轉變視角 突破瓶頸

摘要：勾股定理是人教版八年級下冊第十七章的內容，勾股法是日后解決諸多實際問題的重要方法.教材中勾股定理的應用主要體現在求幾何體表面兩點之間最短距離、求旗桿高度、求斷裂樹枝高度、池塘蘆葦問題等方面，每種問題類型都非常經典.本文中主要研究了如何轉變視角突破求幾何體表面兩點之間最短距離的思維瓶頸.

關鍵詞：勾股定理；幾何體；最短距離；思維

在“勾股定理”這一章中，勾股定理及其逆定理的應用是重點內容，且其應用中有一類題型，即求幾何體表面兩點之間的最短距離[1].由于解決這類問題需要將三維的幾何體轉變成二維的平面圖形，而學生的抽象思維能力較弱，導致他們無法有效轉變視角，進而解題思維出現瓶頸[2].本文中就從該問題出發，研究如何用勾股法進行解決，希望能對一線教師的教學產生積極影響.

幾何體表面兩點之間的最短距離問題牽涉到的幾何體類型主要有圓柱和長方體.下面對這兩種類型分別進行例析.

1 求圓柱表面兩點之間的最短距離

圓柱是求幾何體表面兩點之間的最短距離問題中常出現的一種幾何體.根據解題經驗，這一類型又分為外壁和內壁兩種.

（Ⅰ）如展開圖8（1）所示，此時構造的直角三角形的兩直角邊分別為4 cm和9 cm，則AB2=42+92，得AB=97（cm）.

（Ⅱ）如展開圖8（2）所示，此時構造的直角三角形的兩直角邊分別為6 cm和7 cm，則AB2=62+72，得AB=85（cm）.

（Ⅲ）如展開圖8（3）所示，此時構造的直角三角形兩條直角邊分別為10 cm，3 cm.則AB2=102+32，得AB=109（cm）.

綜上可知，螞蟻爬行的最短路線長為85cm.

故填答案：85cm.3 方法總結

通過上述幾道題及其解題過程不難發現，解決幾何體表面兩點之間的最短距離的問題，將幾何體轉化成平面圖形是轉變視角和突破思維瓶頸的關鍵[3].其方法大致如下：

第一步，展開幾何體.如果是圓柱，展開后是長方形；如果是長方體，分類討論后展開圖形也是長方形.

第二步，標出相應的點及字母，同時也要一并標出相應線段的長度.

第三步，根據勾股定理列方程并求解.找到所需的直角三角形，再利用勾股定理列方程，即可求得相應線段的長度[4].

4 結語

綜上所述，無論是求圓柱還是長方體的表面兩點之間的最短距離，其方法都是類似的，先將幾何體側面展開，然后利用勾股定理列方程求解.雖然課本中沒有呈現求長方體表面兩點之間的最短距離問題，但一線教師應作適當補充和拓展，這樣學生才會獲得更全面的知識[5].

參考文獻：

[1]魏建輝.利用勾股定理求幾何體表面兩點之間的最短距離[J].數理天地（初中版），2022（8）：7-8.

[2]萬書河.圓柱中最短路徑問題[J].試題與研究：教學論壇，2020（6）：128.

[3]閆偉.構“形”解“數” 演繹精彩——例談平面幾何圖形在代數求值（最值）中的妙用[J].中學生理科應試，2020（8）：10-11.

[4]雷全旺.最短路線在立體圖形中的應用賞析[J].中小學數學（初中版），2021（4）：33-34.

[5]張磊.求最短路程勿忘勾股定理[J].中學生數理化（八年級數學）（配合人教社教材），2022（3）：14-15.