串點(diǎn)連線，一題多變

圓是常見(jiàn)的幾何圖形之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科的重要基礎(chǔ).小學(xué)階段初步學(xué)習(xí)了圓的概念，初中階段系統(tǒng)地學(xué)習(xí)圓的概念和性質(zhì)，高中階段將繼續(xù)學(xué)習(xí)圓的方程.由此可見(jiàn)圓在幾何學(xué)習(xí)中的重要性.

圓的有關(guān)性質(zhì)是進(jìn)一步研究圓與其他圖形關(guān)系的主要依據(jù)，是學(xué)習(xí)圓的基礎(chǔ).近年來(lái)，圓的基本性質(zhì)成為了廣東省中考選擇題、填空題或是解答題第24題的高頻考點(diǎn)，也成了日常教學(xué)的重難點(diǎn).

1 教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)是鞏固圓中弧與角的關(guān)系，靈活運(yùn)用垂徑定理及其推論解決圓的綜合問(wèn)題.具體教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）進(jìn)一步鞏固圓的有關(guān)性質(zhì)；

（2）探索圓的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)直觀感知和邏輯推理有機(jī)結(jié)合；

（3）體會(huì)復(fù)雜為簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想.

2 課堂探究

教師首先給出如下例題，讓學(xué)生探究.

例1 ⊙O為△ABC的外接圓，直線MN與⊙O相切于點(diǎn)C，弦AB∥MN，且弧AB是劣弧.

（1）你能用無(wú)刻度的直尺找到線段AB的中點(diǎn)D嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖操作，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，進(jìn)一步鞏固切線的性質(zhì)和垂徑定理.通過(guò)圖形性質(zhì)的探究過(guò)程，實(shí)現(xiàn)直觀感知和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合.

師生活動(dòng)：教師鼓勵(lì)學(xué)生畫(huà)圖探究得出結(jié)論，并說(shuō)明理由.學(xué)生畫(huà)圖，如圖1所示.

（2）延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E，連接EA，EB，請(qǐng)找出圖中相等的弧、弦和角.

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化同圓中弧、弦、角的等量關(guān)系，體現(xiàn)垂徑定理是圓的軸對(duì)稱(chēng)性的具體化.

師生活動(dòng)：學(xué)生畫(huà)圖（如圖2），根據(jù)圖形口述答題，教師進(jìn)行補(bǔ)充或總結(jié).

（3）連接OB，已知∠AEC=30°，半徑為6，求弦AB的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)利用銳角三角函數(shù)解決圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生借助垂徑定理將圓中求弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題的能力.

師生活動(dòng)：學(xué)生畫(huà)圖（如圖3），口述并說(shuō)明理由，教師進(jìn)行引導(dǎo)或補(bǔ)充.

（4）若AB=8，OD=3，你能求出圖中哪些線段的長(zhǎng)度？

變式：若AB=8，ED=8，你能求出圖中⊙O的半徑嗎？

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生將圓中計(jì)算線段長(zhǎng)度的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題能力；培養(yǎng)學(xué)生借助方程思想求解圓中線段長(zhǎng)度的能力.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生探究，發(fā)現(xiàn)圓中弦心距、弦長(zhǎng)、半徑可以知二推一.教師通過(guò)改變題設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理，借助方程思想，解決求圓的半徑的問(wèn)題.

3 課堂精煉

例2 如圖4，已知⊙O的半徑為6，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，連接PO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥PB交⊙O于點(diǎn)C，交PB于點(diǎn)D，連接BC，當(dāng)∠P=30°時(shí)，

（1）求弦AC的長(zhǎng)；

（2）求證：BC∥PA；

（3）連接線段PC，AB，判斷四邊形PCBA的形狀，并說(shuō)明理由．

設(shè)計(jì)意圖：第（1）問(wèn)熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)解決圓中求線段長(zhǎng)的問(wèn)題；第（2）問(wèn)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圓周角定理及推論可以簡(jiǎn)便解決問(wèn)題的認(rèn)識(shí)；第（3）問(wèn)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與邏輯推理能力.

師生活動(dòng)：學(xué)生展示解題過(guò)程，并口述解題思路.教師規(guī)范學(xué)生的幾何語(yǔ)言和書(shū)寫(xiě)格式，體現(xiàn)幾何學(xué)習(xí)的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

例3 如圖5，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC，點(diǎn)D在弧BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AD，BD．

（1）求證：∠ADB=∠E．

（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，DE是⊙O的切線？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）當(dāng)AB=45，BC=8時(shí)，求⊙O的半徑．

設(shè)計(jì)意圖：第（1）問(wèn)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圓周角定理及推論可以簡(jiǎn)便解決問(wèn)題的認(rèn)識(shí)；第（2）問(wèn)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，能夠在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中找到靜止不變的位置關(guān)系；第（3）問(wèn)培養(yǎng)學(xué)生將等腰三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，借助勾股定理列方程，解決求圓的半徑的問(wèn)題.

師生活動(dòng)：學(xué)生展示解題過(guò)程，并講述解題思路.培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力.

4 課后反思

4.1 動(dòng)手實(shí)踐，激發(fā)興趣

對(duì)于初三的復(fù)習(xí)課，學(xué)生早已習(xí)慣了開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的題海戰(zhàn)術(shù)，尤其是第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)更像是炒冷飯.那么，把已經(jīng)學(xué)過(guò)的圓的知識(shí)推陳出新再呈現(xiàn)給學(xué)生，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，讓課堂真正有實(shí)效成了本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn).為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并考查其知識(shí)學(xué)習(xí)的靈活性，筆者另辟蹊徑，從僅用無(wú)刻度的直尺找出圖中線段AB的中點(diǎn)開(kāi)始，通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作，并解釋其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，很好地發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，并與邏輯推理有機(jī)結(jié)合.

4.2 一題多變，層層遞進(jìn)

以往的專(zhuān)題復(fù)習(xí)，通常都是針對(duì)中考知識(shí)的難點(diǎn)，導(dǎo)致出現(xiàn)了班級(jí)中大部分學(xué)生“陪讀”的尷尬現(xiàn)象，也就是說(shuō)如果這節(jié)課太難了，對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)其實(shí)是無(wú)效的；但對(duì)于班上少部分學(xué)生來(lái)說(shuō)這樣的能力提升課又是很有必要的.因此，如何讓各個(gè)層次的學(xué)生都有收獲，使課堂切實(shí)有效是本節(jié)課設(shè)計(jì)的核心.筆者選擇的思路是一題多變，層層遞進(jìn)，就像帶著孩子畫(huà)素描一樣，先確定輪廓，再定位五官，最后打磨細(xì)節(jié).雖然不能讓每個(gè)學(xué)生都畫(huà)出精美的畫(huà)卷，但是能在其原有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，有所收獲也是值得的.筆者的設(shè)計(jì)是以無(wú)刻度直尺作圖開(kāi)始，在所作的圖形上添加一些線段或是改變其中的條件，一點(diǎn)一點(diǎn)地?cái)U(kuò)充知識(shí)點(diǎn)，一層一層地加深難度.以此為線頭，逐步牽出了與圓有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，包括垂徑定理、圓周角定理、圓的切線的判定與性質(zhì)等與圓有關(guān)的線段、角、弧之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.隨著問(wèn)題的不斷展開(kāi)，再結(jié)合特殊四邊形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、全等三角形和方程等知識(shí)，探究以圓為背景的幾何綜合題中證明問(wèn)題的常見(jiàn)思路、計(jì)算問(wèn)題的常用方法，同時(shí)滲透了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)思想.

4.3 課堂考查，目標(biāo)明確

通過(guò)一題多變、層層遞進(jìn)的方式復(fù)習(xí)了圓的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，接下來(lái)的課堂精練就可以選取中考真題并進(jìn)行二次加工.變式題所考查的內(nèi)容應(yīng)該是之前復(fù)習(xí)的一題多變中不同問(wèn)題組合在一起，或是圖形進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)變換等變成一道綜合題再呈現(xiàn)在學(xué)生面前，并且有所提升和擴(kuò)展，從而再一次強(qiáng)化和鞏固這堂課的知識(shí)和內(nèi)容，加深學(xué)生的印象.

4.4 課堂形式，靈活多變

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的難易程度，課堂形式也可以靈活多變.對(duì)于簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)可以大家一起思考；對(duì)于重要的知識(shí)點(diǎn)或易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)可以由個(gè)別學(xué)生單獨(dú)回答、其他學(xué)生糾正或補(bǔ)充；對(duì)于中等難度的題型可以選擇投影展示，由學(xué)生簡(jiǎn)單講述解題思路，教師總結(jié)或是補(bǔ)充其他方法；對(duì)于難度較大的題型，可鼓勵(lì)學(xué)生分組討論，教師巡視指導(dǎo)，最后板書(shū)呈現(xiàn).板書(shū)的優(yōu)點(diǎn)是過(guò)程詳細(xì)，解題過(guò)程完整保留，課堂還沒(méi)有跟上思路的學(xué)生可以自己選擇性補(bǔ)充，或是先抄下來(lái)再課后研究.無(wú)論是哪種形式，都要給學(xué)生預(yù)留足夠的獨(dú)立思考時(shí)間.專(zhuān)題課，想要學(xué)生學(xué)有所獲，筆者認(rèn)為所有的內(nèi)容還是應(yīng)當(dāng)在課堂上生成，而不是預(yù)留導(dǎo)學(xué)案，最后變成名為專(zhuān)題課、實(shí)則是習(xí)題講評(píng)課的情況.課堂上大家一起討論、學(xué)習(xí)，獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的喜悅和成就感是不可替代的.