數學本質觀下以問題為導向促素養提升的策略

［摘 要］數學的本質是從現實世界中抽象出概念，研究數量關系和空間形式，探索其中的邏輯，從而幫助人們理解和表達現實世界 。數學概念教學是提升數學核心素養的載體，通過引導學生學習和應用數學概念，可以提升學生的抽象能力等核心素養。數學本質觀既是一種教學思想，?也是一種教學理念和實踐指導，?它強調讓學生深入理解數學的本質，?提升學生的數學核心素養。在數學本質觀下的數學概念教學中，教師應結合學生的認知水平和數學學習特點，設置一系列問題，為學生搭建學習的“腳手架”，以幫助學生理解數學的本質，進行有效探究和學習，從而實現思維生長和素養提升。

［關鍵詞］數學本質觀；問題導向；核心素養；概念教學

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0025-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，使學生在活動中發展核心素養。為了實現這一目標，教師需要依據學生的學習特點，開展恰當的教學活動，激發學生的學習興趣，引導學生積極思考，進行有效學習。

教師在設計教學活動時，需要考慮學生的認知水平和學習特點，以問題為導向，引導學生解決問題，提高思維能力，發展核心素養。

數學的本質是抽象、邏輯、關系、結構，其包含三個層次：（1）數學的知識之間的關系。學習數學時要尋根溯源，找到知識的本源，從源頭來思考問題，找到建構知識的切入點。（2）數學的思維方法。數學學習涉及抽象思維、邏輯思維、模型思維、理性思維、創造性思維等思維方法，數學教學應設計具有一定“含金量”的思維訓練活動，以發展學生的數學思維。（3）數學的思想。在顯性的知識和技能層面背后隱含著“內核思想”，學習數學時要深度理解如何抽象、如何推理、如何建模、如何應用等，把握內在的數學思想。

數學概念教學是數學教學內容之一。學生對于概念的學習，需經歷感知活動、思維加工、理解應用、形成結構四個步驟。數學概念學習的關鍵在于概念形成時，學生對基本概念的深度理解與對數學特有思維方式的感悟；在概念應用時，能將所建構的知識、方法與思想在現實世界中進行準確表達。在一系列的概念建構和應用中，使知識、方法、思想形成一個良好的結構。

在數學本質觀的引領下，教師應結合學生的認知水平和數學學習特點，設置一系列問題，為學生搭建學習的“腳手架”，以幫助學生理解數學的本質，進行有效探究和學習，從而實現思維生長和素養提升。本文具體闡述在數學本質觀下的數學概念教學中如何以問題為導向促進學生核心素養的提升。

一、數學本質觀下的數學概念教學策略

（一）厘清知識本源，促進有效探究（學習）

新概念并不是憑空產生的，而是基于一個原型“生長”而來的。這個原型源于學生的已有經驗，是新概念的最原始“本質”。因此，新概念教學的第一步，應探明并找到這個原生點，并以此為起點開展教學。

[案例1]在“由平行線截得比例線段”的教學中，筆者以學生已有的中位線知識經驗為原生點，開展新知識的教學。

問題1：如圖1所示的[△ABC]中，[DE]是中位線，圖中有沒有成比例的線段？

問題2：在[△ADE]中再添加一條中位線[FG]，又會有哪些線段成比例？比例是多少？

問題3：如果[H]、[I]點分別是[AB]和[AC]的三等分點，你認為線段[HI]和[BC]的比例是多少？

問題4：如果[H]、[I]點分別是[AB]和[AC]的四等分點，你認為線段[HI]和[BC]的比例又是多少？

……

教學說明：三角形中位線的性質是學生所熟知的知識，中位線既有平行的特征，又有二分之一比例的特征，涵蓋了“由平行線截得比例線段”新概念中的“平行”“比例”兩個關鍵詞，可以說是新概念最為簡單、特殊的一種形式，以此作為教學的起點，既符合認知心理學的特點，又能激發學生的探究欲望，引導學生進行有效探究和學習。加強了數學知識之間的聯系，培養了學生的邏輯推理能力和幾何直觀素養。

（二）經歷探索過程，發展數學思維

新概念的建構發生于特殊的事例，所以初始概念的形成只是狹隘的猜想，性質與定律也是處于一種模糊的狀態，若此時就進行概念的應用，難免會出差錯。因此，在概念建構時必須讓新概念具有普遍意義，也就是要經歷化特殊為一般的過程。在最大限度的不完全歸納中，去除一些表象和相異構想，在寬泛中不斷聚攏，精確找到“一般”中的共性部分，這也是概念最為本質的東西，是后續概念應用的基準。

[案例2]在“相似三角形”的教學中，筆者以全等三角形（相似比等于1的特殊相似圖形）的角與邊的定義作為概念的生長點，借助網格等比例縮小的方法，以[∠A]為公共角，[BC]平移形成[PQ]（如圖2），讓學生初步猜想相似三角形的概念。在此基礎上，不斷地變化，層層遞進，觀察歸納，形成對相似三角形概念的準確定義。

問題1：△ABC中， PQ是中位線，圖中有沒有成比例的線段？繼續探究△APQ和△ABC是什么關系。

問題2：類比全等三角形的概念，△APQ和△ABC的角、邊分別是什么關系？

問題3：如果H、I點分別是AB和AC的三等分點，你認為[△AHI]和[△ABC]的邊對應成比例嗎？比例是多少？

問題4：把△APQ通過平移變換、軸對稱變換、旋轉變換等（通過信息技術演示），△APQ和△ABC的角還對應相等，邊還對應成比例嗎？

問題5：全等三角形和相似三角形的關系是什么？

教學說明：通過問題1、2的思考與解答，類比全等三角形，不難得出“角對應相等，邊對應成比例”；從特殊到一般的第一次推進，學生已經能表達出相似三角形是形狀相同的三角形的等比例縮放的本質。然而我們要注意的是，此時學生的認知還是停留在線段的平移縮放上，并沒有深度理解相似三角形，筆者繼續以問題為導引，進行從特殊到一般的第二次推進。問題3，角對應相等，邊對應成比例，與比值大小無關。學生對相似三角形是形狀相同的三角形的等比例縮放有了一定的認識，然而此時他們的認知局限于線段的平移縮放，概念的建構還較狹隘，難免會形成相似三角形與位置相關的相異構想。問題 4是將平移推進到圖形內的旋轉，突破了平移的位置關系。

位置不是概念的限定因素，只有從角和邊去定義才是概念的本質。此時，學生對相似三角形本質特征（如圖 3）的認知才真正具有一般性和精確性。

浙教版教材是通過測量三角形的角度和邊長得出相似三角形的概念的，雖然精準地得出了相似三角形的概念，但僅僅完成了概念的形式教學，并不利于學生思維的發展，不利于“相似圖形”與現實生活中“圖形的縮小和放大”產生鏈接，不利于學生對知識的建構。此外，設計一些有利于學生自主探究學習的數學教學活動，能培養學生的自主學習能力，讓學生在獲得“四基”的同時，提升核心素養。

（三）深挖教學內容，凸顯數學思想

學生雖然通過一些事例的辨析，認識了新概念的本質特征，但是這些事例是經過教師良構處理的，是最精簡的基礎模型，此階段學生的思維缺乏靈動性。如果將新概念置于一個較為復雜的模型中，學生還是難于靈活運用，那么對形成概念的這些事例作進一步的處理就尤為必要，我們可以對情境條件進行加、減等置換，增加數學模型的復雜程度，使學生能夠基于概念的本質去觀察和思考復雜模型，逐步凝練出一些解決問題的策略。

[案例3]在“二元一次方程組”的教學中，筆者從學生熟知的雞兔同籠等事例出發，類比二元一次方程的概念，引導他們逐步得出二元一次方程組的本質特征：①有兩個一次方程；②兩個方程一共含有兩個未知數；③二元一次方程有無數個成對的解，二元一次方程組的解是兩個方程的公共解。筆者對雞兔同籠等事例進行了條件和符號的置換，設置如下問題和任務：

小王和小應一起去火龍果果園里摘果，已知小王袋子中的火龍果比小應多2個。若小王從小應那里拿來一個火龍果放到自己的袋子中，則小王袋子中的火龍果是小應的2倍。問：小王和小應原來各摘得火龍果幾個？

（1）觀察題目中有哪些未知量？（有兩個未知數）

（2）找出題目中蘊含等量關系的語句描述（有兩個等量關系）。

（3）確定未知量之間的等量關系。

（4）設元表示等量關系，列出方程組（未知數[x]、[y]代用的普遍性）。

（5）求解方程組（火龍果的原有個數是客觀、唯一的）。

（6）思考此題的解答過程，說說你在解題中獲得哪些方法上的啟發。

教學說明：此題通過“拿火龍果”的條件變化，將“雞兔同籠”問題中靜態的數量關系演化為動態的數量變化關系，使條件變得更為復雜，然而它仍然是有兩個未知數、有兩個等量關系，本質上還是二元一次方程組。6個任務的設置逐步推進，從發現兩個未知數、兩個等量關系、一個公共解的特征契合到二元一次方程組的基本特征，設元建立數學模型，通過數理的演算獲得答案，這是對知識本質的理解。在6個任務的完成過程中，筆者有意滲透了解決二元一次方程組的基本思維方法，讓學生在反思中體悟基本策略，并上升到“基于何種本質，在何種條件下，可采用何種策略”的數學觀念。二元一次方程組的應用，體現數學的工具性。數學的應用，增強了學生的模型觀念，也提升了學生“四能”。

（四）跨學科項目化學習，提升核心素養

新課標提出“讓學生會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界”，這揭示了數學理論不應停留在良構數學模型推論的層面上，它應該有更廣泛的應用價值，應該剝離現實世界的非數學屬性，抽象出研究對象，接著對研究對象進行運算、推理、建模等，以形成數學的結論與方法。縱觀科學世界的發展，任何科學理論和工程的實踐應用，都是以數學為基礎，都建立在數理的推論之上。數學源于生活，寓于生活，用于生活。因此，教師要引導學生從現實世界中發現數學問題，提煉數學問題，建立數學模型，用以解決生活實際問題，從而培養學生的數學核心素養。

［案例4］在“一次函數”的教學中，當學生理解了一次函數的數形本質，以及在條件置換后形成基于概念本質的解題策略后，筆者將一次函數與生活實際相結合，設計跨學科項目化學習活動：

（1）制作“浮力秤”，在圖4中寫出“浮力秤”使用說明書。

（2）已知水的密度為[ ρ水]，秤盤中為放物體時浮體的圓柱體浸入水中的深度為[h0]（如圖5），請根據上述內容和條件求出被稱物體質量[m]與浮體的圓柱體浸入水中深度[h]之間的關系式。

（3）反思：此“浮力秤”的刻度是均勻的嗎？為什么？

教學說明：此問題取材于科學的應用——“浮力秤”，表面看是一個科學問題，仔細思考后就會發現是一個實實在在的數學問題。問題（2）的本質是在具體情境中建立[m]與[h]兩個未知數之間的函數關系，問題（3）的本質是一次函數的數形特點的生活化意義。用“一次函數”這個數學工具解釋了“浮力秤的刻度是均勻的”這一生活現象。跨學科項目化學習，提高了學生解決問題的能力，提升了學生的數學核心素養。

二、教學反思

數學本質觀是一種教學思想，它能指引我們的教學設計。學習的主體是學生，要想讓數學思想最終落到實處，需做好以下幾點。

（一）找準生長點

奧蘇貝爾在《教育心理學》的扉頁上寫道：“假如要我把所有的教育心理學內容濃縮為一條原理的話，那我會說：影響學習的最重要的、唯一的因素是學生已經知道了什么，弄清楚它，然后進行相應的教學。”在案例1中，我們可以體會到如果對于學生的前概念不清楚，教學就可能發生偏差，問題的設置也就失去了意義，教學一開始就會置于啟而不發的境地。對此，筆者采用學前預學案的形式，針對學生對“中位線”“比例”的認識設置問題，以此判斷出新概念的生長點，為教學設計提供準確的依據，使學生能進行有效探究和學習。

（二）設計啟發性的問題

數學本質觀下的課堂教學，不是簡單地給學生提供一些文字結論，而是讓學生自主、主動地學習，對學生的思維能力有較高的要求。作為學生學習的組織者、引導者和合作者，教師應關注學生的思維特點和水平，設計高質量的啟發性問題，并通過問題層層遞進地引導學生參與學習，發現和提出問題，通過觀察、猜測、推理、運算等一系列思維活動解決問題，領會數學思想。在案例2和案例3中，筆者將大問題細化為子問題進行設問，其意圖就在于此。

（三）實施持續一貫的教學

學生對于數學本質的理解是一個長期的內化過程，所以在數學本質觀下的數學概念教學中，教師既要有“顯微鏡”的思想，在每一節課中挖掘素材，找準切入點來實施教學，也要有“望遠鏡”的思想，著眼于大單元的有序安排，將課與課進行有效連接，將教學內容進行結構化處理，讓數學本質貫穿教學的始終。

綜上所述，要讓數學學習具有意義，就應讓學生經歷知識的形成過程，體悟知識的本質，并形成基于本質解決問題的觀念，同時要將知識根植于生活情境中，使學生學會用數學的眼光去看待情境，用數學的思維去思考情境，用數學的語言去表達情境，在不斷地思考、探究中把握數學本質，提升核心素養。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

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[2]" 羅增儒.“認識二元一次方程組”的課例與研修[J].中學數學教學參考，2021（29）：5-11.

[3]" 章劍雄.深度學習理念下的單元復習課教學實踐：以“相似三角形”為例[J].中學數學教學參考，2021（29）：18-21.

[4]" 王偉.搭建問題橋梁 促進思維生長：“由平行線截得的比例線段”教學及反思[J].中學數學教學參考，2021（29）：21-24.

[5]" 史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[6]" 王秀梅.天津市近十年中考物理試題的研究［D］.天津：天津師范大學，2015.

（責任編輯 黃春香）