巧設計，趣講解：習題更有大作為

數學知識的學習離不開習題，甚至在很多學生的頭腦里學習完數學最后只留下了習題的印象，雖然這是不好的現象，但也充分說明了習題的重要性，那么如何讓習題的作用不僅僅只停留在幫助學生解題上呢？回到教育的目標，數學教學是為了讓學生學會學習，掌握學習方法，理解數學思想，在習題講解的過程中也要體現這樣的目標追求.因此，習題講解不能單純停留在就題講題上，教師要善于挖掘習題所考查的知識點和滲透的數學方法，將習題進行分類，通過問題串的形式進行系列講解，以構成完整的知識體系[1].在習題講解過程中還需要進行拓展練習和變式練習，讓數學的方法得以延伸和鞏固.總之，數學練習不是簡單的習題拼湊，每一道習題都應該由教師精挑細選，有目的、有計劃地給學生訓練，這樣才能促進學習效率的提高.本文中筆者以“特殊四邊形”習題課為例，談一談在教學中的實踐，供大家參考！

1 教學片段

1.1 知識梳理

在習題練習之前進行基礎知識的復習和整理，以讓知識更加有條理，方便學生對知識的記憶以及鞏固，筆者設計了表格和圖示的形式進行整理.通過表格（如表1）和圖示（如圖1），學生對于四邊形之間的聯系和區別可以一目了然，有利于學生建構知識體系.

形式1：完成表1（梳理特殊四邊形的性質）.

形式2：完成圖1（根據四邊形的定義進行識別填寫）.

形式3：習題鞏固.

通過一組試題進行系列訓練，檢測學生對所學知識的應用情況，同時經過一系列試題的檢測，促進學生的知識結構化.

題組一：填空題

（1）已知平行四邊形的兩條對角線的長分別為12和18，該平行四邊形的邊長x的取值范圍是________________________________________.

（2）已知平行四邊形的一條對角線長為12，一條邊長為10，那么平行四邊形的另一條邊a和另一條對角線x的取值范圍分別是________________________________________，________________________________________.

（3）拓展題：已知三條線段長分別是22，18和30，假設以其中任意兩條為對角線，另外一條為邊，可以構成________________________________________個平行四邊形.

題組一是在學生掌握了圖形基本性質的基礎上，求線段的取值范圍.通過練習，學生明確了線段取值范圍的求解方法，一般來說要將線段放到某個三角形中，利用三角形三條邊的關系，即“三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊”進行求解.該組練習中不僅有能讓學生課前自學的簡單題，也有需要進行探究的拓展題，使不同層次的思維都能得到兼顧和發展，拓寬了學生的視野，也滿足了不同層次學生的需求[2].

1.2 知識應用

在學習了平行四邊形基本性質的基礎上，教學目標中還需要掌握利用性質解決邊和角的相關問題，并且能夠體會知識點之間的聯系.因此，在完成基礎練習后，還要進行變式訓練和拓展練習，靈活使用面積法、全等法和作輔助線連接對角線等進行線段長度的求解.通過對邊和角等問題的求解，形成較為完整的知識結構體系，提升綜合分析問題的能力.

題組二：解決問題

（1）如圖2，在ABCD中，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，且DE，DF，AB的長度分別為4，6和8，求BC的長度.

變式訓練一 改變已知條件，將（1）中AB的長度為8改為ABCD的周長為18，其他條件不變，求ABCD的面積.

（2）如圖2，在ABCD中，∠B=120°，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，請分別求出∠ADE，∠EDF和∠FDC的度數.

變式訓練二 將上題中的ABCD改為菱形ABCD，且將∠B等于120°改為AE=EB，求∠EDF的度數.

變式訓練三 如圖3，菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，那么DE和DF相等嗎？請說明你的理由.

拓展練習 如圖4，班級組織元旦慶?；顒樱∪A用相同寬度的彩帶布置教室，他將兩種不同顏色的彩帶粘貼在一起，發現彩帶重疊的部分是一個菱形，他試著轉動彩帶，發現無論怎樣轉動，重疊部分都是菱形，你能說一說這是為什么嗎？

題組二在變式訓練三中利用了幾何中常用的證明方法，也就是等面積法求得兩條垂直線段相等；在拓展練習中考查了菱形的對角線、高的特殊用法，為以后在綜合題型中利用輔助線求解奠定基礎，提高學生運用知識的能力.

在上述練習中，采用了從基礎題到變式訓練再到拓展練習的訓練方式，一方面訓練了學生的知識遷移能力和類比的數學思想，另一方面也通過典型題的呈現滲透舉一反三的思維方法，提升了學生的思維能力[3].在題組訓練時，教師要注意題目設計的體系化和條理化，要做到目標明確、結構清晰，通過訓練，學生掌握的知識體系能更加完整和清晰.

1.3 提升能力

在正方形和矩形問題中經常會碰到一種特殊的線段也就是垂直線段，解決這類問題經常采用的方法就是平移法和等量轉換法.同時，在題組二的變式訓練中還為學生展示了一種面積法，為加深學生對這種解題方法的感悟，教學中可以進行拓展練習，以便提升學生的解題能力.

題組三：說理題

如圖5，在正方形ABCD中，AC長度為10，AD上有任意一點P，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，請你判斷PE+PF的值是定值嗎？說一說你的理由.

拓展練習1 如果將上述問題中的正方形換成矩形，如圖6，當AB=6，BC=8時，求PE+PF的值.

拓展練習2 進一步來改變題目，如圖7，過點D作DG⊥AC，垂足為G，求線段DG的長度.通過計算你發現了什么？請進一步說明PE+PF=DG.

學生在完成題組三的前兩道題后，再來完成第三題時，難度并不大.大部分學生會采用面積法進行求解.教師在肯定的同時，還應進行適當地引導，鼓勵學生發現其他解法.如，通過全等的方法也可以證明一條線段等于兩條線段之和，當然，還有截長補短法也能證明這類題型.一題多解可以有效地拓展學生思維的廣度，提升靈活運用知識解決問題的技能.

2 教學反思

習題講解對于數學課堂的重要性在于能不能讓學生利用所學知識解決問題，實現知識的技能化和知識的結構化，能夠將數學方法內化為自己對數學的認知，并指導自己獨立且長期的數學學習.因此，在進行習題講解時可以關注以下幾點：

首先，要注意習題的系列化.單純的試題講解只能涉及到知識點的運用，而將習題題組化和系列化，可以由知識點擴展到知識面，幫助學生構建知識結構，并能將解題方法系列化和結構化.系列化的題組練習要注意低起點、緩坡度、上高度的原則，既能保留學生探究的好奇心，增強學生學習的信心，也能使學生的思維得到發展.

其次，在設計試題時要注意關注不同層次的學生.根據學生水平，設置不同梯度的試題，使所有學生都能有所發展.教育的目標是培養全面發展的人，因此，在習題設計時要關注到考查學生的不同方面，如，不同的知識點應用、不同的解題方法、不同的數學思想滲透等，使課堂更加豐富多彩.

最后，習題設計要精不要粗，要脫離“題?！睉鹦g，精心挑選典型試題，提升訓練的有效性.思考力和學習力的提升是一個長期訓練和積累的過程，課堂上的思維訓練離不開有效的習題訓練，教師應通過變式訓練和拓展練習不斷提升學生思維的深刻性，實現深度學習.習題訓練不是簡單的題目疊加，而是通過相同類型或者同樣解法的習題系列訓練，真正發揮出習題訓練的作用.

總之，看似簡單的習題設計，其實飽含了教師的精心組織和籌劃，教師應明確教學目標，熟知學情，根據具體的教學對象，圍繞核心目標，設計層次鮮明、條理清晰的習題組訓練，并能進行有效地拓展提升，兼顧各個層次，提升課堂有效性.

參考文獻：

[1]王娟，李保臻.基于數學運算能力培養的單元教學設計研究[J].數學教學研究，2019（5）：6-11.

[2]董林偉，喻平.基于學業水平質量監測的初中生數學核心素養發展狀況調查[J].數學教育學報，2017（1）：7-13.

[3]顧為云.重組學材串珠成線，結構板書漸次生成——以“概率初步”單元教學為例[J].中學數學，2019（24）：12-13，16.