以單元整體教學培養學生高通路遷移能力

趙桂枝

［摘要］ 數學知識之間存在著復雜的關聯性，依據不同的知識主線可以構建出不同主題的單元整體，從單元整體出發進行教學設計，可促進學生理解知識的內在聯系，培養高通路遷移能力。以人教版初中數學“圓內接四邊形的定義及性質”為例，對比以課時為單位的教學設計和從單元整體出發的教學設計，探討單元整體教學培養學生高通路遷移能力的策略。

［關鍵詞］ 單元整體教學；高通路遷移；核心素養；圓內接四邊形

遷移是指把一個情境中學到的知識遷移到新情境中的能力。當新任務與原任務相似時，稱為“低通路遷移”；當新任務與原任務不相似時，稱為“高通路遷移”。以人教版“圓內接四邊形的定義及性質”為例，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）在第四學段關于圓的內容要求中指出：了解并證明圓內接四邊形的對角互補。圓內接四邊形是與圓有關的特殊的四邊形，特殊在四邊形的四個頂點在同一個圓上，這一特殊的位置關系決定了圓內接四邊形的對角之間具有特殊的數量關系。初中階段，學生在學習平行四邊形和特殊的平行四邊形時，已經積累了一定的研究特殊四邊形的方法，能否自覺地將研究平行四邊形的方法遷移至圓內接四邊形的研究，進而遷移至一般圖形的研究，是對學生高通路遷移能力的檢驗。因此，通過對比以課時為單位的教學設計和從單元整體出發的教學設計，嘗試研究如何通過單元整體視角的教學設計，來培養學生的高通路遷移能力。

一、重構認知體系為高通路遷移打通知識脈絡

建構貫通的認知結構是高通路遷移的重要前提。以課時為單位的教學設計，知識結構具有緊密性和線性關聯的特點。學生的短時記憶可以彌補理解力和遷移能力的不足，從而形成“教學順暢”的課堂表象。但學生往往對所學知識內容之間的關聯理解不深，久而久之就會陷入“一學就會、一做就錯”的困境。單元整體視角的教學設計，是在知識體系中設計教學，知識結構具有松而不散、立體關聯的特點，同時將新知識納入學生原有的知識體系，其重新建構的過程即高通路遷移能力形成與發展的過程。

作為圓周角定理的推論，人教版初中數學教材將關于“圓內接四邊形的對角互補”的教學內容設置在第24章第1節第4課時“圓周角”的位置。首先，給出圓內接多邊形和多邊形的外接圓的定義，然后再以舉例的方式給出圓的內接四邊形和四邊形的外接圓，并提出問題：圓內接四邊形的4個角之間有什么關系？通過證明，最后得出結論。

對于以課時為單位的教學設計，重點是圓內接四邊形的性質，難點是構造圓心角。為了突出重點、突破難點，教師往往更加關注與圓周角和圓心角有關的知識（圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）復習，通過喚起記憶的方式引導學生“發現”添加輔助線的方法。而圓內接四邊形本質上屬于特殊的四邊形，其研究方法與在第18章研究平行四邊形和特殊的平行四邊形類似。

與其相關的知識還有圓內接三角形，在本章第2節第1課時點和圓的位置關系中給出：不在同一條直線上的三個點確定一個圓。要將與圓內接四邊形有關的知識整合在一起，形成一個“單元整體”，從而在這個單元整體下進行教學設計，重點是掌握研究特殊圖形的方法，難點是發現圓內接四邊形是一種特殊的四邊形。這就需要引導學生在圓和四邊形這兩塊知識之間建立聯系。為此，教師設計了如下圖的知識聯結式引入：

那么，圓和四邊形相遇，會不會產生一種新的特殊的四邊形呢？可讓學生作圖來驗證。

學生的作圖順序有兩種。一種是先畫圓，再畫四邊形。這種做法，學生會關注到四邊形的頂點、邊和角與圓的位置關系。另一種作圖順序是先畫四邊形，再畫圓。這種做法學生會關注圓心與四邊形的邊的位置，圓半徑的選取對圖形的影響。學生未必能夠畫出“圓內接四邊形”，但作圖的過程即學生將圓的組成要素（圓心、半徑）和四邊形的組成要素（頂點、邊、角）建立關聯的過程。這樣，學生知識體系中的圓和四邊形在作圖中形成聯結，進而在潛移默化中形成知識體系的重構，為研究方法的遷移搭建起貫通式的知識架構。

二、開放思維空間為高通路遷移延展理解邊界

理解研究對象的本質屬性是高通路遷移的必備能力。以課時為單位的教學設計，學生的課堂學習比較聚焦，但同時也限制了思維的延展。基于單元整體進行教學設計，因其知識跨度比較大，教師則要給學生提供開放的思維空間，推動學生突破思維邊界的限制。

以課時為單位，研究圓內接四邊形的教學關注“運用圓周角定理證明圓內接四邊形的對角互補”，學生沿著圓周角的方向思考即可。而在單元整體中，這節課的教學更關注“如何將研究平行四邊形的方法遷移至研究圓內接四邊形”。雖然這一方法在研究平行四邊形的時候已經多次使用，但從學習平行四邊形到學習圓內接四邊形，時間間隔比較長，學生的短時記憶作用已經不明顯。此時，學生需要認識到圓內接四邊形和平行四邊形之間的本質關聯，才能夠想到研究方法的遷移。這就要求教師在課堂教學中給學生提供開放的思維空間，引導學生發現特殊四邊形的共性，通過將研究特殊平行四邊形的方法遷移至對圓內接四邊形的研究，進而遷移至一般圖形的研究，即應用“觀察、測量、猜想、證明”的方法研究幾何圖形。

具體教學過程中，教師設計開放性問題：如何研究圓內接四邊形的性質呢？主要的步驟：（1）分組探究。每組4-6人，分別對圓內接四邊形的邊、角、對角線通過觀察、測量、猜想、證明的方法進行研究。（2）分

享交流。通過作圖、觀察和測量學生能夠發現圓內接四邊形的邊和對角線沒有特殊的數量關系和位置關系。圓內接四邊形的對角有特殊的數量關系即相加等于180°。（3）推理求證。學生板書證明過程，得出結論：圓的內接四邊形的對角互補。（4）歸納提煉。教師揭示探究過程中體現的高通路遷移能力：圓內接四邊形是一種特殊的四邊形。它的特殊性表現在位置上是四個頂點在同一個圓上，表現在數量上是對角互補。研究圓內接四邊形的方法與研究平行四邊形、矩形、菱形的方法相似，即從邊、角、對角線三個維度，通過觀察、測量、猜想和證明得出結論。這一研究過程應用了分類和轉化的思想，這種方法不限于研究四邊形，對其他幾何圖形，也可以根據圖形的關鍵元素分類，通過觀察、測量、猜想和證明來進行研究。

三、培養核心素養為高通路遷移提供生長動能

數學核心素養是高通路遷移能力持續發展的原動力。初中階段，數學學科核心素養的內涵可分為三個層面：會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。核心素養是在數學學習過程中逐漸形成和發展的。單元整體視角的教學設計對核心素養的培養，具有前后呼應、循序漸進的特點。

本節課以單元整體設計的教學，將圓內接四邊形作為知識主線，單元內各部分的任務及相關核心素養內涵，具體如下表所示。其中，貫穿單元始終的核心素養主要表現在幾何直觀和推理能力這兩個方面。

以幾何直觀的培養為例，基于單元整體的教學設計，更注重通過作圖來培養學生的幾何直觀，即“根據語言描述畫出相應的圖形”。為此，在單元起始部分的“平行四邊形”教學中，教師一開始就為圓內接四邊形的作圖做準備，如在介紹了平行四邊形的定義（兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）之后，適時引導學生畫若干個不同的平行四邊形，并根據學生的作圖總結出如下方法：

方法一：利用尺規作圖畫平行四邊形。

方法二：利用兩張全等的三角形紙片拼出平行四邊形，再沿邊把它畫出來。

方法三：將兩張對邊平行的紙條交叉疊放，沿重合部分的邊可畫出一個平行四邊形。

《課標》在課程實施部分中指出，要改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯。實際上，這里的單元可以是教材中自成一體的單元，如一次函數；也可以是多章組合的單元，如將一次函數、二次函數、反比例函數合而為一構成初中函數單元；還可以是以某個知識為主題、由與其具有核心素養強關聯的知識組成的單元，如本文的案例“圓內接四邊形”，以“直角三角形”為主題的單元整體可由以下內容組成：余角和補角、等邊三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理、矩形、銳角三角函數等。

總之，從單元整體出發設計數學教學，有助于學生突破思維的邊界，促使學生把握不同事物之間的本質關聯，明晰思維的路徑，實現在不相似的任務中完成遷移，從而更有效地培養解決問題的能力。

［參考文獻］

［1］劉徽.大概念教學：素養導向的單元整體設計[M].北京：教育科學出版社，2022.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S]北京：北京師范大學出版社，2022.