三個追問，逐漸引出相關的研究路徑（如圖1）。

追問1：在研究平行四邊形時，我們研究了哪些內容？

追問2：觀察符號語言，你有什么發現？

追問3：關于這些性質和判定的研究，我們經歷了哪些學習過程？

教學分析：通過帶領學生回憶平行四邊形的學習內容，歸納“圖形與幾何”領域從性質到判定、從文字到符號、從猜想到驗證的研究路徑，一方面可以幫助學生梳理知識，另一方面可以為本課三角形中位線的學習與研究明確方向和路徑。學生通過對平行四邊形性質定理和判定定理的回顧，可進一步明確兩者之間互為逆命題的關系；通過對比四邊形和平行四邊形性質上的差異，體會從一般到特殊的學習過程，體會平行四邊形性質定理和判定定理的特殊性所在；通過思考“為什么要學習符號語言”的問題，感受數學符號語言的簡潔美；通過觀察符號語言，進一步理解用兩個條件判定一個平行四邊形的優勢及重要性。

（二）經由“猜想—驗證”，初步建立幾何模型

1.引導學生展開猜想

主問題：請大家猜一猜三角形中位線與什么有關？

追問1：三角形的中位線是一條什么線？

追問2：你覺得三角形的中位線有什么特點？

追問3：要想證明我們的猜想對不對，必須要知道已知條件是什么、求證是什么。請問這里的已知條件和求證各是什么？

追問4：解決這個問題的切入點在哪里？

追問5：中點是這個問題非常重要的已知條件，我們需要回憶一下跟中點有關的知識。那么，與中點有關的知識，我們之前學習了哪些？哪些可以幫我們解決這個問題？

教學分析：從“三角形中位線”這一數學名詞入手，學生很容易聯想到它一定與中點有關。于是教師可以先畫出三角形的一條中位線，讓學生直觀感知它是什么，從而引出三角形中位線的定義，便于學生理解和接受。鑒于三角形的中位線定理在同一個題設下指向兩個結論（一個表明位置關系，一個表明數量關系），并且需要添加輔助線來證明，這就進一步增加了它的學習難度。那么，教師如何幫助學生分解學習難點呢？教師可以先讓學生觀察三角形中位線的基本圖形，猜想其特點，發展學生的幾何直觀。通常情況下，多數學生能夠直觀猜測到與第三邊平行的位置關系，卻很少有學生能夠發現二者之間的數量關系。雖然學生只能猜到一半的結論，但教師可以順應學生的思維實施教學，先證明是否平行：通過共同探討已知條件、求證什么，厘清研究方向和內容，把直觀的猜想判定上升到邏輯推理的高度，從中培養學生的推理意識，發展學生的推理能力。

2.組織學生展開小組合作探究

教師順應學生的思維，先課件出示如圖2所示的問題，引導學生驗證自己的猜想。

師：要想證明兩線平行，目前我們有哪些方法？

生：平行線的判定法。

師：還有嗎？（無應答）

師：之前我們學習了平行四邊形，平行四邊形的對邊有什么性質？

生：互相平行。

師：那么，你能得到什么啟發？

生：證明它是平行四邊形的一組對邊！

師：那么，接下來我們需要做的就是，如何在三角形中位線這個圖上構造出一個平行四邊形，再利用平行四邊形的知識來證明兩線平行。試試看吧！

由證明兩線平行過渡到發現和驗證兩線的數量關系，教師在提出自己的猜想后，開始帶領學生復習與三角形有關的知識，為驗證兩線的倍半關系尋找突破口：七年級學習了線段的中點知識，知道線段中點可以平分線段，得到相等或倍半的數量關系；八年級學習了三角形的中線知識，知道中線可以平分三角形的一條邊以及三角形的面積，同樣可以得到相等或倍半的數量關系，甚至在等腰三角形中還具有三線合一的性質；在八年級學習三角形全等時，還學習了倍長中線構造三角形全等的知識。

教學分析：帶領學生復習相關知識，是為了教給學生解決問題的方法，讓學生學會梳理知識，學會從已學知識中選擇適用的知識解決所面臨的新的關聯問題，實現知識的遷移與運用，進而提高解決問題的能力。

面對本課倍半關系這個新問題，學生先獨立思考、再小組合作不斷嘗試，最后互相補充，給出了八種證明三角形中位線定理的方法。

解法一：如圖3（1），延長DE至F，使EF=DE，則△ADE≌△CFE。于是有∠DAC=∠ACF，AD=CF，則BD∥CF，BD=CF，四邊形DBCF為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

解法二：如圖3（2），延長ED至F，使DF=DE。解法和過程同解法一。（略）

解法三：如圖3（3），過點A做AG∥BC。過點E做GF∥AB，交BC于點F，交AG于點G。于是四邊形ABFG為平行四邊形，△AEG≌△CEF。于是AB∥GF，AB=GF，GE=EF=0.5GF，AG=BF=FC=0.5BC。于是有AD=0.5AB=GE=0.5GF，四邊形ADEG為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

解法四：如圖3（4），過點A做AG∥BC，取BC中點F，連接FE并延長，交AG于點G。則有△AEG≌△CEF，AG=FC=BF=0.5BC，GE=EF=0.5GF，于是四邊形ABFG為平行四邊形，AD∥GE，AD=0.5AB=GE=0.5GF；四邊形ADEG為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

解法五：如圖3（5），過點A做AG∥BC。過點D做GF∥AC，交BC于點F，交AG于點G。過程與方法同解法三（略）。

解法六：如圖3（5），過點A做AG∥BC，取BC中點F，連接FD并延長交AG于點G。解法與過程同解法四（略）。

解法七：如圖3（6），延長DE至F，使EF=DE。由EA=EC，ED=EF，可知四邊形ADCF為平行四邊形，則BD∥CF，BD=CF，于是四邊形DBCF為平行四邊形，則有DE∥BC，DE=0.5BC。

解法八：如圖3（7），分別過點B，A，C向直線DE做垂線段，垂足分別為F，G，H。則有△ADG≌△BDF，△AEG≌△CEH，FB∥CH；于是FD=DG=0.5FG，GE=EH=0.5GH，FB=AG=HC，DE=0.5FH，四邊形FBCH為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

在學生完成證明后，教師帶領學生適時總結這些解法的共性：在已有線段中點的前提下，可補全另一條線段，使之形成互相平分的關系（如圖4），進而構造出平行四邊形或全等三角形，再利用平行四邊形的知識進行證明。此時可見，平行四邊形可以起到聯系未知與已知的橋梁作用，從而成為一種解題方法的新模型。這個模型可以啟發學生：今后遇到新問題，要努力往模型的方向進行思考，思考的問題包括“這個新問題與我們之前學過的哪個模型有聯系？”“可以怎樣聯系？”“這個問題可以怎樣轉化？”等等。

教學分析：在證明三角形中位線定理的過程中，教師通過讓學生經歷觀察、猜想、推理論證、歸納總結、形成定理的過程，培養學生的數學眼光、數學思維、數學表達；通過啟發學生回顧三角形中位線定理的證明過程，讓學生感悟平行四邊的性質定理、判定定理在其中所起到的重要作用；通過總結建立模型的方法，讓學生理解一題多解和多題一解，培養學生綜合運用平行四邊形和三角形的知識解決問題的能力。

（三）經由逆向推理，嘗試運用幾何模型

主問題：三角形中位線定理實際上就是三角形中位線的性質。平行四邊形性質的逆命題就是平行四邊形的判定，那么三角形中位線定理的逆命題也能成立嗎？

追問：根據三角形中位線定理的符號語言，請寫出逆命題的已知和求證，并進行證明。

教學分析：用符號語言寫出三角形中位線定理的逆命題（如圖5），對學生來說并不困難。根據幾何圖形的研究路徑，進一步研究中位線定理的逆命題是否成立，旨在培養學生的逆向思維能力。對于學生而言，三角形中位線定理的證明可以讓他們了解添加輔助線的方法以及運用平行四邊形知識解決問題的優越性和必要性，但是在證明逆命題的過程中，學生將會重新思考解決問題的切入點以及添加輔助線的新方法，并形成新的幾何模型，進一步鞏固和掌握添加輔助線的方法以及平行四邊形知識和模型思想的應用。

學生通過獨立思考、小組合作、互相補充的方式，最終用三種方法完成了這一逆命題的證明。

1.從倍半關系入手，通過倍長中位線做輔助線構造平行四邊形，再運用平行四邊形的性質和三角形全等的知識最終解決問題。

解法一：如圖6（1），延長DE至F，使EF=DE，則DF∥BC，DF=BC，四邊形DBCF是平行四邊形，于是有BD∥CF，BD=CF，△ADE≌△CFE；于是可得AD=DB，AE=EC。

2.從倍半關系入手，通過取中點連線構造兩個平行四邊形，再推理出第三個平行四邊形，最終運用平行四邊形的性質定理和判定定理解決問題。

解法二：如圖6（2），取BC的中點F，連接DF，EF，則DE=BF=FC，DE∥BC；于是可知四邊形DBFE和四邊形DFCE均為平行四邊形，于是有BD∥EF，DF∥EC，則四邊形ADFE為平行四邊形，AD=DB，AE=EC。

3.從平行的條件入手，通過做平行線構造平行四邊形，再結合倍半關系，判定兩個新的平行四邊形，最后解決問題。

解法三：過點E作EF∥BD，交BC于點F，連接DF，則四邊形DBFE為平行四邊形；于是可得DE=BF，DE=0.5BC，DE=FC，DE∥BC；于是四邊形DFCE和四邊形ADFE為平行四邊形，則有AD=DB，AE=EC。

從不同角度思考，解決問題的方法不同，思維的路徑也不同，最終形成的幾何模型及解決問題時所用到的知識點也不同。從學生解決問題的方法來看，學生一步一步地從運用全等三角形知識過渡到運用平行四邊形的知識解決問題，基本達成了本課教學目標。

三、課堂小結與課后作業

（一）課堂小結

回顧總結，強化解題過程中幾何模型的建立、應用與強化以及推理過程中轉化思想與模型思想的應用。

問題1：在本課中，你學習了哪些知識？

問題2：在本課中，你學習了哪些添加輔助線的方法？

問題3：在本課中，你學習了哪些數學思想方法？

問題4：什么是幾何模型？你體會到幾何模型的哪些魅力？

教師用四個問題引導學生回顧總結本課的學習收獲，最終提煉出如圖7所示的結論。

教學分析：小結部分從知識、方法、思想三個層面對本課所學內容進行總結歸納，化繁為簡，旨在培養學生總結歸納的習慣與能力，進一步培養學生的應用意識和創新思維，發展學生的幾何直觀與空間觀念。

（二）課后作業

教師用問題5引出如圖8所示的課后作業。

問題5：根據本課所學內容，已知兩個中點可以證明平行和倍半關系，已知平行和倍半關系可以證出兩個中點，那么把一個中點與一個平行或倍半關系相結合能否得出另外兩個結論呢？

教學分析：最后的探究式課后作業，既是本課知識應用的延續，也是解題切入點、添加輔助線方法的延續，還是思維方法和幾何模型的延續，可以幫助學生進一步鞏固本課所學內容，對幾何模型進行強化。

總之，模型觀念是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的“三會”核心素養在初中階段的主要表現之一，與小學階段的模型意識相互銜接。在小學階段，模型意識僅要求學生對數學模型普適性有一個初步的感悟；到了初中階段，模型觀念開始要求學生對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識，要求學生知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑，要求學生能夠初步感知數學建模的基本過程。為了回應課標的要求，本課教學通過引導學生在解決問題時建立幾何模型，在解決新的問題時應用幾何模型，讓學生在反反復復的正向、逆向的思維訓練中逐漸熟悉幾何模型，訓練學生數學思維的靈活性、深刻性，讓學生在學到新的數學知識的同時，也學會總結思維方法，建立和應用幾何模型解決問題，從而有效發展數學核心素養。

參考文獻

［1］劉建雄.初中數學幾何教學的有效方法探析［J］.考試周刊，2021（10）：71-72.

［2］黃勇.初中數學幾何教學中的模型運用［J］.天津教育，2019（8）：103-104.

［3］白金巍.如何有效開展初中數學幾何教學［J］.科普童話，2020（15）：52.

［4］常文婷.初中幾何教學問題與解決方法［J］.中國教師，2019（增刊1）：84.

［5］何璇.基于數學思維能力培養的定理教學研究：以“三角形中位線定理”教學設計為例［J］.初中數學教與學，2022（24）：26-28.

注：本文系南寧市教育科學“十三五”規劃課題“基于新課程標準初中數學項目式學習的實踐研究”（2022C492）、南寧市教育科學“十四五”規劃課題“初中生‘數學思維表達能力’培養的實踐研究”（2023B203）、南寧市“中小學、幼兒園教育教學銜接”專項課題“新課標背景下小初數學教學有效銜接的研究”（2022XJJY001）的階段研究成果。

（責編 白聰敏）